Номер 80, страница 230 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

80. Докажите, если $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{2}{c}$, ТО $\frac{a + c}{a - c} + \frac{b + c}{b - c} = -2.$

Начнем с преобразования данного в условии равенства:

$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{2}{c} $

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$ \frac{a+b}{ab} = \frac{2}{c} $

Используя основное свойство пропорции, получаем следующее соотношение:

$ c(a+b) = 2ab $

Теперь преобразуем выражение, тождество с которым нужно доказать. Обозначим его как $E$:

$ E = \frac{a+c}{a-c} + \frac{b+c}{b-c} $

Для удобства представим числители дробей в виде $a+c = (a-c)+2c$ и $b+c = (b-c)+2c$. Тогда выражение примет вид:

$ E = \frac{(a-c)+2c}{a-c} + \frac{(b-c)+2c}{b-c} = \left( \frac{a-c}{a-c} + \frac{2c}{a-c} \right) + \left( \frac{b-c}{b-c} + \frac{2c}{b-c} \right) $

$ E = \left( 1 + \frac{2c}{a-c} \right) + \left( 1 + \frac{2c}{b-c} \right) = 2 + 2c \left( \frac{1}{a-c} + \frac{1}{b-c} \right) $

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$ E = 2 + 2c \left( \frac{(b-c)+(a-c)}{(a-c)(b-c)} \right) = 2 + \frac{2c(a+b-2c)}{(a-c)(b-c)} $

Теперь воспользуемся выведенным ранее соотношением $c(a+b) = 2ab$.

Рассмотрим знаменатель дроби в выражении для $E$:

$ (a-c)(b-c) = ab - ac - bc + c^2 = ab - c(a+b) + c^2 $

Подставив $c(a+b) = 2ab$, получаем:

$ (a-c)(b-c) = ab - 2ab + c^2 = c^2 - ab $

Теперь рассмотрим числитель $a+b-2c$. Из соотношения $c(a+b)=2ab$ можно выразить $a+b = \frac{2ab}{c}$. Подставим это:

$ a+b-2c = \frac{2ab}{c} - 2c = \frac{2ab - 2c^2}{c} = \frac{-2(c^2-ab)}{c} $

Подставим полученные выражения для числителя и знаменателя обратно в формулу для $E$:

$ E = 2 + \frac{2c \cdot \frac{-2(c^2-ab)}{c}}{c^2 - ab} = 2 + \frac{-4(c^2-ab)}{c^2-ab} $

Поскольку исходное выражение определено, его знаменатели $a-c$ и $b-c$ не могут быть равны нулю. Следовательно, их произведение $(a-c)(b-c) = c^2-ab$ также не равно нулю, и мы можем сократить на него дробь:

$ E = 2 - 4 = -2 $

Таким образом, доказано, что если $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{2}{c} $, то $ \frac{a+c}{a-c} + \frac{b+c}{b-c} = -2 $.

Ответ: -2.