Номер 87, страница 230 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

87. Пользуясь геометрическим смыслом определенного интеграла, вычислите:

1) $\int_{0}^{2} \left| \left| x - 1 \right| - 1 \right| dx;$

2) $\int_{0}^{2} \sqrt{4x - x^2} dx;$

3) $\int_{3}^{6} \sqrt{6x - x^2} dx.$

1) Геометрический смысл определенного интеграла $ \int_{a}^{b} f(x) \,dx $ — это площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y = f(x)$, осью абсцисс $Ox$ и прямыми $x=a$ и $x=b$. В данном случае нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = ||x - 1| - 1|$ и осью $Ox$ на отрезке $[0, 2]$. Построим график функции $y = ||x - 1| - 1|$ на отрезке $[0, 2]$. При $x \in [0, 2]$:

• При $x=0$, $y = ||0-1|-1| = |1-1| = 0$.
• При $x=1$, $y = ||1-1|-1| = |0-1| = 1$.
• При $x=2$, $y = ||2-1|-1| = |1-1| = 0$.

Ответ: 1

2) Нам нужно вычислить интеграл $ \int_{0}^{2} \sqrt{4x - x^2} \,dx $. Рассмотрим подынтегральную функцию $y = \sqrt{4x - x^2}$. Это уравнение задает кривую. Чтобы определить ее тип, преобразуем уравнение: $y^2 = 4x - x^2$ $x^2 - 4x + y^2 = 0$ Дополним до полного квадрата по переменной $x$: $(x^2 - 4x + 4) - 4 + y^2 = 0$ $(x - 2)^2 + y^2 = 4$ $(x - 2)^2 + (y - 0)^2 = 2^2$ Это уравнение окружности с центром в точке $(2, 0)$ и радиусом $r = 2$. Поскольку в исходной функции $y = \sqrt{4x - x^2}$ перед корнем стоит знак плюс, мы имеем дело с верхней полуокружностью ($y \ge 0$). Интегрирование производится по отрезку $[0, 2]$. Этот отрезок является левой половиной диаметра окружности, лежащего на оси $Ox$ (от $x=0$ до $x=4$). Таким образом, искомый интеграл равен площади четверти круга с радиусом $r=2$. Площадь всего круга равна $S_{круга} = \pi r^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$. Площадь четверти круга: $S = \frac{1}{4} S_{круга} = \frac{1}{4} \cdot 4\pi = \pi$.

Ответ: $\pi$

3) Нам нужно вычислить интеграл $ \int_{3}^{6} \sqrt{6x - x^2} \,dx $. Рассмотрим подынтегральную функцию $y = \sqrt{6x - x^2}$ и определим тип кривой, которую она задает: $y^2 = 6x - x^2$ $x^2 - 6x + y^2 = 0$ Дополним до полного квадрата по переменной $x$: $(x^2 - 6x + 9) - 9 + y^2 = 0$ $(x - 3)^2 + y^2 = 9$ $(x - 3)^2 + (y - 0)^2 = 3^2$ Это уравнение окружности с центром в точке $(3, 0)$ и радиусом $r = 3$. Исходная функция $y = \sqrt{6x - x^2}$ задает верхнюю полуокружность ($y \ge 0$). Интегрирование производится по отрезку $[3, 6]$. Этот отрезок является правой половиной диаметра окружности, лежащего на оси $Ox$ (от $x=0$ до $x=6$). Таким образом, искомый интеграл равен площади четверти круга с радиусом $r=3$. Площадь всего круга равна $S_{круга} = \pi r^2 = \pi \cdot 3^2 = 9\pi$. Площадь четверти круга: $S = \frac{1}{4} S_{круга} = \frac{1}{4} \cdot 9\pi = \frac{9\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{9\pi}{4}$