Номер 85, страница 230 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

85. Решите уравнение $log_{x^2+1} log_3 log_{x^2+2} (x^3 + 10x^2 + 8x - 1) = 0$.

Исходное уравнение: $ \log_{x+1} \log_3 \log_{x+2} (x^3 + 10x^2 + 8x - 1) = 0 $.

Для решения уравнения сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Основания и аргументы логарифмов должны удовлетворять следующим условиям:

1. Основание внешнего логарифма: $x+1 > 0$ и $x+1 \ne 1$. Отсюда следует, что $x > -1$ и $x \ne 0$.

2. Основание среднего логарифма: $3 > 0$ и $3 \ne 1$. Это условие выполняется.

3. Основание внутреннего логарифма: $x+2 > 0$ и $x+2 \ne 1$. Отсюда следует, что $x > -2$ и $x \ne -1$.

4. Аргумент внешнего логарифма: $ \log_3 \log_{x+2} (x^3 + 10x^2 + 8x - 1) > 0$.

5. Аргумент среднего логарифма: $ \log_{x+2} (x^3 + 10x^2 + 8x - 1) > 0$.

6. Аргумент внутреннего логарифма: $x^3 + 10x^2 + 8x - 1 > 0$.

Объединяя условия на $x$ ($x > -1$, $x \ne 0$, $x > -2$, $x \ne -1$), получаем общую ОДЗ для оснований: $x \in (-1, 0) \cup (0, +\infty)$. Условия для аргументов мы проверим после нахождения корней.

Теперь приступим к решению уравнения, последовательно избавляясь от логарифмов, используя определение логарифма: $ \log_a b = c \Leftrightarrow b = a^c $.

Из исходного уравнения $ \log_{x+1} \left( \log_3 \log_{x+2} (x^3 + 10x^2 + 8x - 1) \right) = 0 $ следует, что аргумент внешнего логарифма равен $1$:

$ \log_3 \log_{x+2} (x^3 + 10x^2 + 8x - 1) = (x+1)^0 = 1 $.

Теперь из уравнения $ \log_3 \left( \log_{x+2} (x^3 + 10x^2 + 8x - 1) \right) = 1 $ следует, что аргумент этого логарифма равен $3^1$:

$ \log_{x+2} (x^3 + 10x^2 + 8x - 1) = 3^1 = 3 $.

И, наконец, из уравнения $ \log_{x+2} (x^3 + 10x^2 + 8x - 1) = 3 $ следует, что:

$ x^3 + 10x^2 + 8x - 1 = (x+2)^3 $.

Раскроем скобки в правой части уравнения, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:

$ (x+2)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 $.

Подставим полученное выражение в уравнение:

$ x^3 + 10x^2 + 8x - 1 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 $.

Упростим уравнение, перенеся все члены в левую часть и приведя подобные слагаемые:

$ (x^3 - x^3) + (10x^2 - 6x^2) + (8x - 12x) + (-1 - 8) = 0 $

$ 4x^2 - 4x - 9 = 0 $.

Мы получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $ D = b^2 - 4ac $:

$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 16 + 144 = 160 $.

Найдем корни уравнения по формуле $ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $:

$ \sqrt{D} = \sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = 4\sqrt{10} $.

$ x_1 = \frac{4 + 4\sqrt{10}}{2 \cdot 4} = \frac{4(1 + \sqrt{10})}{8} = \frac{1 + \sqrt{10}}{2} $.

$ x_2 = \frac{4 - 4\sqrt{10}}{2 \cdot 4} = \frac{4(1 - \sqrt{10})}{8} = \frac{1 - \sqrt{10}}{2} $.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ: $x > -1$ и $x \ne 0$.

Проверка для $x_1 = \frac{1 + \sqrt{10}}{2}$.

Оценим значение $ \sqrt{10} $. Так как $3^2=9$ и $4^2=16$, то $3 < \sqrt{10} < 4$.

Следовательно, $x_1 = \frac{1 + \sqrt{10}}{2} > \frac{1 + 3}{2} = 2$.

Так как $x_1 > 2$, он удовлетворяет условиям $x > -1$ и $x \ne 0$.

Также при таком $x$ выполняются и условия на аргументы логарифмов, так как в ходе решения мы получили $ \log_3(\dots) = 1 > 0 $ и $ \log_{x+2}(\dots) = 3 > 0 $, а также $ x^3 + 10x^2 + 8x - 1 = (x+2)^3 > 0 $ (поскольку $x_1+2>0$). Значит, $x_1$ является решением.

Проверка для $x_2 = \frac{1 - \sqrt{10}}{2}$.

Используя ту же оценку $3 < \sqrt{10} < 4$, получаем $ -4 < -\sqrt{10} < -3 $.

Следовательно, $ x_2 = \frac{1 - \sqrt{10}}{2} < \frac{1 - 3}{2} = -1 $.

Так как $x_2 < -1$, этот корень не удовлетворяет ОДЗ ($x > -1$) и является посторонним.

Таким образом, исходное уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $ \frac{1 + \sqrt{10}}{2} $