Страница 226 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

49. Витринное окно площадью в $12,5 \text{ м}^2$ имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Какой должна быть длина радиуса полукруга, чтобы периметр окна был наименьшим?

Пусть $r$ — радиус полукруга, а $h$ — высота прямоугольной части окна. Тогда ширина прямоугольника, на которой расположен полукруг, равна диаметру, то есть $2r$.

Общая площадь окна $S$ складывается из площади прямоугольника ($S_{пр}$) и площади полукруга ($S_{пк}$).

$S_{пр} = 2r \cdot h$

$S_{пк} = \frac{1}{2} \pi r^2$

Следовательно, общая площадь окна: $S = 2rh + \frac{1}{2}\pi r^2$.

По условию задачи, $S = 12,5$ м$^2$. Подставим это значение в уравнение:

$12,5 = 2rh + \frac{1}{2}\pi r^2$

Чтобы найти наименьший периметр, нужно выразить его как функцию одной переменной. Выразим $h$ через $r$ из уравнения площади:

$2rh = 12,5 - \frac{1}{2}\pi r^2$

$h = \frac{12,5}{2r} - \frac{\pi r^2}{4r} = \frac{25}{4r} - \frac{\pi r}{4}$

Периметр окна $P$ состоит из двух боковых сторон прямоугольника (длиной $h$ каждая), его основания (длиной $2r$) и длины дуги полукруга (равной $\pi r$).

$P = 2h + 2r + \pi r$

Теперь подставим выражение для $h$ в формулу периметра, чтобы получить функцию $P(r)$:

$P(r) = 2 \left(\frac{25}{4r} - \frac{\pi r}{4}\right) + 2r + \pi r$

$P(r) = \frac{25}{2r} - \frac{\pi r}{2} + 2r + \pi r = \frac{25}{2r} + 2r + \frac{\pi r}{2}$

$P(r) = \frac{25}{2r} + r\left(2 + \frac{\pi}{2}\right)$

Чтобы найти значение $r$, при котором периметр $P$ будет наименьшим, найдем производную функции $P(r)$ по переменной $r$ и приравняем ее к нулю.

$P'(r) = \frac{d}{dr}\left(\frac{25}{2}r^{-1} + r\left(2 + \frac{\pi}{2}\right)\right) = -\frac{25}{2}r^{-2} + \left(2 + \frac{\pi}{2}\right) = -\frac{25}{2r^2} + 2 + \frac{\pi}{2}$

Приравниваем производную к нулю для нахождения критических точек:

$P'(r) = 0 \implies -\frac{25}{2r^2} + 2 + \frac{\pi}{2} = 0$

$\frac{25}{2r^2} = 2 + \frac{\pi}{2}$

$\frac{25}{2r^2} = \frac{4+\pi}{2}$

$25 = r^2(4+\pi)$

$r^2 = \frac{25}{4+\pi}$

Так как радиус $r$ должен быть положительной величиной, извлекаем квадратный корень:

$r = \sqrt{\frac{25}{4+\pi}} = \frac{5}{\sqrt{4+\pi}}$

Чтобы убедиться, что это точка минимума, найдем вторую производную функции $P(r)$:

$P''(r) = \frac{d}{dr}\left(-\frac{25}{2r^2}\right) = (-2)\left(-\frac{25}{2r^2}\right)r^{-1} = \frac{50}{2r^3} = \frac{25}{r^3}$

Поскольку $r > 0$, значение второй производной $P''(r)$ всегда положительно. Это подтверждает, что найденное значение $r$ соответствует точке минимума периметра.

Ответ: $r = \frac{5}{\sqrt{4+\pi}}$ м.

50. Через какую точку графика функции $f(x) = \sqrt{2 - x}$ надо провести касательную, чтобы площадь треугольника, образованного осями координат и этой касательной, была наименьшей?

Пусть $(x_0, y_0)$ — точка на графике функции $f(x) = \sqrt{2-x}$, через которую проведена касательная. Координаты этой точки удовлетворяют уравнению $y_0 = \sqrt{2-x_0}$. Область определения функции: $2-x \ge 0$, то есть $x \le 2$.

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$.

Найдем производную функции $f(x)$:$f'(x) = (\sqrt{2-x})' = ((2-x)^{1/2})' = \frac{1}{2}(2-x)^{-1/2} \cdot (2-x)' = \frac{1}{2\sqrt{2-x}} \cdot (-1) = -\frac{1}{2\sqrt{2-x}}$.

Значение производной в точке $x_0$ равно $f'(x_0) = -\frac{1}{2\sqrt{2-x_0}}$. Заметим, что для существования касательной, не являющейся вертикальной, необходимо $x_0 < 2$.

Подставим известные значения в уравнение касательной:$y - \sqrt{2-x_0} = -\frac{1}{2\sqrt{2-x_0}}(x - x_0)$.

Теперь найдем точки пересечения этой касательной с осями координат. Эти точки вместе с началом координат $(0,0)$ образуют прямоугольный треугольник.

1. Пересечение с осью Oy (x=0):$y - \sqrt{2-x_0} = -\frac{1}{2\sqrt{2-x_0}}(0 - x_0) = \frac{x_0}{2\sqrt{2-x_0}}$.$y_{int} = \sqrt{2-x_0} + \frac{x_0}{2\sqrt{2-x_0}} = \frac{2(\sqrt{2-x_0})^2 + x_0}{2\sqrt{2-x_0}} = \frac{2(2-x_0) + x_0}{2\sqrt{2-x_0}} = \frac{4 - 2x_0 + x_0}{2\sqrt{2-x_0}} = \frac{4-x_0}{2\sqrt{2-x_0}}$.Это длина катета, лежащего на оси Oy.

2. Пересечение с осью Ox (y=0):$0 - \sqrt{2-x_0} = -\frac{1}{2\sqrt{2-x_0}}(x - x_0)$.Умножим обе части на $-2\sqrt{2-x_0}$:$2(\sqrt{2-x_0})^2 = x - x_0$.$2(2-x_0) = x - x_0$.$4 - 2x_0 = x - x_0$.$x_{int} = 4 - 2x_0 + x_0 = 4 - x_0$.Это длина катета, лежащего на оси Ox.

Поскольку $x_0 < 2$, то $y_0 = \sqrt{2-x_0} > 0$. Производная $f'(x_0) < 0$, значит касательная имеет отрицательный наклон. Следовательно, точки пересечения с осями будут иметь положительные координаты: $x_{int} = 4-x_0 > 2 > 0$ и $y_{int} = \frac{4-x_0}{2\sqrt{2-x_0}} > 0$.

Площадь $S$ прямоугольного треугольника, образованного касательной и осями координат, равна половине произведения его катетов:$S(x_0) = \frac{1}{2} \cdot x_{int} \cdot y_{int} = \frac{1}{2} \cdot (4-x_0) \cdot \frac{4-x_0}{2\sqrt{2-x_0}} = \frac{(4-x_0)^2}{4\sqrt{2-x_0}}$.

Чтобы найти наименьшую площадь, нужно исследовать функцию $S(x_0)$ на минимум. Для этого найдем ее производную $S'(x_0)$ и приравняем к нулю. Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:$u = (4-x_0)^2 \Rightarrow u' = 2(4-x_0)(-1) = -2(4-x_0)$.$v = 4\sqrt{2-x_0} \Rightarrow v' = 4 \cdot (-\frac{1}{2\sqrt{2-x_0}}) = -\frac{2}{\sqrt{2-x_0}}$.

$S'(x_0) = \frac{-2(4-x_0) \cdot 4\sqrt{2-x_0} - (4-x_0)^2 \cdot (-\frac{2}{\sqrt{2-x_0}})}{(4\sqrt{2-x_0})^2}$$S'(x_0) = \frac{-8(4-x_0)\sqrt{2-x_0} + \frac{2(4-x_0)^2}{\sqrt{2-x_0}}}{16(2-x_0)}$.Приведем числитель к общему знаменателю $\sqrt{2-x_0}$:$S'(x_0) = \frac{\frac{-8(4-x_0)(2-x_0) + 2(4-x_0)^2}{\sqrt{2-x_0}}}{16(2-x_0)} = \frac{-8(8-4x_0-2x_0+x_0^2) + 2(16-8x_0+x_0^2)}{16(2-x_0)\sqrt{2-x_0}}$.Упростим числитель, вынеся за скобки общий множитель $2(4-x_0)$:Числитель: $2(4-x_0) \left[ -4(2-x_0) + (4-x_0) \right] = 2(4-x_0)(-8+4x_0+4-x_0) = 2(4-x_0)(3x_0-4)$.Тогда производная:$S'(x_0) = \frac{2(4-x_0)(3x_0-4)}{16(2-x_0)^{3/2}} = \frac{(4-x_0)(3x_0-4)}{8(2-x_0)^{3/2}}$.

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:$S'(x_0) = 0 \Rightarrow (4-x_0)(3x_0-4) = 0$.Получаем два решения: $x_0 = 4$ и $x_0 = 4/3$.Решение $x_0=4$ не входит в область определения функции ($x_0 < 2$), поэтому мы его отбрасываем.Остается одна критическая точка $x_0 = 4/3$.

Проверим знак производной в окрестности точки $x_0 = 4/3$. Знаменатель $8(2-x_0)^{3/2}$ и множитель $(4-x_0)$ положительны при $x_0 < 2$. Знак $S'(x_0)$ зависит от знака множителя $(3x_0-4)$.При $x_0 < 4/3$, $S'(x_0) < 0$ (функция убывает).При $x_0 > 4/3$, $S'(x_0) > 0$ (функция возрастает).Следовательно, в точке $x_0 = 4/3$ достигается минимум функции $S(x_0)$.

Теперь найдем ординату искомой точки:$y_0 = f(x_0) = \sqrt{2-x_0} = \sqrt{2 - \frac{4}{3}} = \sqrt{\frac{6-4}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$.

Таким образом, искомая точка на графике функции, через которую нужно провести касательную для получения треугольника наименьшей площади, имеет координаты $(4/3, \sqrt{2/3})$.

Ответ: Касательную надо провести через точку с координатами $(\frac{4}{3}, \sqrt{\frac{2}{3}})$.

51. Решите дифференциальное уравнение:

1) $y' = \frac{x^4 - 2}{x^3};$

2) $y' = (1 + x^2)(1 + y^2);$

3) $y' = \frac{1 + y^2}{1 + x^2};$

4) $y \cos y \cdot y' = -2x.$

1) Дано дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: $y' = \frac{x^4 - 2}{x^3}$.

Первым шагом представим $y'$ как $\frac{dy}{dx}$ и упростим правую часть уравнения, разделив числитель на знаменатель почленно:

$\frac{dy}{dx} = \frac{x^4}{x^3} - \frac{2}{x^3}$

$\frac{dy}{dx} = x - 2x^{-3}$

Теперь разделим переменные, умножив обе части на $dx$:

$dy = (x - 2x^{-3})dx$

Проинтегрируем обе части полученного равенства:

$\int dy = \int (x - 2x^{-3})dx$

Вычисляем интегралы:

$y = \frac{x^2}{2} - 2\frac{x^{-2}}{-2} + C$

$y = \frac{x^2}{2} + x^{-2} + C$

Окончательный вид общего решения:

$y = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{x^2} + C$

Ответ: $y = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{x^2} + C$.

2) Дано уравнение: $y' = (1 + x^2)(1 + y^2)$.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Заменим $y'$ на $\frac{dy}{dx}$:

$\frac{dy}{dx} = (1 + x^2)(1 + y^2)$

Разделим переменные: перенесем все выражения, содержащие $y$, в левую часть, а содержащие $x$ — в правую.

$\frac{dy}{1 + y^2} = (1 + x^2)dx$

Теперь проинтегрируем обе части уравнения:

$\int \frac{dy}{1 + y^2} = \int (1 + x^2)dx$

Оба интеграла являются табличными. Интеграл слева равен арктангенсу $y$, а интеграл справа — степенной функции:

$\arctan(y) = x + \frac{x^3}{3} + C$

Это общее решение уравнения в неявном виде.

Ответ: $\arctan(y) = x + \frac{x^3}{3} + C$.

3) Дано уравнение: $y' = \frac{1 + y^2}{1 + x^2}$.

Это также уравнение с разделяющимися переменными. Запишем $y'$ как $\frac{dy}{dx}$:

$\frac{dy}{dx} = \frac{1 + y^2}{1 + x^2}$

Разделяем переменные:

$\frac{dy}{1 + y^2} = \frac{dx}{1 + x^2}$

Интегрируем обе части:

$\int \frac{dy}{1 + y^2} = \int \frac{dx}{1 + x^2}$

Оба интеграла являются табличными и равны арктангенсам:

$\arctan(y) = \arctan(x) + C$

Это и есть общее решение уравнения.

Ответ: $\arctan(y) = \arctan(x) + C$.

4) Дано уравнение: $y\cos(y) \cdot y' = -2x$.

Заменяем $y'$ на $\frac{dy}{dx}$:

$y\cos(y) \frac{dy}{dx} = -2x$

Разделяем переменные:

$y\cos(y)dy = -2xdx$

Интегрируем обе части:

$\int y\cos(y)dy = \int -2xdx$

Интеграл в правой части вычисляется просто:

$\int -2xdx = -2\frac{x^2}{2} + C_1 = -x^2 + C_1$

Интеграл в левой части, $\int y\cos(y)dy$, вычисляется методом интегрирования по частям по формуле $\int u dv = uv - \int v du$.

Пусть $u = y$ и $dv = \cos(y)dy$. Тогда $du = dy$ и $v = \int\cos(y)dy = \sin(y)$.

$\int y\cos(y)dy = y\sin(y) - \int \sin(y)dy = y\sin(y) - (-\cos(y)) + C_2 = y\sin(y) + \cos(y) + C_2$

Приравниваем результаты интегрирования левой и правой частей:

$y\sin(y) + \cos(y) + C_2 = -x^2 + C_1$

Объединяем константы $C = C_1 - C_2$ и переносим член с $x$ в левую часть:

$y\sin(y) + \cos(y) + x^2 = C$

Ответ: $y\sin(y) + \cos(y) + x^2 = C$.

52. Найдите частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего условию:

1) $x^2y' = -y^2, y(-1) = 1;$

2) $(1 + e^x)yy' - 0,5e^x = 0, y(0) = 0;$

3) $ydx + \text{ctg}xdy = 0, y(\frac{\pi}{2}) = -1;$

4) $\cos^2x \cdot \ln ydy = ydx, y(\pi) = 1.$

1) Дано дифференциальное уравнение $x^2y' = -y^2$ с начальным условием $y(-1)=1$. Это уравнение с разделяющимися переменными. Запишем $y'$ как $\frac{dy}{dx}$: $x^2\frac{dy}{dx} = -y^2$. Разделим переменные, предполагая, что $y \neq 0$ и $x \neq 0$: $\frac{dy}{-y^2} = \frac{dx}{x^2}$. Проинтегрируем обе части уравнения: $\int \frac{dy}{-y^2} = \int \frac{dx}{x^2}$

$\int -y^{-2}dy = \int x^{-2}dx$

$- \frac{y^{-1}}{-1} = \frac{x^{-1}}{-1} + C$, где $C$ - произвольная постоянная.

$\frac{1}{y} = -\frac{1}{x} + C$. Это общее решение в неявном виде. Теперь используем начальное условие $y(-1)=1$ для нахождения $C$: $\frac{1}{1} = -\frac{1}{-1} + C$

$1 = 1 + C$, откуда следует, что $C=0$. Подставим найденное значение $C$ в общее решение: $\frac{1}{y} = -\frac{1}{x}$. Выразим $y$ явно: $y = -x$.

Ответ: $y = -x$.

2) Дано дифференциальное уравнение $(1+e^x)yy' - 0,5e^x = 0$ с начальным условием $y(0)=0$. Это уравнение с разделяющимися переменными. Перепишем его и разделим переменные: $(1+e^x)y\frac{dy}{dx} = 0,5e^x$

$y dy = \frac{0,5e^x}{1+e^x} dx$. Интегрируем обе части: $\int y dy = \int \frac{0,5e^x}{1+e^x} dx$

$\frac{y^2}{2} = 0,5 \int \frac{d(1+e^x)}{1+e^x}$

$\frac{y^2}{2} = 0,5 \ln(1+e^x) + C_1$. (Модуль не нужен, так как $1+e^x > 0$). Умножим на 2 и заменим $2C_1$ на $C$: $y^2 = \ln(1+e^x) + C$. Используем начальное условие $y(0)=0$: $0^2 = \ln(1+e^0) + C$

$0 = \ln(1+1) + C$

$C = -\ln(2)$. Подставляем $C$ в общее решение: $y^2 = \ln(1+e^x) - \ln(2)$

$y^2 = \ln\left(\frac{1+e^x}{2}\right)$.

Ответ: $y^2 = \ln\left(\frac{1+e^x}{2}\right)$.

3) Дано дифференциальное уравнение $ydx + \text{ctg}xdy = 0$ с начальным условием $y(\frac{\pi}{3})=-1$. Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим их: $\text{ctg}x dy = -y dx$

$\frac{dy}{y} = -\frac{dx}{\text{ctg}x}$

$\frac{dy}{y} = -\tan x dx$. Интегрируем обе части уравнения: $\int \frac{dy}{y} = -\int \tan x dx$

$\ln|y| = \ln|\cos x| + C_1$. Для удобства представим $C_1$ как $\ln|C|$: $\ln|y| = \ln|C\cos x|$, откуда получаем общее решение: $y = C\cos x$. Найдем $C$ из начального условия $y(\frac{\pi}{3})=-1$: $-1 = C \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$

$-1 = C \cdot \frac{1}{2}$

$C = -2$. Частное решение имеет вид: $y = -2\cos x$.

Ответ: $y = -2\cos x$.

4) Дано дифференциальное уравнение $\cos^2x \cdot \ln y dy = ydx$ с начальным условием $y(\pi)=1$. Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим их, предполагая $y \neq 0$ и $\cos x \neq 0$: $\frac{\ln y}{y} dy = \frac{dx}{\cos^2 x}$. Интегрируем обе части: $\int \frac{\ln y}{y} dy = \int \frac{dx}{\cos^2 x}$. Для левой части используем подстановку $u = \ln y$, тогда $du = \frac{1}{y}dy$: $\int u du = \frac{u^2}{2} = \frac{(\ln y)^2}{2}$. Интеграл правой части: $\int \frac{dx}{\cos^2 x} = \tan x$. Получаем общее решение: $\frac{(\ln y)^2}{2} = \tan x + C$. Используем начальное условие $y(\pi)=1$: $\frac{(\ln 1)^2}{2} = \tan(\pi) + C$

$\frac{0^2}{2} = 0 + C$

$C=0$. Подставляем $C=0$ и получаем частное решение в неявном виде: $\frac{(\ln y)^2}{2} = \tan x$

$(\ln y)^2 = 2\tan x$.

Ответ: $(\ln y)^2 = 2\tan x$.

53. Решите дифференциальное уравнение:

1) $y' - y \cdot \text{ctg}x = \text{sin}x;$

2) $yy' = 1 + 3x\text{ln}x;$

3) $y' - y = e^x;$

4) $(1 + x^2)y' + 4xy = 3.$

1) Данное уравнение $y' - y \cdot \text{ctg}x = \sin x$ является линейным дифференциальным уравнением первого порядка вида $y' + p(x)y = q(x)$, где $p(x) = -\text{ctg}x$ и $q(x) = \sin x$.

Решим его методом вариации произвольной постоянной. Сначала найдем решение соответствующего однородного уравнения:

$y' - y \cdot \text{ctg}x = 0$

Запишем $y' = \frac{dy}{dx}$ и разделим переменные:

$\frac{dy}{dx} = y \frac{\cos x}{\sin x}$

$\frac{dy}{y} = \frac{\cos x}{\sin x} dx$

Интегрируем обе части:

$\int \frac{dy}{y} = \int \frac{\cos x}{\sin x} dx$

$\ln|y| = \ln|\sin x| + \ln C$

$y = C \sin x$ – это общее решение однородного уравнения.

Теперь будем искать решение исходного неоднородного уравнения в виде $y = C(x) \sin x$, где $C(x)$ - некоторая функция.

Найдем производную: $y' = C'(x) \sin x + C(x) \cos x$.

Подставим $y$ и $y'$ в исходное уравнение:

$(C'(x) \sin x + C(x) \cos x) - (C(x) \sin x) \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = \sin x$

$C'(x) \sin x + C(x) \cos x - C(x) \cos x = \sin x$

$C'(x) \sin x = \sin x$

$C'(x) = 1$

Интегрируя, находим $C(x)$:

$C(x) = \int 1 dx = x + C_1$

Подставим найденное $C(x)$ в выражение для общего решения $y$:

$y = (x + C_1) \sin x$.

Ответ: $y = (x+C)\sin x$.

2) Данное уравнение $yy' = 1 + 3x\ln x$ является уравнением с разделяющимися переменными.

Запишем $y' = \frac{dy}{dx}$:

$y \frac{dy}{dx} = 1 + 3x\ln x$

Разделим переменные, умножив обе части на $dx$:

$y dy = (1 + 3x\ln x) dx$

Интегрируем обе части уравнения:

$\int y dy = \int (1 + 3x\ln x) dx$

Левая часть: $\int y dy = \frac{y^2}{2}$.

Правая часть: $\int (1 + 3x\ln x) dx = \int 1 dx + 3\int x\ln x dx = x + 3\int x\ln x dx$.

Интеграл $\int x\ln x dx$ найдем методом интегрирования по частям $\int u dv = uv - \int v du$.

Пусть $u = \ln x$, $dv = x dx$. Тогда $du = \frac{1}{x}dx$, $v = \frac{x^2}{2}$.

$\int x\ln x dx = \ln x \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}$.

Подставляем результат в правую часть:

$x + 3\left(\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}\right) = x + \frac{3}{2}x^2\ln x - \frac{3}{4}x^2$.

Собираем все вместе:

$\frac{y^2}{2} = x + \frac{3}{2}x^2\ln x - \frac{3}{4}x^2 + C_1$

Умножим на 2 для упрощения и заменим $2C_1$ на $C$:

$y^2 = 2x + 3x^2\ln x - \frac{3}{2}x^2 + C$.

Ответ: $y^2 = 2x + 3x^2\ln x - \frac{3}{2}x^2 + C$.

3) Данное уравнение $y' - y = e^x$ является линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Решим его методом интегрирующего множителя. Уравнение имеет вид $y' + p(x)y = q(x)$, где $p(x) = -1$ и $q(x) = e^x$.

Интегрирующий множитель $\mu(x)$ находится по формуле $\mu(x) = e^{\int p(x)dx}$.

$\mu(x) = e^{\int (-1)dx} = e^{-x}$.

Умножим обе части исходного уравнения на $\mu(x) = e^{-x}$:

$e^{-x}y' - e^{-x}y = e^{-x}e^x$

Левая часть является производной произведения $(\mu(x)y)'$:

$(e^{-x}y)' = 1$

Интегрируем обе части по $x$:

$\int (e^{-x}y)' dx = \int 1 dx$

$e^{-x}y = x + C$

Выразим $y$:

$y = (x+C)e^x$.

Ответ: $y = (x+C)e^x$.

4) Данное уравнение $(1 + x^2)y' + 4xy = 3$ является линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Приведем его к стандартному виду $y' + p(x)y = q(x)$, разделив все члены на $(1+x^2)$:

$y' + \frac{4x}{1+x^2}y = \frac{3}{1+x^2}$

Здесь $p(x) = \frac{4x}{1+x^2}$ и $q(x) = \frac{3}{1+x^2}$.

Найдем интегрирующий множитель $\mu(x) = e^{\int p(x)dx}$:

$\int p(x)dx = \int \frac{4x}{1+x^2}dx$. Сделаем замену $u = 1+x^2$, $du = 2x dx$.

$\int \frac{2 \cdot 2x}{1+x^2}dx = 2 \int \frac{du}{u} = 2\ln|u| = 2\ln(1+x^2) = \ln((1+x^2)^2)$.

$\mu(x) = e^{\ln((1+x^2)^2)} = (1+x^2)^2$.

Умножим уравнение в стандартной форме на $\mu(x)$:

$(1+x^2)^2 \left( y' + \frac{4x}{1+x^2}y \right) = (1+x^2)^2 \frac{3}{1+x^2}$

$(1+x^2)^2 y' + 4x(1+x^2)y = 3(1+x^2)$

Левая часть является производной произведения $(\mu(x)y)'$:

$((1+x^2)^2 y)' = 3(1+x^2)$

Интегрируем обе части по $x$:

$\int ((1+x^2)^2 y)' dx = \int 3(1+x^2) dx$

$(1+x^2)^2 y = \int (3 + 3x^2) dx$

$(1+x^2)^2 y = 3x + 3\frac{x^3}{3} + C$

$(1+x^2)^2 y = 3x + x^3 + C$

Выразим $y$:

$y = \frac{x^3 + 3x + C}{(1+x^2)^2}$.

Ответ: $y = \frac{x^3 + 3x + C}{(1+x^2)^2}$.

54. Решите линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

1) $y'' - 5y' - 6y = 0;$
2) $y'' - 2y' - 8y = 0;$
3) $y'' + 3y' - 10y = 0;$
4) $y'' + 4y' - 12y = 0.$

1)

Дано линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами: $y'' - 5y' - 6y = 0$.

Для его решения составим соответствующее характеристическое уравнение. Для этого заменим производные на степени переменной $k$: $y'' \rightarrow k^2$, $y' \rightarrow k$, $y \rightarrow 1$.

Характеристическое уравнение имеет вид:

$k^2 - 5k - 6 = 0$.

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

$k_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 7}{2} = -1$.

$k_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 7}{2} = 6$.

Так как корни характеристического уравнения действительные и различные ($k_1 \neq k_2$), общее решение дифференциального уравнения имеет вид $y = C_1e^{k_1x} + C_2e^{k_2x}$, где $C_1$ и $C_2$ — произвольные постоянные.

Подставим найденные значения корней $k_1 = -1$ и $k_2 = 6$ в формулу общего решения:

$y = C_1e^{-1 \cdot x} + C_2e^{6x} = C_1e^{-x} + C_2e^{6x}$.

Ответ: $y = C_1e^{-x} + C_2e^{6x}$.

2)

Дано уравнение: $y'' - 2y' - 8y = 0$.

Составляем характеристическое уравнение:

$k^2 - 2k - 8 = 0$.

Находим корни этого квадратного уравнения. Вычислим дискриминант:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня:

$k_1 = \frac{-(-2) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = -2$.

$k_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = 4$.

Общее решение для случая двух различных действительных корней $k_1$ и $k_2$ имеет вид $y = C_1e^{k_1x} + C_2e^{k_2x}$.

Подставляем найденные значения $k_1 = -2$ и $k_2 = 4$:

$y = C_1e^{-2x} + C_2e^{4x}$.

Ответ: $y = C_1e^{-2x} + C_2e^{4x}$.

3)

Дано уравнение: $y'' + 3y' - 10y = 0$.

Характеристическое уравнение:

$k^2 + 3k - 10 = 0$.

Находим корни. Вычислим дискриминант:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$.

Корни действительные и различные, так как $D > 0$:

$k_1 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 7}{2} = -5$.

$k_2 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 7}{2} = 2$.

Общее решение имеет вид $y = C_1e^{k_1x} + C_2e^{k_2x}$.

Подставляем значения $k_1 = -5$ и $k_2 = 2$:

$y = C_1e^{-5x} + C_2e^{2x}$.

Ответ: $y = C_1e^{-5x} + C_2e^{2x}$.

4)

Дано уравнение: $y'' + 4y' - 12y = 0$.

Характеристическое уравнение:

$k^2 + 4k - 12 = 0$.

Находим корни. Вычислим дискриминант:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$.

Корни действительные и различные, так как $D > 0$:

$k_1 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 8}{2} = -6$.

$k_2 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 8}{2} = 2$.

Общее решение имеет вид $y = C_1e^{k_1x} + C_2e^{k_2x}$.

Подставляем значения $k_1 = -6$ и $k_2 = 2$:

$y = C_1e^{-6x} + C_2e^{2x}$.

Ответ: $y = C_1e^{-6x} + C_2e^{2x}$.

55. 1) Скорость поезда на горизонтальном участке пути равна 72 км/ч. За сколько секунд и на каком расстоянии поезд будет остановлен, если сопротивление движению после начала торможения равно 0,2 его веса?

2) Найдите уравнение кривой, проходящей через точку $M(3; 4)$, у которой отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится в точке касания пополам.

3) В воде, температура которой $20^\circ C$, в течение 10 мин тело охлаждается от $100^\circ C$ до $60^\circ C$. За какое время тело охладится до $30^\circ C$, если по закону Ньютона скорость охлаждения пропорциональна разности температур тела и охлаждающей среды?

1) Для решения задачи воспользуемся вторым законом Ньютона и формулами равноускоренного движения. Сначала переведем начальную скорость поезда в системные единицы (м/с):

$v_0 = 72 \text{ км/ч} = 72 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 20 \text{ м/с}$.

По условию, сила сопротивления движению (тормозящая сила) $F_{сопр}$ составляет 0,2 от веса поезда $P$. Вес поезда $P = mg$, где $m$ — масса поезда, а $g$ — ускорение свободного падения (примем $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$).

$F_{сопр} = 0,2 P = 0,2 mg$.

Согласно второму закону Ньютона, $F = ma$. Тормозящая сила направлена против движения, поэтому ускорение $a$ будет отрицательным.

$ma = -F_{сопр} = -0,2 mg$.

Масса $m$ сокращается, и мы находим ускорение:

$a = -0,2 g = -0,2 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 = -1,96 \text{ м/с}^2$.

Теперь найдем время $t$, за которое поезд остановится. Конечная скорость $v$ равна 0. Используем формулу скорости:

$v = v_0 + at$.

$0 = 20 \text{ м/с} + (-1,96 \text{ м/с}^2) \cdot t$.

$t = \frac{-20 \text{ м/с}}{-1,96 \text{ м/с}^2} \approx 10,2 \text{ с}$.

Далее найдем расстояние (тормозной путь) $s$, которое пройдет поезд до полной остановки. Используем формулу, связывающую скорость и расстояние:

$v^2 - v_0^2 = 2as$.

$0^2 - (20 \text{ м/с})^2 = 2 \cdot (-1,96 \text{ м/с}^2) \cdot s$.

$-400 \text{ м}^2/\text{с}^2 = -3,92 \text{ м/с}^2 \cdot s$.

$s = \frac{-400 \text{ м}^2/\text{с}^2}{-3,92 \text{ м/с}^2} \approx 102 \text{ м}$.

Ответ: Поезд будет остановлен за 10,2 секунды на расстоянии 102 метра.

2) Пусть искомая кривая задается уравнением $y=f(x)$. Возьмем на кривой произвольную точку касания $P(x_0, y_0)$. Уравнение касательной к кривой в этой точке имеет вид:

$y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$.

Найдем точки пересечения этой касательной с осями координат.

Пересечение с осью Oy (когда $x=0$):

$y_A - y_0 = f'(x_0)(0 - x_0) \implies y_A = y_0 - x_0 f'(x_0)$. Точка пересечения $A(0, y_0 - x_0 f'(x_0))$.

Пересечение с осью Ox (когда $y=0$):

$0 - y_0 = f'(x_0)(x_B - x_0) \implies x_B = x_0 - \frac{y_0}{f'(x_0)}$. Точка пересечения $B(x_0 - \frac{y_0}{f'(x_0)}, 0)$.

По условию, точка касания $P(x_0, y_0)$ является серединой отрезка $AB$. Используем формулы координат середины отрезка:

$x_0 = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{0 + x_0 - \frac{y_0}{f'(x_0)}}{2} \implies 2x_0 = x_0 - \frac{y_0}{f'(x_0)} \implies x_0 = -\frac{y_0}{f'(x_0)}$.

$y_0 = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{y_0 - x_0 f'(x_0) + 0}{2} \implies 2y_0 = y_0 - x_0 f'(x_0) \implies y_0 = -x_0 f'(x_0)$.

Оба условия приводят к одному и тому же дифференциальному уравнению. Запишем его для произвольной точки $(x, y)$ на кривой, заменив $y_0$ на $y$, $x_0$ на $x$ и $f'(x_0)$ на $\frac{dy}{dx}$:

$y = -x \frac{dy}{dx}$.

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решим его:

$\frac{dy}{y} = -\frac{dx}{x}$.

Интегрируем обе части:

$\int \frac{dy}{y} = -\int \frac{dx}{x}$.

$\ln|y| = -\ln|x| + C_1$.

$\ln|y| + \ln|x| = C_1 \implies \ln|xy| = C_1$.

$xy = e^{C_1} = C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Итак, общее решение — $y = \frac{C}{x}$.

Найдем значение константы $C$, используя условие, что кривая проходит через точку $M(3; 4)$:

$4 = \frac{C}{3} \implies C = 12$.

Следовательно, искомое уравнение кривой: $y = \frac{12}{x}$.

Ответ: $y = \frac{12}{x}$.

3) Согласно закону Ньютона, скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. Пусть $T(t)$ — температура тела в момент времени $t$, а $T_с$ — температура среды. Математически это записывается как дифференциальное уравнение:

$\frac{dT}{dt} = -k(T - T_с)$,

где $k$ — коэффициент пропорциональности, а знак "минус" указывает на то, что температура тела уменьшается (охлаждение).

По условию, $T_с = 20^\circ\text{C}$. Уравнение принимает вид:

$\frac{dT}{dt} = -k(T - 20)$.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его:

$\frac{dT}{T - 20} = -k dt$.

$\int \frac{dT}{T - 20} = \int -k dt$.

$\ln(T - 20) = -kt + C_1$.

$T - 20 = e^{-kt + C_1} = e^{C_1}e^{-kt}$.

Обозначим $C = e^{C_1}$ и получим общее решение: $T(t) = 20 + Ce^{-kt}$.

Используем начальные условия для нахождения констант $C$ и $k$.

1. В начальный момент времени $t=0$, температура тела $T(0) = 100^\circ\text{C}$.

$100 = 20 + Ce^{-k \cdot 0} \implies 100 = 20 + C \implies C = 80$.

Теперь уравнение выглядит так: $T(t) = 20 + 80e^{-kt}$.

2. Через 10 минут ($t=10$) температура стала $T(10) = 60^\circ\text{C}$.

$60 = 20 + 80e^{-k \cdot 10}$.

$40 = 80e^{-10k}$.

$e^{-10k} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}$.

Теперь нам нужно найти время $t_1$, за которое тело охладится до $30^\circ\text{C}$.

$30 = 20 + 80e^{-kt_1}$.

$10 = 80e^{-kt_1}$.

$e^{-kt_1} = \frac{10}{80} = \frac{1}{8}$.

Мы имеем два соотношения: $e^{-10k} = \frac{1}{2}$ и $e^{-kt_1} = \frac{1}{8}$.

Из первого соотношения $(e^{-k})^{10} = \frac{1}{2}$. Из второго $(e^{-k})^{t_1} = \frac{1}{8}$.

Так как $\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^3$, мы можем записать:

$(e^{-k})^{t_1} = ((e^{-k})^{10})^3 = (e^{-k})^{30}$.

Сравнивая показатели степени, получаем $t_1 = 30$ минут.

Ответ: Тело охладится до 30°C за 30 минут.

56. Выполните действия:

1) $3(2 + 3i) - (3 - 5i);$

2) $4(1 + 3i) - (2 + 5i);$

3) $(2,1 - i) - (3,1 - 5i);$

4) $6(2 + 3i) - 2(2 + 5i).$

1) $3(2 + 3i) - (3 - 5i)$

Для выполнения действий с комплексными числами сначала раскроем скобки. Первое выражение в скобках умножим на 3, а во втором выражении сменим знаки на противоположные, так как перед ним стоит знак минус.

$3 \cdot 2 + 3 \cdot 3i - 3 + 5i = 6 + 9i - 3 + 5i$

Далее сгруппируем действительные и мнимые части и выполним их сложение и вычитание по отдельности.

$(6 - 3) + (9i + 5i) = 3 + 14i$

Ответ: $3 + 14i$

2) $4(1 + 3i) - (2 + 5i)$

Раскроем скобки. Умножим первое выражение на 4, а у второго сменим знаки на противоположные.

$4 \cdot 1 + 4 \cdot 3i - 2 - 5i = 4 + 12i - 2 - 5i$

Сгруппируем и выполним действия с действительными и мнимыми частями:

$(4 - 2) + (12i - 5i) = 2 + 7i$

Ответ: $2 + 7i$

3) $(2,1 - i) - (3,1 - 5i)$

Раскроем скобки. Так как перед вторым выражением в скобках стоит знак минус, изменим знаки внутри них на противоположные.

$2,1 - i - 3,1 + 5i$

Сгруппируем и выполним действия с действительными и мнимыми частями:

$(2,1 - 3,1) + (-i + 5i) = -1 + 4i$

Ответ: $-1 + 4i$

4) $6(2 + 3i) - 2(2 + 5i)$

Раскроем скобки, умножая каждое комплексное число на стоящий перед ним множитель.

$(6 \cdot 2 + 6 \cdot 3i) - (2 \cdot 2 + 2 \cdot 5i) = (12 + 18i) - (4 + 10i)$

Теперь раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные.

$12 + 18i - 4 - 10i$

Сгруппируем и выполним действия с действительными и мнимыми частями:

$(12 - 4) + (18i - 10i) = 8 + 8i$

Ответ: $8 + 8i$