gdz.top
Номер 82, страница 230 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский
Авторы: Абылкасымова А. Е., Корчевский В. Е., Жумагулова З. А.
Тип: Учебник
Издательство: Мектеп
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
Популярные ГДЗ в 11 классе
Глава VIII. Дифференциальные уравнения. Упражнения для повторения курса «Алгебра и начала анализа» 10-11 классы - номер 82, страница 230.
№81
№82 (с. 230)
Условие. №82 (с. 230)
*82. Докажите неравенство $n! < \left(\frac{n+1}{2}\right)^n, n > 2.$
Решение 2 (rus). №82 (с. 230)
Для доказательства данного неравенства $n! < \left(\frac{n+1}{2}\right)^n$ при $n > 2$ воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши).
Для $n$ положительных чисел $x_1, x_2, \ldots, x_n$ неравенство Коши имеет вид:
$\frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} \ge \sqrt[n]{x_1 x_2 \ldots x_n}$
Равенство в этом выражении достигается тогда и только тогда, когда все числа равны между собой: $x_1 = x_2 = \ldots = x_n$.
Применим это неравенство к набору из $n$ натуральных чисел: $1, 2, 3, \ldots, n$.
Среднее арифметическое этих чисел:
$A = \frac{1 + 2 + \ldots + n}{n} = \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n} = \frac{n+1}{2}$
Среднее геометрическое этих чисел:
$G = \sqrt[n]{1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n} = \sqrt[n]{n!}$
Так как по условию $n > 2$, числа в наборе $1, 2, \ldots, n$ не равны друг другу. Следовательно, неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим будет строгим:
$A > G$
Подставим выражения для $A$ и $G$:
$\frac{n+1}{2} > \sqrt[n]{n!}$
Чтобы получить исходное неравенство, возведем обе части в степень $n$. Так как обе части положительны, знак неравенства сохранится:
$\left(\frac{n+1}{2}\right)^n > (\sqrt[n]{n!})^n$
$\left(\frac{n+1}{2}\right)^n > n!$
Это доказывает неравенство для всех $n > 1$, и, следовательно, для всех $n > 2$, что и требовалось доказать.
Ответ: Неравенство доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 82 расположенного на странице 230 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №82 (с. 230), авторов: Абылкасымова (Алма Есимбековна), Корчевский (Владимир Евгеньевич), Жумагулова (Зауре Абдыкеновна), учебного пособия издательства Мектеп.