Номер 78, страница 230 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

78. Докажите, что для любых положительных a, b, c не могут одновременно выполняться неравенства: $a(1 - b) > \frac{1}{4}$; $b(1 - c) > \frac{1}{4}$; $c(1 - a) > \frac{1}{4}$.

Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что для некоторых положительных чисел $a$, $b$ и $c$ все три неравенства выполняются одновременно:

1) $a(1 - b) > \frac{1}{4}$

2) $b(1 - c) > \frac{1}{4}$

3) $c(1 - a) > \frac{1}{4}$

Рассмотрим первое неравенство $a(1 - b) > \frac{1}{4}$. Поскольку по условию $a$ — положительное число ($a > 0$), для того чтобы произведение было положительным, необходимо, чтобы и второй множитель был положителен: $1 - b > 0$, откуда следует, что $b < 1$.

Аналогично, из второго неравенства $b(1 - c) > \frac{1}{4}$ и условия $b > 0$ следует, что $1 - c > 0$, то есть $c < 1$.

Из третьего неравенства $c(1 - a) > \frac{1}{4}$ и условия $c > 0$ следует, что $1 - a > 0$, то есть $a < 1$.

Таким образом, если наше предположение верно, то для чисел $a, b, c$ должны выполняться условия: $0 < a < 1$, $0 < b < 1$, $0 < c < 1$.

Теперь перемножим все три исходных неравенства. Так как все части неравенств положительны, знак неравенства сохранится:

$[a(1 - b)] \cdot [b(1 - c)] \cdot [c(1 - a)] > \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}$

Сгруппировав множители, получим:

$[a(1 - a)] \cdot [b(1 - b)] \cdot [c(1 - c)] > \frac{1}{64}$ (*)

Далее воспользуемся известным неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши) для двух положительных чисел $x$ и $y$: $\sqrt{xy} \le \frac{x+y}{2}$. Возведя обе части в квадрат, получаем $xy \le \left(\frac{x+y}{2}\right)^2$.

Применим это неравенство для пар чисел $(a, 1-a)$, $(b, 1-b)$ и $(c, 1-c)$. Так как мы установили, что $0 < a, b, c < 1$, все эти числа и их разности с единицей положительны.

$a(1 - a) \le \left(\frac{a + (1 - a)}{2}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$

$b(1 - b) \le \left(\frac{b + (1 - b)}{2}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$

$c(1 - c) \le \left(\frac{c + (1 - c)}{2}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$

Равенство в этих случаях достигается только при $a = 1/2$, $b = 1/2$ и $c = 1/2$ соответственно.

Перемножим эти три верных неравенства. Поскольку все их части неотрицательны, получаем:

$[a(1 - a)] \cdot [b(1 - b)] \cdot [c(1 - c)] \le \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}$

$[a(1 - a)] \cdot [b(1 - b)] \cdot [c(1 - c)] \le \frac{1}{64}$ (**)

Мы получили противоречие. Неравенство (*), выведенное из нашего предположения, утверждает, что произведение $[a(1 - a)] \cdot [b(1 - b)] \cdot [c(1 - c)]$ строго больше $\frac{1}{64}$. В то же время, неравенство (**), являющееся следствием неравенства Коши, утверждает, что это же произведение не может превышать $\frac{1}{64}$. Одно и то же выражение не может быть одновременно строго больше $\frac{1}{64}$ и меньше либо равно $\frac{1}{64}$.

Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что все три неравенства могут выполняться одновременно, является неверным.

Ответ: Что и требовалось доказать.