Номер 81, страница 230 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

81. Учитель написал на листке бумаги число 100. 25 учеников класса передают листок друг другу, и каждый ученик прибавляет к числу или отнимает от него единицу — как желает. Может ли в результате получиться число 80?

Для решения этой задачи можно использовать свойство чётности чисел.

Изначально на листке было написано число 100. Это чётное число. Каждый из 25 учеников выполняет одно из двух действий: прибавляет 1 или отнимает 1. И прибавление, и вычитание единицы изменяют чётность числа на противоположную:

• Если число было чётным, то после операции $ (число \pm 1) $ оно станет нечётным.
• Если число было нечётным, то после операции $ (число \pm 1) $ оно станет чётным.

Рассмотрим, как будет меняться чётность числа после действия каждого ученика:

• Исходное число 100 — чётное.
• После 1-го ученика число станет нечётным.
• После 2-го ученика число снова станет чётным.
• После 3-го ученика число опять станет нечётным.

Как мы видим, после каждого нечётного по счёту ученика (1-го, 3-го, 5-го и т.д.) чётность итогового числа будет противоположна начальной, то есть число будет нечётным. После каждого чётного по счёту ученика (2-го, 4-го, 6-го и т.д.) чётность будет такой же, как и начальная, то есть число будет чётным.

Всего в классе 25 учеников. Так как 25 — это нечётное число, то после того, как все 25 учеников выполнят свои действия, итоговое число должно иметь противоположную чётность по сравнению с исходным. Исходное число 100 было чётным, значит, конечное число должно быть нечётным.

В задаче спрашивается, может ли в результате получиться число 80. Число 80 является чётным.

Поскольку итоговое число должно быть нечётным, а 80 — чётное, то получиться 80 в результате не может.

Альтернативный способ решения (алгебраический):

Пусть $k$ учеников прибавили к числу единицу, а $m$ учеников отняли единицу. Общее число учеников равно 25, следовательно, $k + m = 25$.

Итоговое число можно выразить формулой: $N_{конечное} = 100 + k \cdot (+1) + m \cdot (-1) = 100 + k - m$.

Проверим, может ли итоговое число быть равным 80: $100 + k - m = 80$ $k - m = 80 - 100$ $k - m = -20$

Мы получили систему из двух линейных уравнений: $ \begin{cases} k + m = 25 \\ k - m = -20 \end{cases} $

Сложим эти два уравнения: $(k + m) + (k - m) = 25 + (-20)$ $2k = 5$ $k = 2.5$

Переменная $k$ обозначает количество учеников, поэтому она должна быть целым неотрицательным числом. Полученное значение $k=2.5$ не является целым. Это означает, что не существует такого целого числа учеников, которые могли бы прибавить единицу, чтобы в итоге получилось 80.

Ответ: Нет, не может.