Номер 76, страница 229 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

76. В классе гимназии общественно-гуманитарного направления все учащиеся изучают иностранные языки: немецкий, французский и английский. Из них английский изучают все ученики, немецкий — 22 ученика, французский — 13 учеников, а 9 человек изучают немецкий и французский одновременно. Найдите число учащихся в классе.

Расходы

Для определения общего числа учащихся в классе воспользуемся принципом включений-исключений. Обозначим общее число учащихся через $N$.

По условию задачи, все ученики в классе изучают английский язык. Помимо английского, ученики изучают немецкий и/или французский языки. Таким образом, чтобы найти общее число учеников, нам нужно найти количество тех, кто изучает немецкий или французский (или оба языка одновременно).

Пусть $G$ — это множество учеников, изучающих немецкий язык, а $F$ — множество учеников, изучающих французский язык. Нам известны следующие данные:

• Количество учеников, изучающих немецкий язык: $|G| = 22$
• Количество учеников, изучающих французский язык: $|F| = 13$
• Количество учеников, изучающих и немецкий, и французский языки (пересечение множеств): $|G \cap F| = 9$

Общее число учеников $N$ равно количеству элементов в объединении множеств $G$ и $F$, которое вычисляется по формуле:

$N = |G \cup F| = |G| + |F| - |G \cap F|$

Подставим известные значения в эту формулу:

$N = 22 + 13 - 9$

Выполним вычисления:

$N = 35 - 9 = 26$

Таким образом, общее число учащихся в классе составляет 26 человек.

Проверка:

Можно найти число учеников, изучающих только один из двух языков (помимо обязательного английского):

• Только немецкий язык изучают: $22 - 9 = 13$ учеников.
• Только французский язык изучают: $13 - 9 = 4$ ученика.

Общее число учеников — это сумма тех, кто изучает только немецкий, только французский, и тех, кто изучает оба языка:

$N = 13 (\text{только немецкий}) + 4 (\text{только французский}) + 9 (\text{оба языка}) = 26$ учеников.

Результаты совпадают.

Ответ: 26.