Номер 79, страница 230 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

*79. Докажите, что если $a > 0$, $b > 0$, $ay + bx > 0$ и $x \ne y$, то имеет место неравенство: $\frac{(a + b)xy}{ay + bx} < \frac{ax + by}{a + b}$.

Для доказательства заданного неравенства выполним ряд равносильных преобразований.

Исходное неравенство: $ \frac{(a+b)xy}{ay+bx} < \frac{ax+by}{a+b} $

Согласно условиям задачи, мы имеем $a > 0$, $b > 0$, и $ay+bx > 0$. Из $a > 0$ и $b > 0$ следует, что $a+b > 0$. Так как оба знаменателя в неравенстве, $(ay+bx)$ и $(a+b)$, строго положительны, мы можем умножить обе части неравенства на их произведение $(a+b)(ay+bx)$, при этом знак неравенства не изменится: $ (a+b)xy \cdot (a+b) < (ax+by)(ay+bx) $

Упростим левую часть и раскроем скобки в правой части.

Левая часть: $ (a+b)^2 xy = (a^2 + 2ab + b^2)xy = a^2xy + 2abxy + b^2xy $

Правая часть (по правилу умножения многочленов): $ (ax+by)(ay+bx) = ax \cdot ay + ax \cdot bx + by \cdot ay + by \cdot bx = a^2xy + abx^2 + aby^2 + b^2xy $

Теперь подставим полученные выражения обратно в неравенство: $ a^2xy + 2abxy + b^2xy < a^2xy + abx^2 + aby^2 + b^2xy $

Сократим одинаковые члены $a^2xy$ и $b^2xy$ в обеих частях неравенства: $ 2abxy < abx^2 + aby^2 $

Перенесём член $2abxy$ из левой части в правую с противоположным знаком: $ 0 < abx^2 - 2abxy + aby^2 $

В правой части вынесем за скобки общий множитель $ab$: $ 0 < ab(x^2 - 2xy + y^2) $

Выражение в скобках является формулой полного квадрата разности: $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$. Неравенство принимает вид: $ 0 < ab(x-y)^2 $

Проанализируем справедливость этого последнего неравенства. По условию $a > 0$ и $b > 0$, следовательно, их произведение $ab > 0$. По условию $x \neq y$, значит, разность $x-y \neq 0$. Квадрат любого действительного числа, не равного нулю, всегда строго положителен, поэтому $(x-y)^2 > 0$. Произведение двух строго положительных чисел ($ab$ и $(x-y)^2$) также является строго положительным числом.

Таким образом, неравенство $ab(x-y)^2 > 0$ истинно при заданных условиях. Поскольку все наши преобразования были равносильными, то и исходное неравенство также истинно.

Ответ: Неравенство доказано.