Номер 83, страница 230 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

*83.

1) При каких значениях параметра $a$ неравенство $(a - 2)\sin(2x) - 3 > 0$ выполняется при всех значениях $x$?

2) При каких значениях параметра $a$ неравенство $(a - 1)\cos(x - 2) < 2$ выполняется при всех значениях $x$?

1)

Рассмотрим неравенство $(a - 2)\sin(2x) - 3 > 0$. Оно должно выполняться для всех значений $x$.

Перепишем неравенство в виде: $(a - 2)\sin(2x) > 3$.

Для того чтобы это неравенство выполнялось при любых значениях $x$, необходимо, чтобы наименьшее значение выражения в левой части было больше 3.

Пусть $E(x) = (a - 2)\sin(2x)$. Мы ищем такие $a$, при которых $\min_{x \in \mathbb{R}} E(x) > 3$.

Область значений функции синуса: $-1 \le \sin(2x) \le 1$.

Рассмотрим три случая в зависимости от знака коэффициента $(a - 2)$.

Случай 1: $a - 2 > 0$, то есть $a > 2$.

Поскольку коэффициент $(a-2)$ положителен, выражение $E(x)$ достигает своего наименьшего значения, когда $\sin(2x)$ принимает наименьшее значение, то есть $\sin(2x) = -1$.

$\min E(x) = (a - 2)(-1) = -a + 2$.

Требуем, чтобы это минимальное значение было больше 3:

$-a + 2 > 3$

$-a > 1$

$a < -1$

Мы получили систему условий: $\begin{cases} a > 2 \\ a < -1 \end{cases}$. Эта система не имеет решений.

Случай 2: $a - 2 < 0$, то есть $a < 2$.

Поскольку коэффициент $(a-2)$ отрицателен, выражение $E(x)$ достигает своего наименьшего значения, когда $\sin(2x)$ принимает наибольшее значение, то есть $\sin(2x) = 1$.

$\min E(x) = (a - 2)(1) = a - 2$.

Требуем, чтобы это минимальное значение было больше 3:

$a - 2 > 3$

$a > 5$

Мы получили систему условий: $\begin{cases} a < 2 \\ a > 5 \end{cases}$. Эта система также не имеет решений.

Случай 3: $a - 2 = 0$, то есть $a = 2$.

Подставим $a=2$ в исходное неравенство:

$(2 - 2)\sin(2x) - 3 > 0$

$0 \cdot \sin(2x) - 3 > 0$

$-3 > 0$

Это неравенство ложно. Следовательно, $a=2$ не является решением.

Поскольку ни в одном из случаев мы не нашли подходящих значений $a$, таких значений параметра не существует.

Ответ: таких значений $a$ не существует.

2)

Рассмотрим неравенство $(a - 1)\cos(x - 2) < 2$. Оно должно выполняться для всех значений $x$.

Для того чтобы это неравенство выполнялось при любых значениях $x$, необходимо, чтобы наибольшее значение выражения в левой части было меньше 2.

Пусть $E(x) = (a - 1)\cos(x - 2)$. Мы ищем такие $a$, при которых $\max_{x \in \mathbb{R}} E(x) < 2$.

Область значений функции косинуса: $-1 \le \cos(x - 2) \le 1$.

Рассмотрим три случая в зависимости от знака коэффициента $(a - 1)$.

Случай 1: $a - 1 > 0$, то есть $a > 1$.

Поскольку коэффициент $(a-1)$ положителен, выражение $E(x)$ достигает своего наибольшего значения, когда $\cos(x - 2)$ принимает наибольшее значение, то есть $\cos(x - 2) = 1$.

$\max E(x) = (a - 1)(1) = a - 1$.

Требуем, чтобы это максимальное значение было меньше 2:

$a - 1 < 2$

$a < 3$

Мы получили систему условий: $\begin{cases} a > 1 \\ a < 3 \end{cases}$. Решением этой системы является интервал $1 < a < 3$.

Случай 2: $a - 1 < 0$, то есть $a < 1$.

Поскольку коэффициент $(a-1)$ отрицателен, выражение $E(x)$ достигает своего наибольшего значения, когда $\cos(x - 2)$ принимает наименьшее значение, то есть $\cos(x - 2) = -1$.

$\max E(x) = (a - 1)(-1) = -a + 1$.

Требуем, чтобы это максимальное значение было меньше 2:

$-a + 1 < 2$

$-a < 1$

$a > -1$

Мы получили систему условий: $\begin{cases} a < 1 \\ a > -1 \end{cases}$. Решением этой системы является интервал $-1 < a < 1$.

Случай 3: $a - 1 = 0$, то есть $a = 1$.

Подставим $a=1$ в исходное неравенство:

$(1 - 1)\cos(x - 2) < 2$

$0 \cdot \cos(x - 2) < 2$

$0 < 2$

Это неравенство истинно при любых значениях $x$. Следовательно, $a=1$ является решением.

Объединим решения, полученные во всех трех случаях:

$(-1 < a < 1) \cup \{a=1\} \cup (1 < a < 3)$

В результате получаем интервал $-1 < a < 3$.

Ответ: $a \in (-1; 3)$.