Страница 230 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

78. Докажите, что для любых положительных a, b, c не могут одновременно выполняться неравенства: $a(1 - b) > \frac{1}{4}$; $b(1 - c) > \frac{1}{4}$; $c(1 - a) > \frac{1}{4}$.

Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что для некоторых положительных чисел $a$, $b$ и $c$ все три неравенства выполняются одновременно:

1) $a(1 - b) > \frac{1}{4}$

2) $b(1 - c) > \frac{1}{4}$

3) $c(1 - a) > \frac{1}{4}$

Рассмотрим первое неравенство $a(1 - b) > \frac{1}{4}$. Поскольку по условию $a$ — положительное число ($a > 0$), для того чтобы произведение было положительным, необходимо, чтобы и второй множитель был положителен: $1 - b > 0$, откуда следует, что $b < 1$.

Аналогично, из второго неравенства $b(1 - c) > \frac{1}{4}$ и условия $b > 0$ следует, что $1 - c > 0$, то есть $c < 1$.

Из третьего неравенства $c(1 - a) > \frac{1}{4}$ и условия $c > 0$ следует, что $1 - a > 0$, то есть $a < 1$.

Таким образом, если наше предположение верно, то для чисел $a, b, c$ должны выполняться условия: $0 < a < 1$, $0 < b < 1$, $0 < c < 1$.

Теперь перемножим все три исходных неравенства. Так как все части неравенств положительны, знак неравенства сохранится:

$[a(1 - b)] \cdot [b(1 - c)] \cdot [c(1 - a)] > \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}$

Сгруппировав множители, получим:

$[a(1 - a)] \cdot [b(1 - b)] \cdot [c(1 - c)] > \frac{1}{64}$ (*)

Далее воспользуемся известным неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши) для двух положительных чисел $x$ и $y$: $\sqrt{xy} \le \frac{x+y}{2}$. Возведя обе части в квадрат, получаем $xy \le \left(\frac{x+y}{2}\right)^2$.

Применим это неравенство для пар чисел $(a, 1-a)$, $(b, 1-b)$ и $(c, 1-c)$. Так как мы установили, что $0 < a, b, c < 1$, все эти числа и их разности с единицей положительны.

$a(1 - a) \le \left(\frac{a + (1 - a)}{2}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$

$b(1 - b) \le \left(\frac{b + (1 - b)}{2}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$

$c(1 - c) \le \left(\frac{c + (1 - c)}{2}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$

Равенство в этих случаях достигается только при $a = 1/2$, $b = 1/2$ и $c = 1/2$ соответственно.

Перемножим эти три верных неравенства. Поскольку все их части неотрицательны, получаем:

$[a(1 - a)] \cdot [b(1 - b)] \cdot [c(1 - c)] \le \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}$

$[a(1 - a)] \cdot [b(1 - b)] \cdot [c(1 - c)] \le \frac{1}{64}$ (**)

Мы получили противоречие. Неравенство (*), выведенное из нашего предположения, утверждает, что произведение $[a(1 - a)] \cdot [b(1 - b)] \cdot [c(1 - c)]$ строго больше $\frac{1}{64}$. В то же время, неравенство (**), являющееся следствием неравенства Коши, утверждает, что это же произведение не может превышать $\frac{1}{64}$. Одно и то же выражение не может быть одновременно строго больше $\frac{1}{64}$ и меньше либо равно $\frac{1}{64}$.

Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что все три неравенства могут выполняться одновременно, является неверным.

Ответ: Что и требовалось доказать.

*79. Докажите, что если $a > 0$, $b > 0$, $ay + bx > 0$ и $x \ne y$, то имеет место неравенство: $\frac{(a + b)xy}{ay + bx} < \frac{ax + by}{a + b}$.

Для доказательства заданного неравенства выполним ряд равносильных преобразований.

Исходное неравенство: $ \frac{(a+b)xy}{ay+bx} < \frac{ax+by}{a+b} $

Согласно условиям задачи, мы имеем $a > 0$, $b > 0$, и $ay+bx > 0$. Из $a > 0$ и $b > 0$ следует, что $a+b > 0$. Так как оба знаменателя в неравенстве, $(ay+bx)$ и $(a+b)$, строго положительны, мы можем умножить обе части неравенства на их произведение $(a+b)(ay+bx)$, при этом знак неравенства не изменится: $ (a+b)xy \cdot (a+b) < (ax+by)(ay+bx) $

Упростим левую часть и раскроем скобки в правой части.

Левая часть: $ (a+b)^2 xy = (a^2 + 2ab + b^2)xy = a^2xy + 2abxy + b^2xy $

Правая часть (по правилу умножения многочленов): $ (ax+by)(ay+bx) = ax \cdot ay + ax \cdot bx + by \cdot ay + by \cdot bx = a^2xy + abx^2 + aby^2 + b^2xy $

Теперь подставим полученные выражения обратно в неравенство: $ a^2xy + 2abxy + b^2xy < a^2xy + abx^2 + aby^2 + b^2xy $

Сократим одинаковые члены $a^2xy$ и $b^2xy$ в обеих частях неравенства: $ 2abxy < abx^2 + aby^2 $

Перенесём член $2abxy$ из левой части в правую с противоположным знаком: $ 0 < abx^2 - 2abxy + aby^2 $

В правой части вынесем за скобки общий множитель $ab$: $ 0 < ab(x^2 - 2xy + y^2) $

Выражение в скобках является формулой полного квадрата разности: $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$. Неравенство принимает вид: $ 0 < ab(x-y)^2 $

Проанализируем справедливость этого последнего неравенства. По условию $a > 0$ и $b > 0$, следовательно, их произведение $ab > 0$. По условию $x \neq y$, значит, разность $x-y \neq 0$. Квадрат любого действительного числа, не равного нулю, всегда строго положителен, поэтому $(x-y)^2 > 0$. Произведение двух строго положительных чисел ($ab$ и $(x-y)^2$) также является строго положительным числом.

Таким образом, неравенство $ab(x-y)^2 > 0$ истинно при заданных условиях. Поскольку все наши преобразования были равносильными, то и исходное неравенство также истинно.

Ответ: Неравенство доказано.

80. Докажите, если $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{2}{c}$, ТО $\frac{a + c}{a - c} + \frac{b + c}{b - c} = -2.$

Начнем с преобразования данного в условии равенства:

$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{2}{c} $

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$ \frac{a+b}{ab} = \frac{2}{c} $

Используя основное свойство пропорции, получаем следующее соотношение:

$ c(a+b) = 2ab $

Теперь преобразуем выражение, тождество с которым нужно доказать. Обозначим его как $E$:

$ E = \frac{a+c}{a-c} + \frac{b+c}{b-c} $

Для удобства представим числители дробей в виде $a+c = (a-c)+2c$ и $b+c = (b-c)+2c$. Тогда выражение примет вид:

$ E = \frac{(a-c)+2c}{a-c} + \frac{(b-c)+2c}{b-c} = \left( \frac{a-c}{a-c} + \frac{2c}{a-c} \right) + \left( \frac{b-c}{b-c} + \frac{2c}{b-c} \right) $

$ E = \left( 1 + \frac{2c}{a-c} \right) + \left( 1 + \frac{2c}{b-c} \right) = 2 + 2c \left( \frac{1}{a-c} + \frac{1}{b-c} \right) $

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$ E = 2 + 2c \left( \frac{(b-c)+(a-c)}{(a-c)(b-c)} \right) = 2 + \frac{2c(a+b-2c)}{(a-c)(b-c)} $

Теперь воспользуемся выведенным ранее соотношением $c(a+b) = 2ab$.

Рассмотрим знаменатель дроби в выражении для $E$:

$ (a-c)(b-c) = ab - ac - bc + c^2 = ab - c(a+b) + c^2 $

Подставив $c(a+b) = 2ab$, получаем:

$ (a-c)(b-c) = ab - 2ab + c^2 = c^2 - ab $

Теперь рассмотрим числитель $a+b-2c$. Из соотношения $c(a+b)=2ab$ можно выразить $a+b = \frac{2ab}{c}$. Подставим это:

$ a+b-2c = \frac{2ab}{c} - 2c = \frac{2ab - 2c^2}{c} = \frac{-2(c^2-ab)}{c} $

Подставим полученные выражения для числителя и знаменателя обратно в формулу для $E$:

$ E = 2 + \frac{2c \cdot \frac{-2(c^2-ab)}{c}}{c^2 - ab} = 2 + \frac{-4(c^2-ab)}{c^2-ab} $

Поскольку исходное выражение определено, его знаменатели $a-c$ и $b-c$ не могут быть равны нулю. Следовательно, их произведение $(a-c)(b-c) = c^2-ab$ также не равно нулю, и мы можем сократить на него дробь:

$ E = 2 - 4 = -2 $

Таким образом, доказано, что если $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{2}{c} $, то $ \frac{a+c}{a-c} + \frac{b+c}{b-c} = -2 $.

Ответ: -2.

81. Учитель написал на листке бумаги число 100. 25 учеников класса передают листок друг другу, и каждый ученик прибавляет к числу или отнимает от него единицу — как желает. Может ли в результате получиться число 80?

Для решения этой задачи можно использовать свойство чётности чисел.

Изначально на листке было написано число 100. Это чётное число. Каждый из 25 учеников выполняет одно из двух действий: прибавляет 1 или отнимает 1. И прибавление, и вычитание единицы изменяют чётность числа на противоположную:

• Если число было чётным, то после операции $ (число \pm 1) $ оно станет нечётным.
• Если число было нечётным, то после операции $ (число \pm 1) $ оно станет чётным.

Рассмотрим, как будет меняться чётность числа после действия каждого ученика:

• Исходное число 100 — чётное.
• После 1-го ученика число станет нечётным.
• После 2-го ученика число снова станет чётным.
• После 3-го ученика число опять станет нечётным.

Как мы видим, после каждого нечётного по счёту ученика (1-го, 3-го, 5-го и т.д.) чётность итогового числа будет противоположна начальной, то есть число будет нечётным. После каждого чётного по счёту ученика (2-го, 4-го, 6-го и т.д.) чётность будет такой же, как и начальная, то есть число будет чётным.

Всего в классе 25 учеников. Так как 25 — это нечётное число, то после того, как все 25 учеников выполнят свои действия, итоговое число должно иметь противоположную чётность по сравнению с исходным. Исходное число 100 было чётным, значит, конечное число должно быть нечётным.

В задаче спрашивается, может ли в результате получиться число 80. Число 80 является чётным.

Поскольку итоговое число должно быть нечётным, а 80 — чётное, то получиться 80 в результате не может.

Альтернативный способ решения (алгебраический):

Пусть $k$ учеников прибавили к числу единицу, а $m$ учеников отняли единицу. Общее число учеников равно 25, следовательно, $k + m = 25$.

Итоговое число можно выразить формулой: $N_{конечное} = 100 + k \cdot (+1) + m \cdot (-1) = 100 + k - m$.

Проверим, может ли итоговое число быть равным 80: $100 + k - m = 80$ $k - m = 80 - 100$ $k - m = -20$

Мы получили систему из двух линейных уравнений: $ \begin{cases} k + m = 25 \\ k - m = -20 \end{cases} $

Сложим эти два уравнения: $(k + m) + (k - m) = 25 + (-20)$ $2k = 5$ $k = 2.5$

Переменная $k$ обозначает количество учеников, поэтому она должна быть целым неотрицательным числом. Полученное значение $k=2.5$ не является целым. Это означает, что не существует такого целого числа учеников, которые могли бы прибавить единицу, чтобы в итоге получилось 80.

Ответ: Нет, не может.

*82. Докажите неравенство $n! < \left(\frac{n+1}{2}\right)^n, n > 2.$

Для доказательства данного неравенства $n! < \left(\frac{n+1}{2}\right)^n$ при $n > 2$ воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши).

Для $n$ положительных чисел $x_1, x_2, \ldots, x_n$ неравенство Коши имеет вид:

$\frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} \ge \sqrt[n]{x_1 x_2 \ldots x_n}$

Равенство в этом выражении достигается тогда и только тогда, когда все числа равны между собой: $x_1 = x_2 = \ldots = x_n$.

Применим это неравенство к набору из $n$ натуральных чисел: $1, 2, 3, \ldots, n$.

Среднее арифметическое этих чисел:

$A = \frac{1 + 2 + \ldots + n}{n} = \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n} = \frac{n+1}{2}$

Среднее геометрическое этих чисел:

$G = \sqrt[n]{1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n} = \sqrt[n]{n!}$

Так как по условию $n > 2$, числа в наборе $1, 2, \ldots, n$ не равны друг другу. Следовательно, неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим будет строгим:

$A > G$

Подставим выражения для $A$ и $G$:

$\frac{n+1}{2} > \sqrt[n]{n!}$

Чтобы получить исходное неравенство, возведем обе части в степень $n$. Так как обе части положительны, знак неравенства сохранится:

$\left(\frac{n+1}{2}\right)^n > (\sqrt[n]{n!})^n$

$\left(\frac{n+1}{2}\right)^n > n!$

Это доказывает неравенство для всех $n > 1$, и, следовательно, для всех $n > 2$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

*83.

1) При каких значениях параметра $a$ неравенство $(a - 2)\sin(2x) - 3 > 0$ выполняется при всех значениях $x$?

2) При каких значениях параметра $a$ неравенство $(a - 1)\cos(x - 2) < 2$ выполняется при всех значениях $x$?

1)

Рассмотрим неравенство $(a - 2)\sin(2x) - 3 > 0$. Оно должно выполняться для всех значений $x$.

Перепишем неравенство в виде: $(a - 2)\sin(2x) > 3$.

Для того чтобы это неравенство выполнялось при любых значениях $x$, необходимо, чтобы наименьшее значение выражения в левой части было больше 3.

Пусть $E(x) = (a - 2)\sin(2x)$. Мы ищем такие $a$, при которых $\min_{x \in \mathbb{R}} E(x) > 3$.

Область значений функции синуса: $-1 \le \sin(2x) \le 1$.

Рассмотрим три случая в зависимости от знака коэффициента $(a - 2)$.

Случай 1: $a - 2 > 0$, то есть $a > 2$.

Поскольку коэффициент $(a-2)$ положителен, выражение $E(x)$ достигает своего наименьшего значения, когда $\sin(2x)$ принимает наименьшее значение, то есть $\sin(2x) = -1$.

$\min E(x) = (a - 2)(-1) = -a + 2$.

Требуем, чтобы это минимальное значение было больше 3:

$-a + 2 > 3$

$-a > 1$

$a < -1$

Мы получили систему условий: $\begin{cases} a > 2 \\ a < -1 \end{cases}$. Эта система не имеет решений.

Случай 2: $a - 2 < 0$, то есть $a < 2$.

Поскольку коэффициент $(a-2)$ отрицателен, выражение $E(x)$ достигает своего наименьшего значения, когда $\sin(2x)$ принимает наибольшее значение, то есть $\sin(2x) = 1$.

$\min E(x) = (a - 2)(1) = a - 2$.

Требуем, чтобы это минимальное значение было больше 3:

$a - 2 > 3$

$a > 5$

Мы получили систему условий: $\begin{cases} a < 2 \\ a > 5 \end{cases}$. Эта система также не имеет решений.

Случай 3: $a - 2 = 0$, то есть $a = 2$.

Подставим $a=2$ в исходное неравенство:

$(2 - 2)\sin(2x) - 3 > 0$

$0 \cdot \sin(2x) - 3 > 0$

$-3 > 0$

Это неравенство ложно. Следовательно, $a=2$ не является решением.

Поскольку ни в одном из случаев мы не нашли подходящих значений $a$, таких значений параметра не существует.

Ответ: таких значений $a$ не существует.

2)

Рассмотрим неравенство $(a - 1)\cos(x - 2) < 2$. Оно должно выполняться для всех значений $x$.

Для того чтобы это неравенство выполнялось при любых значениях $x$, необходимо, чтобы наибольшее значение выражения в левой части было меньше 2.

Пусть $E(x) = (a - 1)\cos(x - 2)$. Мы ищем такие $a$, при которых $\max_{x \in \mathbb{R}} E(x) < 2$.

Область значений функции косинуса: $-1 \le \cos(x - 2) \le 1$.

Рассмотрим три случая в зависимости от знака коэффициента $(a - 1)$.

Случай 1: $a - 1 > 0$, то есть $a > 1$.

Поскольку коэффициент $(a-1)$ положителен, выражение $E(x)$ достигает своего наибольшего значения, когда $\cos(x - 2)$ принимает наибольшее значение, то есть $\cos(x - 2) = 1$.

$\max E(x) = (a - 1)(1) = a - 1$.

Требуем, чтобы это максимальное значение было меньше 2:

$a - 1 < 2$

$a < 3$

Мы получили систему условий: $\begin{cases} a > 1 \\ a < 3 \end{cases}$. Решением этой системы является интервал $1 < a < 3$.

Случай 2: $a - 1 < 0$, то есть $a < 1$.

Поскольку коэффициент $(a-1)$ отрицателен, выражение $E(x)$ достигает своего наибольшего значения, когда $\cos(x - 2)$ принимает наименьшее значение, то есть $\cos(x - 2) = -1$.

$\max E(x) = (a - 1)(-1) = -a + 1$.

Требуем, чтобы это максимальное значение было меньше 2:

$-a + 1 < 2$

$-a < 1$

$a > -1$

Мы получили систему условий: $\begin{cases} a < 1 \\ a > -1 \end{cases}$. Решением этой системы является интервал $-1 < a < 1$.

Случай 3: $a - 1 = 0$, то есть $a = 1$.

Подставим $a=1$ в исходное неравенство:

$(1 - 1)\cos(x - 2) < 2$

$0 \cdot \cos(x - 2) < 2$

$0 < 2$

Это неравенство истинно при любых значениях $x$. Следовательно, $a=1$ является решением.

Объединим решения, полученные во всех трех случаях:

$(-1 < a < 1) \cup \{a=1\} \cup (1 < a < 3)$

В результате получаем интервал $-1 < a < 3$.

Ответ: $a \in (-1; 3)$.

*84. При каких значениях параметра $a$ все решения неравенства $\log_{3x^2+2}(x^2 - 3x + 7) > 1$ одновременно являются решениями и неравенства $(x + 1)^2 - 4a^2(x + 1) + 3a^4 > 0?

Для решения задачи необходимо найти все значения параметра $a$, при которых множество решений первого неравенства является подмножеством множества решений второго неравенства.

1. Решим первое неравенство: $log_{3a^2+2}(x^2 - 3x + 7) > 1$.

Найдем область определения (ОДЗ).

Аргумент логарифма: $x^2 - 3x + 7$. Дискриминант этого квадратного трехчлена $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 9 - 28 = -19 < 0$. Так как коэффициент при $x^2$ положителен, парабола направлена ветвями вверх и не пересекает ось абсцисс, следовательно, $x^2 - 3x + 7 > 0$ при всех действительных $x$.

Основание логарифма: $3a^2 + 2$. Так как $a^2 \ge 0$ для любого действительного $a$, то $3a^2 \ge 0$, и $3a^2 + 2 \ge 2$.

Таким образом, основание всегда больше 1 ($3a^2 + 2 > 1$) и не равно 1. ОДЗ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Поскольку основание логарифма $3a^2 + 2$ всегда больше 1, при решении неравенства знак сохраняется: $x^2 - 3x + 7 > (3a^2 + 2)^1$

$x^2 - 3x + 7 > 3a^2 + 2$

$x^2 - 3x + (5 - 3a^2) > 0$

Итак, множество решений первого неравенства, обозначим его $M_1$, это множество всех $x$, удовлетворяющих неравенству $x^2 - 3x + (5 - 3a^2) > 0$.

2. Решим второе неравенство: $(x + 1)^2 - 4a^2(x + 1) + 3a^4 > 0$.

Сделаем замену переменной $t = x + 1$. Неравенство примет вид: $t^2 - 4a^2t + 3a^4 > 0$

Это квадратное неравенство относительно $t$. Найдем корни соответствующего уравнения $t^2 - 4a^2t + 3a^4 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $t_1 = a^2$ и $t_2 = 3a^2$. Тогда неравенство можно записать в виде: $(t - a^2)(t - 3a^2) > 0$.

Рассмотрим два случая:

а) Если $a = 0$, неравенство принимает вид $t^2 > 0$, что означает $t \neq 0$. Возвращаясь к $x$, получаем $x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$. Множество решений $M_2 = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$. При $a=0$ первое неравенство становится $x^2 - 3x + 5 > 0$, которое верно для всех $x \in \mathbb{R}$ (дискриминант $D = 9 - 20 = -11 < 0$). Условие, что все решения первого неравенства ($x \in \mathbb{R}$) являются решениями второго ($x \neq -1$), не выполняется. Значит, $a=0$ не является решением.

б) Если $a \neq 0$, то $a^2 < 3a^2$. Решением неравенства $(t - a^2)(t - 3a^2) > 0$ является совокупность $t < a^2$ или $t > 3a^2$.

Возвращаясь к переменной $x$: $x + 1 < a^2$ или $x + 1 > 3a^2$

$x < a^2 - 1$ или $x > 3a^2 - 1$

Таким образом, множество решений второго неравенства $M_2 = (-\infty; a^2 - 1) \cup (3a^2 - 1; +\infty)$.

3. Найдем значения параметра $a$, удовлетворяющие условию задачи.

Условие задачи состоит в том, что $M_1 \subseteq M_2$. Это эквивалентно тому, что дополнение множества $M_2$ до действительной оси должно содержаться в дополнении множества $M_1$.

Дополнение $M_2$ есть отрезок $[a^2 - 1, 3a^2 - 1]$.

Дополнение $M_1$ есть множество решений неравенства $x^2 - 3x + (5 - 3a^2) \le 0$.

Следовательно, для любого $x$ из отрезка $[a^2 - 1, 3a^2 - 1]$ должно выполняться неравенство $x^2 - 3x + (5 - 3a^2) \le 0$. Рассмотрим функцию $g(x) = x^2 - 3x + (5 - 3a^2)$. Это парабола с ветвями, направленными вверх. Чтобы она была неположительной на всем отрезке, достаточно, чтобы ее значения на концах этого отрезка были неположительны: $g(a^2 - 1) \le 0$ и $g(3a^2 - 1) \le 0$.

Решим систему неравенств:

1) $g(a^2 - 1) = (a^2 - 1)^2 - 3(a^2 - 1) + (5 - 3a^2) \le 0$

$(a^4 - 2a^2 + 1) - 3a^2 + 3 + 5 - 3a^2 \le 0$

$a^4 - 8a^2 + 9 \le 0$

Сделаем замену $y = a^2$ ($y \ge 0$): $y^2 - 8y + 9 \le 0$. Корни уравнения $y^2 - 8y + 9 = 0$ равны $y_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2} = 4 \pm \sqrt{7}$. Решение неравенства для $y$: $4 - \sqrt{7} \le y \le 4 + \sqrt{7}$. Возвращаясь к $a^2$: $4 - \sqrt{7} \le a^2 \le 4 + \sqrt{7}$.

2) $g(3a^2 - 1) = (3a^2 - 1)^2 - 3(3a^2 - 1) + (5 - 3a^2) \le 0$

$(9a^4 - 6a^2 + 1) - 9a^2 + 3 + 5 - 3a^2 \le 0$

$9a^4 - 18a^2 + 9 \le 0$

$9(a^4 - 2a^2 + 1) \le 0$

$9(a^2 - 1)^2 \le 0$

Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, это неравенство выполняется только в одном случае: $(a^2 - 1)^2 = 0 \implies a^2 = 1$.

Теперь необходимо найти значения $a$, удовлетворяющие обоим условиям одновременно. Мы должны проверить, удовлетворяет ли значение $a^2 = 1$ первому условию $4 - \sqrt{7} \le a^2 \le 4 + \sqrt{7}$. Подставим $a^2 = 1$: $4 - \sqrt{7} \le 1$

$3 \le \sqrt{7}$

Возведем обе части в квадрат (обе части положительны): $9 \le 7$

Это неравенство является ложным.

Таким образом, не существует значений $a$, которые бы удовлетворяли обоим условиям одновременно.

Ответ: таких значений параметра $a$ не существует.

85. Решите уравнение $log_{x^2+1} log_3 log_{x^2+2} (x^3 + 10x^2 + 8x - 1) = 0$.

Исходное уравнение: $ \log_{x+1} \log_3 \log_{x+2} (x^3 + 10x^2 + 8x - 1) = 0 $.

Для решения уравнения сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Основания и аргументы логарифмов должны удовлетворять следующим условиям:

1. Основание внешнего логарифма: $x+1 > 0$ и $x+1 \ne 1$. Отсюда следует, что $x > -1$ и $x \ne 0$.

2. Основание среднего логарифма: $3 > 0$ и $3 \ne 1$. Это условие выполняется.

3. Основание внутреннего логарифма: $x+2 > 0$ и $x+2 \ne 1$. Отсюда следует, что $x > -2$ и $x \ne -1$.

4. Аргумент внешнего логарифма: $ \log_3 \log_{x+2} (x^3 + 10x^2 + 8x - 1) > 0$.

5. Аргумент среднего логарифма: $ \log_{x+2} (x^3 + 10x^2 + 8x - 1) > 0$.

6. Аргумент внутреннего логарифма: $x^3 + 10x^2 + 8x - 1 > 0$.

Объединяя условия на $x$ ($x > -1$, $x \ne 0$, $x > -2$, $x \ne -1$), получаем общую ОДЗ для оснований: $x \in (-1, 0) \cup (0, +\infty)$. Условия для аргументов мы проверим после нахождения корней.

Теперь приступим к решению уравнения, последовательно избавляясь от логарифмов, используя определение логарифма: $ \log_a b = c \Leftrightarrow b = a^c $.

Из исходного уравнения $ \log_{x+1} \left( \log_3 \log_{x+2} (x^3 + 10x^2 + 8x - 1) \right) = 0 $ следует, что аргумент внешнего логарифма равен $1$:

$ \log_3 \log_{x+2} (x^3 + 10x^2 + 8x - 1) = (x+1)^0 = 1 $.

Теперь из уравнения $ \log_3 \left( \log_{x+2} (x^3 + 10x^2 + 8x - 1) \right) = 1 $ следует, что аргумент этого логарифма равен $3^1$:

$ \log_{x+2} (x^3 + 10x^2 + 8x - 1) = 3^1 = 3 $.

И, наконец, из уравнения $ \log_{x+2} (x^3 + 10x^2 + 8x - 1) = 3 $ следует, что:

$ x^3 + 10x^2 + 8x - 1 = (x+2)^3 $.

Раскроем скобки в правой части уравнения, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:

$ (x+2)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 $.

Подставим полученное выражение в уравнение:

$ x^3 + 10x^2 + 8x - 1 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 $.

Упростим уравнение, перенеся все члены в левую часть и приведя подобные слагаемые:

$ (x^3 - x^3) + (10x^2 - 6x^2) + (8x - 12x) + (-1 - 8) = 0 $

$ 4x^2 - 4x - 9 = 0 $.

Мы получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $ D = b^2 - 4ac $:

$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 16 + 144 = 160 $.

Найдем корни уравнения по формуле $ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $:

$ \sqrt{D} = \sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = 4\sqrt{10} $.

$ x_1 = \frac{4 + 4\sqrt{10}}{2 \cdot 4} = \frac{4(1 + \sqrt{10})}{8} = \frac{1 + \sqrt{10}}{2} $.

$ x_2 = \frac{4 - 4\sqrt{10}}{2 \cdot 4} = \frac{4(1 - \sqrt{10})}{8} = \frac{1 - \sqrt{10}}{2} $.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ: $x > -1$ и $x \ne 0$.

Проверка для $x_1 = \frac{1 + \sqrt{10}}{2}$.

Оценим значение $ \sqrt{10} $. Так как $3^2=9$ и $4^2=16$, то $3 < \sqrt{10} < 4$.

Следовательно, $x_1 = \frac{1 + \sqrt{10}}{2} > \frac{1 + 3}{2} = 2$.

Так как $x_1 > 2$, он удовлетворяет условиям $x > -1$ и $x \ne 0$.

Также при таком $x$ выполняются и условия на аргументы логарифмов, так как в ходе решения мы получили $ \log_3(\dots) = 1 > 0 $ и $ \log_{x+2}(\dots) = 3 > 0 $, а также $ x^3 + 10x^2 + 8x - 1 = (x+2)^3 > 0 $ (поскольку $x_1+2>0$). Значит, $x_1$ является решением.

Проверка для $x_2 = \frac{1 - \sqrt{10}}{2}$.

Используя ту же оценку $3 < \sqrt{10} < 4$, получаем $ -4 < -\sqrt{10} < -3 $.

Следовательно, $ x_2 = \frac{1 - \sqrt{10}}{2} < \frac{1 - 3}{2} = -1 $.

Так как $x_2 < -1$, этот корень не удовлетворяет ОДЗ ($x > -1$) и является посторонним.

Таким образом, исходное уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $ \frac{1 + \sqrt{10}}{2} $

86. При каких действительных значениях параметра $a$ неравенство $log_{a-3}(|x|+4) > 2$ справедливо при всех действительных значениях $x$?

Для того чтобы неравенство $\log_{a-3}(|x| + 4) > 2$ было справедливо при всех действительных значениях $x$, необходимо рассмотреть область допустимых значений параметра $a$ и проанализировать само неравенство.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для параметра $a$. Основание логарифма $a-3$ должно быть строго больше нуля и не равно единице.

$a-3 > 0 \implies a > 3$

$a-3 \neq 1 \implies a \neq 4$

Таким образом, ОДЗ для $a$ является объединением интервалов: $a \in (3, 4) \cup (4, \infty)$.

Аргумент логарифма $|x| + 4$ должен быть строго больше нуля. Поскольку $|x| \ge 0$ для любого действительного $x$, то $|x| + 4 \ge 4$. Следовательно, условие $|x| + 4 > 0$ выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.

Теперь решим неравенство, рассмотрев два возможных случая, определенных ОДЗ.

Случай 1: Основание $0 < a-3 < 1$, то есть $3 < a < 4$.

В этом случае логарифмическая функция $y = \log_{a-3}(t)$ является убывающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$|x| + 4 < (a-3)^2$

Это неравенство должно выполняться для всех $x \in \mathbb{R}$. Однако левая часть неравенства, $|x|+4$, является неограниченной сверху функцией (ее значения лежат в промежутке $[4, +\infty)$), в то время как правая часть, $(a-3)^2$, является постоянной величиной для фиксированного $a$. Невозможно, чтобы неограниченная функция всегда была меньше некоторой константы. Следовательно, в этом случае решений для $a$ нет.

Случай 2: Основание $a-3 > 1$, то есть $a > 4$.

В этом случае логарифмическая функция $y = \log_{a-3}(t)$ является возрастающей. Знак неравенства при потенцировании сохраняется:

$|x| + 4 > (a-3)^2$

Это неравенство должно быть верным для всех $x \in \mathbb{R}$. Для этого необходимо, чтобы наименьшее значение левой части было больше правой части. Наименьшее значение выражения $|x|+4$ достигается при $x=0$ и равно $0+4=4$.

Следовательно, должно выполняться условие:

$4 > (a-3)^2$

Решим это квадратное неравенство:

$(a-3)^2 < 4$

$|a-3| < 2$

$-2 < a-3 < 2$

$1 < a < 5$

Теперь найдем пересечение полученного интервала $(1, 5)$ с условием, рассматриваемым в данном случае, то есть $a > 4$.

$\begin{cases} a > 4 \\ 1 < a < 5 \end{cases} \implies 4 < a < 5$

Объединяя результаты обоих случаев, мы видим, что значения параметра $a$, удовлетворяющие условию задачи, принадлежат интервалу $(4, 5)$.

Ответ: $a \in (4, 5)$.

87. Пользуясь геометрическим смыслом определенного интеграла, вычислите:

1) $\int_{0}^{2} \left| \left| x - 1 \right| - 1 \right| dx;$

2) $\int_{0}^{2} \sqrt{4x - x^2} dx;$

3) $\int_{3}^{6} \sqrt{6x - x^2} dx.$

1) Геометрический смысл определенного интеграла $ \int_{a}^{b} f(x) \,dx $ — это площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y = f(x)$, осью абсцисс $Ox$ и прямыми $x=a$ и $x=b$. В данном случае нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = ||x - 1| - 1|$ и осью $Ox$ на отрезке $[0, 2]$. Построим график функции $y = ||x - 1| - 1|$ на отрезке $[0, 2]$. При $x \in [0, 2]$:

• При $x=0$, $y = ||0-1|-1| = |1-1| = 0$.
• При $x=1$, $y = ||1-1|-1| = |0-1| = 1$.
• При $x=2$, $y = ||2-1|-1| = |1-1| = 0$.

Ответ: 1

2) Нам нужно вычислить интеграл $ \int_{0}^{2} \sqrt{4x - x^2} \,dx $. Рассмотрим подынтегральную функцию $y = \sqrt{4x - x^2}$. Это уравнение задает кривую. Чтобы определить ее тип, преобразуем уравнение: $y^2 = 4x - x^2$ $x^2 - 4x + y^2 = 0$ Дополним до полного квадрата по переменной $x$: $(x^2 - 4x + 4) - 4 + y^2 = 0$ $(x - 2)^2 + y^2 = 4$ $(x - 2)^2 + (y - 0)^2 = 2^2$ Это уравнение окружности с центром в точке $(2, 0)$ и радиусом $r = 2$. Поскольку в исходной функции $y = \sqrt{4x - x^2}$ перед корнем стоит знак плюс, мы имеем дело с верхней полуокружностью ($y \ge 0$). Интегрирование производится по отрезку $[0, 2]$. Этот отрезок является левой половиной диаметра окружности, лежащего на оси $Ox$ (от $x=0$ до $x=4$). Таким образом, искомый интеграл равен площади четверти круга с радиусом $r=2$. Площадь всего круга равна $S_{круга} = \pi r^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$. Площадь четверти круга: $S = \frac{1}{4} S_{круга} = \frac{1}{4} \cdot 4\pi = \pi$.

Ответ: $\pi$

3) Нам нужно вычислить интеграл $ \int_{3}^{6} \sqrt{6x - x^2} \,dx $. Рассмотрим подынтегральную функцию $y = \sqrt{6x - x^2}$ и определим тип кривой, которую она задает: $y^2 = 6x - x^2$ $x^2 - 6x + y^2 = 0$ Дополним до полного квадрата по переменной $x$: $(x^2 - 6x + 9) - 9 + y^2 = 0$ $(x - 3)^2 + y^2 = 9$ $(x - 3)^2 + (y - 0)^2 = 3^2$ Это уравнение окружности с центром в точке $(3, 0)$ и радиусом $r = 3$. Исходная функция $y = \sqrt{6x - x^2}$ задает верхнюю полуокружность ($y \ge 0$). Интегрирование производится по отрезку $[3, 6]$. Этот отрезок является правой половиной диаметра окружности, лежащего на оси $Ox$ (от $x=0$ до $x=6$). Таким образом, искомый интеграл равен площади четверти круга с радиусом $r=3$. Площадь всего круга равна $S_{круга} = \pi r^2 = \pi \cdot 3^2 = 9\pi$. Площадь четверти круга: $S = \frac{1}{4} S_{круга} = \frac{1}{4} \cdot 9\pi = \frac{9\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{9\pi}{4}$