Номер 84, страница 230 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

*84. При каких значениях параметра $a$ все решения неравенства $\log_{3x^2+2}(x^2 - 3x + 7) > 1$ одновременно являются решениями и неравенства $(x + 1)^2 - 4a^2(x + 1) + 3a^4 > 0?

Для решения задачи необходимо найти все значения параметра $a$, при которых множество решений первого неравенства является подмножеством множества решений второго неравенства.

1. Решим первое неравенство: $log_{3a^2+2}(x^2 - 3x + 7) > 1$.

Найдем область определения (ОДЗ).

Аргумент логарифма: $x^2 - 3x + 7$. Дискриминант этого квадратного трехчлена $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 9 - 28 = -19 < 0$. Так как коэффициент при $x^2$ положителен, парабола направлена ветвями вверх и не пересекает ось абсцисс, следовательно, $x^2 - 3x + 7 > 0$ при всех действительных $x$.

Основание логарифма: $3a^2 + 2$. Так как $a^2 \ge 0$ для любого действительного $a$, то $3a^2 \ge 0$, и $3a^2 + 2 \ge 2$.

Таким образом, основание всегда больше 1 ($3a^2 + 2 > 1$) и не равно 1. ОДЗ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Поскольку основание логарифма $3a^2 + 2$ всегда больше 1, при решении неравенства знак сохраняется: $x^2 - 3x + 7 > (3a^2 + 2)^1$

$x^2 - 3x + 7 > 3a^2 + 2$

$x^2 - 3x + (5 - 3a^2) > 0$

Итак, множество решений первого неравенства, обозначим его $M_1$, это множество всех $x$, удовлетворяющих неравенству $x^2 - 3x + (5 - 3a^2) > 0$.

2. Решим второе неравенство: $(x + 1)^2 - 4a^2(x + 1) + 3a^4 > 0$.

Сделаем замену переменной $t = x + 1$. Неравенство примет вид: $t^2 - 4a^2t + 3a^4 > 0$

Это квадратное неравенство относительно $t$. Найдем корни соответствующего уравнения $t^2 - 4a^2t + 3a^4 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $t_1 = a^2$ и $t_2 = 3a^2$. Тогда неравенство можно записать в виде: $(t - a^2)(t - 3a^2) > 0$.

Рассмотрим два случая:

а) Если $a = 0$, неравенство принимает вид $t^2 > 0$, что означает $t \neq 0$. Возвращаясь к $x$, получаем $x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$. Множество решений $M_2 = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$. При $a=0$ первое неравенство становится $x^2 - 3x + 5 > 0$, которое верно для всех $x \in \mathbb{R}$ (дискриминант $D = 9 - 20 = -11 < 0$). Условие, что все решения первого неравенства ($x \in \mathbb{R}$) являются решениями второго ($x \neq -1$), не выполняется. Значит, $a=0$ не является решением.

б) Если $a \neq 0$, то $a^2 < 3a^2$. Решением неравенства $(t - a^2)(t - 3a^2) > 0$ является совокупность $t < a^2$ или $t > 3a^2$.

Возвращаясь к переменной $x$: $x + 1 < a^2$ или $x + 1 > 3a^2$

$x < a^2 - 1$ или $x > 3a^2 - 1$

Таким образом, множество решений второго неравенства $M_2 = (-\infty; a^2 - 1) \cup (3a^2 - 1; +\infty)$.

3. Найдем значения параметра $a$, удовлетворяющие условию задачи.

Условие задачи состоит в том, что $M_1 \subseteq M_2$. Это эквивалентно тому, что дополнение множества $M_2$ до действительной оси должно содержаться в дополнении множества $M_1$.

Дополнение $M_2$ есть отрезок $[a^2 - 1, 3a^2 - 1]$.

Дополнение $M_1$ есть множество решений неравенства $x^2 - 3x + (5 - 3a^2) \le 0$.

Следовательно, для любого $x$ из отрезка $[a^2 - 1, 3a^2 - 1]$ должно выполняться неравенство $x^2 - 3x + (5 - 3a^2) \le 0$. Рассмотрим функцию $g(x) = x^2 - 3x + (5 - 3a^2)$. Это парабола с ветвями, направленными вверх. Чтобы она была неположительной на всем отрезке, достаточно, чтобы ее значения на концах этого отрезка были неположительны: $g(a^2 - 1) \le 0$ и $g(3a^2 - 1) \le 0$.

Решим систему неравенств:

1) $g(a^2 - 1) = (a^2 - 1)^2 - 3(a^2 - 1) + (5 - 3a^2) \le 0$

$(a^4 - 2a^2 + 1) - 3a^2 + 3 + 5 - 3a^2 \le 0$

$a^4 - 8a^2 + 9 \le 0$

Сделаем замену $y = a^2$ ($y \ge 0$): $y^2 - 8y + 9 \le 0$. Корни уравнения $y^2 - 8y + 9 = 0$ равны $y_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2} = 4 \pm \sqrt{7}$. Решение неравенства для $y$: $4 - \sqrt{7} \le y \le 4 + \sqrt{7}$. Возвращаясь к $a^2$: $4 - \sqrt{7} \le a^2 \le 4 + \sqrt{7}$.

2) $g(3a^2 - 1) = (3a^2 - 1)^2 - 3(3a^2 - 1) + (5 - 3a^2) \le 0$

$(9a^4 - 6a^2 + 1) - 9a^2 + 3 + 5 - 3a^2 \le 0$

$9a^4 - 18a^2 + 9 \le 0$

$9(a^4 - 2a^2 + 1) \le 0$

$9(a^2 - 1)^2 \le 0$

Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, это неравенство выполняется только в одном случае: $(a^2 - 1)^2 = 0 \implies a^2 = 1$.

Теперь необходимо найти значения $a$, удовлетворяющие обоим условиям одновременно. Мы должны проверить, удовлетворяет ли значение $a^2 = 1$ первому условию $4 - \sqrt{7} \le a^2 \le 4 + \sqrt{7}$. Подставим $a^2 = 1$: $4 - \sqrt{7} \le 1$

$3 \le \sqrt{7}$

Возведем обе части в квадрат (обе части положительны): $9 \le 7$

Это неравенство является ложным.

Таким образом, не существует значений $a$, которые бы удовлетворяли обоим условиям одновременно.

Ответ: таких значений параметра $a$ не существует.