Номер 86, страница 230 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

86. При каких действительных значениях параметра $a$ неравенство $log_{a-3}(|x|+4) > 2$ справедливо при всех действительных значениях $x$?

Для того чтобы неравенство $\log_{a-3}(|x| + 4) > 2$ было справедливо при всех действительных значениях $x$, необходимо рассмотреть область допустимых значений параметра $a$ и проанализировать само неравенство.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для параметра $a$. Основание логарифма $a-3$ должно быть строго больше нуля и не равно единице.

$a-3 > 0 \implies a > 3$

$a-3 \neq 1 \implies a \neq 4$

Таким образом, ОДЗ для $a$ является объединением интервалов: $a \in (3, 4) \cup (4, \infty)$.

Аргумент логарифма $|x| + 4$ должен быть строго больше нуля. Поскольку $|x| \ge 0$ для любого действительного $x$, то $|x| + 4 \ge 4$. Следовательно, условие $|x| + 4 > 0$ выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.

Теперь решим неравенство, рассмотрев два возможных случая, определенных ОДЗ.

Случай 1: Основание $0 < a-3 < 1$, то есть $3 < a < 4$.

В этом случае логарифмическая функция $y = \log_{a-3}(t)$ является убывающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$|x| + 4 < (a-3)^2$

Это неравенство должно выполняться для всех $x \in \mathbb{R}$. Однако левая часть неравенства, $|x|+4$, является неограниченной сверху функцией (ее значения лежат в промежутке $[4, +\infty)$), в то время как правая часть, $(a-3)^2$, является постоянной величиной для фиксированного $a$. Невозможно, чтобы неограниченная функция всегда была меньше некоторой константы. Следовательно, в этом случае решений для $a$ нет.

Случай 2: Основание $a-3 > 1$, то есть $a > 4$.

В этом случае логарифмическая функция $y = \log_{a-3}(t)$ является возрастающей. Знак неравенства при потенцировании сохраняется:

$|x| + 4 > (a-3)^2$

Это неравенство должно быть верным для всех $x \in \mathbb{R}$. Для этого необходимо, чтобы наименьшее значение левой части было больше правой части. Наименьшее значение выражения $|x|+4$ достигается при $x=0$ и равно $0+4=4$.

Следовательно, должно выполняться условие:

$4 > (a-3)^2$

Решим это квадратное неравенство:

$(a-3)^2 < 4$

$|a-3| < 2$

$-2 < a-3 < 2$

$1 < a < 5$

Теперь найдем пересечение полученного интервала $(1, 5)$ с условием, рассматриваемым в данном случае, то есть $a > 4$.

$\begin{cases} a > 4 \\ 1 < a < 5 \end{cases} \implies 4 < a < 5$

Объединяя результаты обоих случаев, мы видим, что значения параметра $a$, удовлетворяющие условию задачи, принадлежат интервалу $(4, 5)$.

Ответ: $a \in (4, 5)$.