Страница 220 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

7. 1) $\left(\frac{\sqrt{1+a^2}}{1+b+a^2} - \frac{\sqrt{b} \cdot (\sqrt{1+a^2} - \sqrt{b})^2}{(1+a^2)^2 - b^2}\right)^{-1} - 10^{\log_{100}(1+a^2)};$

2) $2^{\log_2 x} + \sqrt{\frac{4}{x} - 2 + \frac{1}{4x^{-1}}} + \sqrt{\frac{x}{4} + \frac{1}{4x} + \frac{1}{2}}.$

1)

Упростим данное выражение по частям.

Сначала рассмотрим выражение в больших скобках: $ \left( \frac{\sqrt{1+a^2}}{1+b+a^2} - \frac{\sqrt{b} \cdot (\sqrt{1+a^2} - \sqrt{b})^2}{(1+a^2)^2 - b^2} \right) $.

Для удобства введем замену: пусть $X = \sqrt{1+a^2}$ и $Y = \sqrt{b}$. Тогда $X^2 = 1+a^2$ и $Y^2 = b$.

Выражение примет вид: $ \frac{X}{X^2+Y^2} - \frac{Y(X-Y)^2}{(X^2)^2-(Y^2)^2} $.

Знаменатель второй дроби является разностью квадратов: $(X^2)^2 - (Y^2)^2 = X^4 - Y^4 = (X^2-Y^2)(X^2+Y^2)$.

В свою очередь, $X^2-Y^2 = (X-Y)(X+Y)$. Таким образом, знаменатель равен $(X-Y)(X+Y)(X^2+Y^2)$.

Подставим это в выражение: $ \frac{X}{X^2+Y^2} - \frac{Y(X-Y)^2}{(X-Y)(X+Y)(X^2+Y^2)} $.

При условии $X \neq Y$ (то есть $\sqrt{1+a^2} \neq \sqrt{b}$ или $1+a^2 \neq b$), сократим дробь на $(X-Y)$: $ \frac{X}{X^2+Y^2} - \frac{Y(X-Y)}{(X+Y)(X^2+Y^2)} $.

Приведем дроби к общему знаменателю $(X+Y)(X^2+Y^2)$:

$ \frac{X(X+Y) - Y(X-Y)}{(X+Y)(X^2+Y^2)} = \frac{X^2+XY-XY+Y^2}{(X+Y)(X^2+Y^2)} = \frac{X^2+Y^2}{(X+Y)(X^2+Y^2)} $.

Сократим на $X^2+Y^2$ (это выражение всегда больше 0, так как $X^2 = 1+a^2 \ge 1$ и $Y^2 = b \ge 0$, и они не могут быть одновременно равны нулю): $ \frac{1}{X+Y} $.

Теперь вернемся к исходному выражению. Первая его часть: $ \left( \frac{1}{X+Y} \right)^{-1} = X+Y $.

Подставим обратную замену: $ \sqrt{1+a^2} + \sqrt{b} $.

Теперь рассмотрим вторую часть выражения: $ 10^{\log_{100}(1+a^2)} $.

Используем свойство логарифмов для перехода к основанию 10: $ \log_{100}(1+a^2) = \frac{\log_{10}(1+a^2)}{\log_{10}(100)} = \frac{\log_{10}(1+a^2)}{2} = \frac{1}{2}\log_{10}(1+a^2) $.

Подставим это в степень: $ 10^{\frac{1}{2}\log_{10}(1+a^2)} = (10^{\log_{10}(1+a^2)})^{\frac{1}{2}} $.

Используя основное логарифмическое тождество $k^{\log_k m} = m$, получаем: $ (1+a^2)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{1+a^2} $.

Теперь объединим обе части: $ (\sqrt{1+a^2} + \sqrt{b}) - \sqrt{1+a^2} = \sqrt{b} $.

Область допустимых значений: $b \ge 0$, $1+a^2 > 0$ (всегда верно), $(1+a^2)^2 - b^2 \neq 0 \implies 1+a^2 \neq b$.

Ответ: $ \sqrt{b} $.

2)

Упростим данное выражение по частям. Область допустимых значений определяется условием $x>0$.

1. Первый член: $ 2^{\log_2 x} $. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем $ 2^{\log_2 x} = x $.

2. Второй член: $ \sqrt{\frac{4}{x} - 2 + \frac{1}{4x^{-1}}} $. Упростим выражение под корнем. Так как $x^{-1} = \frac{1}{x}$, то $ \frac{1}{4x^{-1}} = \frac{1}{4/x} = \frac{x}{4} $.

Выражение под корнем приобретает вид: $ \frac{4}{x} - 2 + \frac{x}{4} $. Это выражение является полным квадратом разности:

$ (\frac{2}{\sqrt{x}})^2 - 2 \cdot \frac{2}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{2} + (\frac{\sqrt{x}}{2})^2 = (\frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{2})^2 $.

Тогда второй член равен: $ \sqrt{(\frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{2})^2} = |\frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{2}| $.

3. Третий член: $ \sqrt{\frac{x}{4} + \frac{1}{4x} + \frac{1}{2}} $. Выражение под корнем также является полным квадратом суммы:

$ (\frac{\sqrt{x}}{2})^2 + 2 \cdot \frac{\sqrt{x}}{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} + (\frac{1}{2\sqrt{x}})^2 = (\frac{\sqrt{x}}{2} + \frac{1}{2\sqrt{x}})^2 $.

Тогда третий член равен: $ \sqrt{(\frac{\sqrt{x}}{2} + \frac{1}{2\sqrt{x}})^2} = |\frac{\sqrt{x}}{2} + \frac{1}{2\sqrt{x}}| $. Поскольку $x>0$, выражение в модуле всегда положительно, поэтому модуль можно опустить: $ \frac{\sqrt{x}}{2} + \frac{1}{2\sqrt{x}} $.

Соберем все части вместе: $ x + |\frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{2}| + \frac{\sqrt{x}}{2} + \frac{1}{2\sqrt{x}} $.

Для раскрытия модуля необходимо определить знак выражения $ \frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{2} = \frac{4-x}{2\sqrt{x}} $.

Так как знаменатель $2\sqrt{x}$ всегда положителен при $x>0$, знак всего выражения зависит от знака числителя $4-x$.

Случай 1: $ 4-x \ge 0 $, то есть $ 0 < x \le 4 $.

В этом случае $ |\frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{2}| = \frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{2} $.

Все выражение становится: $ x + (\frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{2}) + \frac{\sqrt{x}}{2} + \frac{1}{2\sqrt{x}} = x + \frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{2} + \frac{\sqrt{x}}{2} + \frac{1}{2\sqrt{x}} = x + \frac{4}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{x}} = x + \frac{5}{2\sqrt{x}} $.

Случай 2: $ 4-x < 0 $, то есть $ x > 4 $.

В этом случае $ |\frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{2}| = -(\frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{2}) = \frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{2}{\sqrt{x}} $.

Все выражение становится: $ x + (\frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{2}{\sqrt{x}}) + \frac{\sqrt{x}}{2} + \frac{1}{2\sqrt{x}} = x + \frac{\sqrt{x}}{2} + \frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{x}} = x + \sqrt{x} - \frac{4}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{x}} = x + \sqrt{x} - \frac{3}{2\sqrt{x}} $.

Ответ: $ \begin{cases} x + \frac{5}{2\sqrt{x}}, & \text{если } 0 < x \le 4 \\ x + \sqrt{x} - \frac{3}{2\sqrt{x}}, & \text{если } x > 4 \end{cases} $

8. 1) $ ((a^{\frac{3}{7}} \cdot y^{-0.4})^3 \cdot a^{\frac{3}{7}} \cdot y^{0.2})^{-1} $

2) $ ((a^{\frac{2}{7}} \cdot y^{\frac{1}{14}})^{3.5} \cdot y^{\frac{5}{4}} \cdot a^{-1})^{-1} $

1) Для упрощения выражения $((a^{\frac{3}{7}} \cdot y^{-0.4})^3 \cdot a^{\frac{3}{7}} \cdot y^{0.2})^{-1}$ будем последовательно применять свойства степеней.

Шаг 1: Раскроем внутренние скобки, возведя произведение в степень 3. Для этого используем свойства $(xy)^n = x^n y^n$ и $(x^m)^n = x^{mn}$.

$(a^{\frac{3}{7}} \cdot y^{-0.4})^3 = (a^{\frac{3}{7}})^3 \cdot (y^{-0.4})^3 = a^{\frac{3}{7} \cdot 3} \cdot y^{-0.4 \cdot 3} = a^{\frac{9}{7}} \cdot y^{-1.2}$.

Шаг 2: Подставим полученный результат обратно в исходное выражение.

$(a^{\frac{9}{7}} \cdot y^{-1.2} \cdot a^{\frac{3}{7}} \cdot y^{0.2})^{-1}$.

Шаг 3: Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойство умножения степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

Для основания $a$: $a^{\frac{9}{7}} \cdot a^{\frac{3}{7}} = a^{\frac{9}{7} + \frac{3}{7}} = a^{\frac{12}{7}}$.

Для основания $y$: $y^{-1.2} \cdot y^{0.2} = y^{-1.2 + 0.2} = y^{-1}$.

Шаг 4: Выражение теперь выглядит так:

$(a^{\frac{12}{7}} \cdot y^{-1})^{-1}$.

Шаг 5: Возведем полученное произведение в степень -1, снова используя свойства $(xy)^n = x^n y^n$ и $(x^m)^n = x^{mn}$.

$(a^{\frac{12}{7}})^{-1} \cdot (y^{-1})^{-1} = a^{\frac{12}{7} \cdot (-1)} \cdot y^{-1 \cdot (-1)} = a^{-\frac{12}{7}}y^1 = a^{-\frac{12}{7}}y$.

Ответ: $a^{-\frac{12}{7}}y$.

2) Упростим выражение $((a^{\frac{2}{7}} \cdot y^{\frac{1}{14}})^{3.5} \cdot y^{\frac{5}{4}} \cdot a^{-1})^{-1}$.

Шаг 1: Представим десятичную степень 3.5 в виде обыкновенной дроби для удобства вычислений: $3.5 = \frac{7}{2}$.

Шаг 2: Раскроем первые скобки, возведя произведение в степень $\frac{7}{2}$, используя свойство $(x^m)^n = x^{mn}$.

$(a^{\frac{2}{7}} \cdot y^{\frac{1}{14}})^{\frac{7}{2}} = (a^{\frac{2}{7}})^{\frac{7}{2}} \cdot (y^{\frac{1}{14}})^{\frac{7}{2}} = a^{\frac{2}{7} \cdot \frac{7}{2}} \cdot y^{\frac{1}{14} \cdot \frac{7}{2}} = a^1 \cdot y^{\frac{7}{28}} = a \cdot y^{\frac{1}{4}}$.

Шаг 3: Подставим результат в исходное выражение.

$(a \cdot y^{\frac{1}{4}} \cdot y^{\frac{5}{4}} \cdot a^{-1})^{-1}$.

Шаг 4: Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойство $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

Для основания $a$: $a^1 \cdot a^{-1} = a^{1-1} = a^0 = 1$.

Для основания $y$: $y^{\frac{1}{4}} \cdot y^{\frac{5}{4}} = y^{\frac{1}{4} + \frac{5}{4}} = y^{\frac{6}{4}} = y^{\frac{3}{2}}$.

Шаг 5: Выражение упрощается до:

$(1 \cdot y^{\frac{3}{2}})^{-1} = (y^{\frac{3}{2}})^{-1}$.

Шаг 6: Применим свойство $(x^m)^n = x^{mn}$ к оставшемуся выражению.

$y^{\frac{3}{2} \cdot (-1)} = y^{-\frac{3}{2}}$.

Ответ: $y^{-\frac{3}{2}}$.

9. 1)

$\frac{x - y}{x^{0.5} - y^{0.5}} - \frac{x^{1.5} - y^{1.5}}{x - y}$;

2) $\frac{\sqrt{y}}{x^{0.5} - y^{0.5}} + \frac{\sqrt{x}}{x^{0.5} + y^{0.5}}$.

1) Упростим данное выражение $\frac{x - y}{x^{0.5} - y^{0.5}} - \frac{x^{1.5} - y^{1.5}}{x - y}$.

Для упрощения используем формулы сокращенного умножения: разность квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ и разность кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Представим $x$ и $y$ как квадраты: $x = (x^{0.5})^2$ и $y = (y^{0.5})^2$. Тогда числитель первой дроби и знаменатель второй дроби можно разложить по формуле разности квадратов:

$x - y = (x^{0.5})^2 - (y^{0.5})^2 = (x^{0.5} - y^{0.5})(x^{0.5} + y^{0.5})$.

Представим $x^{1.5}$ и $y^{1.5}$ как кубы: $x^{1.5} = (x^{0.5})^3$ и $y^{1.5} = (y^{0.5})^3$. Тогда числитель второй дроби можно разложить по формуле разности кубов:

$x^{1.5} - y^{1.5} = (x^{0.5})^3 - (y^{0.5})^3 = (x^{0.5} - y^{0.5})(x + x^{0.5}y^{0.5} + y)$.

Подставим разложенные выражения в исходное:

$\frac{(x^{0.5} - y^{0.5})(x^{0.5} + y^{0.5})}{x^{0.5} - y^{0.5}} - \frac{(x^{0.5} - y^{0.5})(x + x^{0.5}y^{0.5} + y)}{(x^{0.5} - y^{0.5})(x^{0.5} + y^{0.5})}$

Сократим общие множители $(x^{0.5} - y^{0.5})$ в обеих дробях:

$(x^{0.5} + y^{0.5}) - \frac{x + x^{0.5}y^{0.5} + y}{x^{0.5} + y^{0.5}}$

Приведем к общему знаменателю $(x^{0.5} + y^{0.5})$:

$\frac{(x^{0.5} + y^{0.5})(x^{0.5} + y^{0.5})}{x^{0.5} + y^{0.5}} - \frac{x + x^{0.5}y^{0.5} + y}{x^{0.5} + y^{0.5}} = \frac{(x^{0.5} + y^{0.5})^2 - (x + x^{0.5}y^{0.5} + y)}{x^{0.5} + y^{0.5}}$

Раскроем квадрат суммы в числителе: $(x^{0.5} + y^{0.5})^2 = x + 2x^{0.5}y^{0.5} + y$.

Подставим и упростим числитель:

$\frac{(x + 2x^{0.5}y^{0.5} + y) - (x + x^{0.5}y^{0.5} + y)}{x^{0.5} + y^{0.5}} = \frac{x + 2x^{0.5}y^{0.5} + y - x - x^{0.5}y^{0.5} - y}{x^{0.5} + y^{0.5}} = \frac{x^{0.5}y^{0.5}}{x^{0.5} + y^{0.5}}$

Ответ: $\frac{x^{0.5}y^{0.5}}{x^{0.5} + y^{0.5}}$

2) Упростим данное выражение $\frac{\sqrt{y}}{x^{0.5} - y^{0.5}} + \frac{\sqrt{x}}{x^{0.5} + y^{0.5}}$.

Заменим $\sqrt{y}$ на $y^{0.5}$ и $\sqrt{x}$ на $x^{0.5}$ для единообразия записи:

$\frac{y^{0.5}}{x^{0.5} - y^{0.5}} + \frac{x^{0.5}}{x^{0.5} + y^{0.5}}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель равен произведению знаменателей: $(x^{0.5} - y^{0.5})(x^{0.5} + y^{0.5})$.

Используя формулу разности квадратов, упростим общий знаменатель:

$(x^{0.5} - y^{0.5})(x^{0.5} + y^{0.5}) = (x^{0.5})^2 - (y^{0.5})^2 = x - y$.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю, домножив числители на соответствующие множители:

$\frac{y^{0.5}(x^{0.5} + y^{0.5})}{(x^{0.5} - y^{0.5})(x^{0.5} + y^{0.5})} + \frac{x^{0.5}(x^{0.5} - y^{0.5})}{(x^{0.5} - y^{0.5})(x^{0.5} + y^{0.5})}$

Сложим дроби:

$\frac{y^{0.5}(x^{0.5} + y^{0.5}) + x^{0.5}(x^{0.5} - y^{0.5})}{x - y}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{y^{0.5}x^{0.5} + (y^{0.5})^2 + (x^{0.5})^2 - x^{0.5}y^{0.5}}{x - y} = \frac{x^{0.5}y^{0.5} + y + x - x^{0.5}y^{0.5}}{x - y}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{x + y}{x - y}$

Ответ: $\frac{x + y}{x - y}$

10. 1) $(\sqrt{a+\sqrt{x}}+\sqrt{a-\sqrt{x}})^2-2a;$

2) $(\sqrt{y+\sqrt{x}}-\sqrt{y-\sqrt{x}})^2+2\sqrt{y^2-x}.$

1) $(\sqrt{a+\sqrt{x}} + \sqrt{a-\sqrt{x}})^2 - 2a$

Для упрощения выражения раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.

В нашем случае $A = \sqrt{a+\sqrt{x}}$ и $B = \sqrt{a-\sqrt{x}}$.

$(\sqrt{a+\sqrt{x}} + \sqrt{a-\sqrt{x}})^2 = (\sqrt{a+\sqrt{x}})^2 + 2 \cdot \sqrt{a+\sqrt{x}} \cdot \sqrt{a-\sqrt{x}} + (\sqrt{a-\sqrt{x}})^2$

Упростим каждое слагаемое:

$(\sqrt{a+\sqrt{x}})^2 = a+\sqrt{x}$

$(\sqrt{a-\sqrt{x}})^2 = a-\sqrt{x}$

$2 \cdot \sqrt{a+\sqrt{x}} \cdot \sqrt{a-\sqrt{x}} = 2 \cdot \sqrt{(a+\sqrt{x})(a-\sqrt{x})}$

Воспользуемся формулой разности квадратов $(u+v)(u-v) = u^2 - v^2$ для подкоренного выражения:

$(a+\sqrt{x})(a-\sqrt{x}) = a^2 - (\sqrt{x})^2 = a^2 - x$

Таким образом, $2 \cdot \sqrt{(a+\sqrt{x})(a-\sqrt{x})} = 2\sqrt{a^2 - x}$.

Теперь соберем все вместе:

$(\sqrt{a+\sqrt{x}} + \sqrt{a-\sqrt{x}})^2 = (a+\sqrt{x}) + 2\sqrt{a^2 - x} + (a-\sqrt{x})$

Приведем подобные слагаемые:

$a + a + \sqrt{x} - \sqrt{x} + 2\sqrt{a^2 - x} = 2a + 2\sqrt{a^2 - x}$

Подставим полученный результат в исходное выражение:

$(2a + 2\sqrt{a^2 - x}) - 2a = 2a - 2a + 2\sqrt{a^2 - x} = 2\sqrt{a^2 - x}$

Для существования выражения должны выполняться условия: $x \ge 0$, $a+\sqrt{x} \ge 0$, $a-\sqrt{x} \ge 0$, откуда $a \ge \sqrt{x}$, что влечет $a \ge 0$ и $a^2 \ge x$.

Ответ: $2\sqrt{a^2 - x}$.

2) $(\sqrt{y+\sqrt{x}} - \sqrt{y-\sqrt{x}})^2 + 2\sqrt{y^2-x}$

Для упрощения выражения раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

В данном случае $A = \sqrt{y+\sqrt{x}}$ и $B = \sqrt{y-\sqrt{x}}$.

$(\sqrt{y+\sqrt{x}} - \sqrt{y-\sqrt{x}})^2 = (\sqrt{y+\sqrt{x}})^2 - 2 \cdot \sqrt{y+\sqrt{x}} \cdot \sqrt{y-\sqrt{x}} + (\sqrt{y-\sqrt{x}})^2$

Упростим каждое слагаемое:

$(\sqrt{y+\sqrt{x}})^2 = y+\sqrt{x}$

$(\sqrt{y-\sqrt{x}})^2 = y-\sqrt{x}$

$2 \cdot \sqrt{y+\sqrt{x}} \cdot \sqrt{y-\sqrt{x}} = 2 \cdot \sqrt{(y+\sqrt{x})(y-\sqrt{x})}$

Применим формулу разности квадратов $(u+v)(u-v) = u^2 - v^2$ к подкоренному выражению:

$(y+\sqrt{x})(y-\sqrt{x}) = y^2 - (\sqrt{x})^2 = y^2 - x$

Следовательно, $2 \cdot \sqrt{(y+\sqrt{x})(y-\sqrt{x})} = 2\sqrt{y^2 - x}$.

Теперь соберем все вместе:

$(\sqrt{y+\sqrt{x}} - \sqrt{y-\sqrt{x}})^2 = (y+\sqrt{x}) - 2\sqrt{y^2 - x} + (y-\sqrt{x})$

Приведем подобные слагаемые:

$y + y + \sqrt{x} - \sqrt{x} - 2\sqrt{y^2 - x} = 2y - 2\sqrt{y^2 - x}$

Подставим полученное выражение в исходное:

$(2y - 2\sqrt{y^2 - x}) + 2\sqrt{y^2-x} = 2y - 2\sqrt{y^2 - x} + 2\sqrt{y^2-x} = 2y$

Для существования выражения должны выполняться условия: $x \ge 0$, $y+\sqrt{x} \ge 0$, $y-\sqrt{x} \ge 0$, откуда $y \ge \sqrt{x}$, что влечет $y \ge 0$ и $y^2 \ge x$.

Ответ: $2y$.

Найдите значения выражений (11–12):

11. 1) $2\log_{\frac{a^2}{b}} \left(\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{b}}\right) + \log_{\frac{a^2}{b}} b$, если $\log_a b = -2$;

2) $\log_{\sqrt{ab}}\left(\frac{a}{b}\right) + \log_{a^2b} b + \log_{ab} \sqrt{a}$, если $\log_a b = 2$.

1) Решим задачу, последовательно упрощая выражение с помощью свойств логарифмов.

Сначала объединим два логарифма в один, используя свойства $n\log_k x = \log_k x^n$ и $\log_k x + \log_k y = \log_k (xy)$:

$2\log_{\frac{a^2}{b}}(\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{b}}) + \log_{\frac{a^2}{b}}b = \log_{\frac{a^2}{b}}((\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{b}})^2) + \log_{\frac{a^2}{b}}b$

Упростим аргумент первого логарифма: $(\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{b}})^2 = \frac{(a^{1/3})^2}{(b^{1/2})^2} = \frac{a^{2/3}}{b}$.

Теперь сложим логарифмы:

$\log_{\frac{a^2}{b}}(\frac{a^{2/3}}{b}) + \log_{\frac{a^2}{b}}b = \log_{\frac{a^2}{b}}(\frac{a^{2/3}}{b} \cdot b) = \log_{\frac{a^2}{b}}(a^{2/3})$.

Чтобы найти значение этого выражения, воспользуемся формулой перехода к новому основанию $\log_x y = \frac{\log_k y}{\log_k x}$. Перейдем к основанию $a$:

$\log_{\frac{a^2}{b}}(a^{2/3}) = \frac{\log_a(a^{2/3})}{\log_a(\frac{a^2}{b})}$.

Упростим числитель и знаменатель полученной дроби.

Числитель: $\log_a(a^{2/3}) = \frac{2}{3}$.

Знаменатель: $\log_a(\frac{a^2}{b}) = \log_a(a^2) - \log_a b = 2\log_a a - \log_a b = 2 - \log_a b$.

Теперь подставим в знаменатель данное по условию значение $\log_a b = -2$:

$2 - \log_a b = 2 - (-2) = 4$.

Наконец, вычислим значение всего выражения:

$\frac{2/3}{4} = \frac{2}{3 \cdot 4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$.

2) Для решения этой задачи приведем все логарифмы к одному основанию $a$ с помощью формулы перехода к новому основанию $\log_x y = \frac{\log_a y}{\log_a x}$.

Преобразуем каждый член выражения по отдельности:

Первый член: $\log_{\sqrt{ab}}(\frac{a}{b}) = \frac{\log_a(\frac{a}{b})}{\log_a(\sqrt{ab})} = \frac{\log_a a - \log_a b}{\log_a((ab)^{1/2})} = \frac{1 - \log_a b}{\frac{1}{2}(\log_a a + \log_a b)} = \frac{1 - \log_a b}{\frac{1}{2}(1 + \log_a b)}$.

Второй член: $\log_{a^2b^2}b = \frac{\log_a b}{\log_a(a^2b^2)} = \frac{\log_a b}{\log_a((ab)^2)} = \frac{\log_a b}{2(\log_a a + \log_a b)} = \frac{\log_a b}{2(1 + \log_a b)}$.

Третий член: $\log_{ab}\sqrt{a} = \frac{\log_a(\sqrt{a})}{\log_a(ab)} = \frac{\log_a(a^{1/2})}{\log_a a + \log_a b} = \frac{1/2}{1 + \log_a b}$.

Теперь подставим данное по условию значение $\log_a b = 2$ в каждое из преобразованных выражений:

Значение первого члена: $\frac{1 - 2}{\frac{1}{2}(1 + 2)} = \frac{-1}{\frac{1}{2} \cdot 3} = \frac{-1}{3/2} = -\frac{2}{3}$.

Значение второго члена: $\frac{2}{2(1 + 2)} = \frac{2}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Значение третьего члена: $\frac{1/2}{1 + 2} = \frac{1/2}{3} = \frac{1}{6}$.

Осталось сложить полученные значения, чтобы найти значение исходного выражения:

$-\frac{2}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = -\frac{1}{3} + \frac{1}{6}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$-\frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{6} = -\frac{2}{6} + \frac{1}{6} = -\frac{1}{6}$.

Ответ: $-\frac{1}{6}$.

12. 1) $log_7 12$, если $log_7 2 = a$, $log_7 3 = b$;

2) $log_{12} 14$, если $log_7 2 = a$, $log_7 3 = b$;

3) $log_5 60$, если $log_5 2 = a$, $log_5 3 = b$;

4) $log_3 1500$, если $log_3 5 = a$, $log_3 2 = b$.

1) Дано: $log_7 2 = a$, $log_7 3 = b$.

Необходимо найти $log_7 12$.

Сначала разложим число 12 на простые множители: $12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$.

Теперь представим логарифм с разложенным числом:

$log_7 12 = log_7 (2^2 \cdot 3)$.

Используем свойство логарифма произведения $log_c(xy) = log_c x + log_c y$:

$log_7 (2^2 \cdot 3) = log_7(2^2) + log_7 3$.

Далее используем свойство логарифма степени $log_c(x^p) = p \cdot log_c x$:

$log_7(2^2) + log_7 3 = 2 \cdot log_7 2 + log_7 3$.

Подставим известные значения $a$ и $b$:

$2 \cdot log_7 2 + log_7 3 = 2a + b$.

Ответ: $2a + b$.

2) Дано: $log_7 2 = a$, $log_7 3 = b$.

Необходимо найти $log_{12} 14$.

Поскольку основание искомого логарифма (12) отличается от основания данных логарифмов (7), воспользуемся формулой перехода к новому основанию: $log_c x = \frac{log_d x}{log_d c}$. Перейдем к основанию 7:

$log_{12} 14 = \frac{log_7 14}{log_7 12}$.

Теперь выразим числитель и знаменатель через $a$ и $b$.

Для числителя: разложим 14 на множители $14 = 2 \cdot 7$.

$log_7 14 = log_7 (2 \cdot 7) = log_7 2 + log_7 7 = a + 1$.

Для знаменателя: используем результат из предыдущего пункта.

$log_7 12 = log_7 (2^2 \cdot 3) = 2 \cdot log_7 2 + log_7 3 = 2a + b$.

Теперь подставим полученные выражения в дробь:

$log_{12} 14 = \frac{a + 1}{2a + b}$.

Ответ: $\frac{a + 1}{2a + b}$.

3) Дано: $log_5 2 = a$, $log_5 3 = b$.

Необходимо найти $log_5 60$.

Разложим число 60 на простые множители: $60 = 6 \cdot 10 = (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$.

Подставим разложение в логарифм:

$log_5 60 = log_5 (2^2 \cdot 3 \cdot 5)$.

Применим свойства логарифма произведения и степени:

$log_5 (2^2 \cdot 3 \cdot 5) = log_5(2^2) + log_5 3 + log_5 5 = 2 \cdot log_5 2 + log_5 3 + 1$.

Подставим известные значения $a$ и $b$:

$2 \cdot log_5 2 + log_5 3 + 1 = 2a + b + 1$.

Ответ: $2a + b + 1$.

4) Дано: $log_3 5 = a$, $log_3 2 = b$.

Необходимо найти $log_3 1500$.

Разложим число 1500 на простые множители: $1500 = 15 \cdot 100 = (3 \cdot 5) \cdot 10^2 = 3 \cdot 5 \cdot (2 \cdot 5)^2 = 3 \cdot 5 \cdot 2^2 \cdot 5^2 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^3$.

Подставим разложение в логарифм:

$log_3 1500 = log_3 (2^2 \cdot 3 \cdot 5^3)$.

Применим свойства логарифмов:

$log_3 (2^2 \cdot 3 \cdot 5^3) = log_3(2^2) + log_3 3 + log_3(5^3) = 2 \cdot log_3 2 + 1 + 3 \cdot log_3 5$.

Подставим известные значения $a$ и $b$:

$2 \cdot log_3 2 + 1 + 3 \cdot log_3 5 = 2b + 1 + 3a$.

Запишем в стандартном виде:

$3a + 2b + 1$.

Ответ: $3a + 2b + 1$.

13. Найдите предел функции:

1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x};$

2) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{\text{tg} 2x};$

3) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 4x}{4x^2};$

4) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 6x}{\sin^2 2x}.$

5) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\ln(1 + 2x)};$

6) $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 - 2x)}{\text{tg} 2x};$

7) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 4x}{\ln(1 + 4x^2)};$

8) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{\ln^2(1 + 2x)}.$

1) Для нахождения предела $\lim_{x\to0} \frac{\sin 3x}{3x}$ воспользуемся первым замечательным пределом, который гласит: $\lim_{u\to0} \frac{\sin u}{u} = 1$.

Сделаем замену переменной. Пусть $u = 3x$. Когда $x$ стремится к нулю ($x \to 0$), переменная $u$ также стремится к нулю ($u \to 0$).

Подставив новую переменную, получаем предел, который в точности соответствует первому замечательному пределу:

$\lim_{x\to0} \frac{\sin 3x}{3x} = \lim_{u\to0} \frac{\sin u}{u} = 1$.

Ответ: 1.

2) Рассмотрим предел $\lim_{x\to0} \frac{\sin 5x}{\tan 2x}$. При подстановке $x=0$ в числитель и знаменатель мы получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

Для раскрытия этой неопределенности используем метод замены на эквивалентные бесконечно малые функции при $x \to 0$.

Известны следующие эквивалентности: $\sin u \sim u$ и $\tan u \sim u$ при $u \to 0$.

Применяя их к нашему случаю, получаем: $\sin 5x \sim 5x$ и $\tan 2x \sim 2x$.

Теперь заменим функции в пределе на их эквиваленты:

$\lim_{x\to0} \frac{\sin 5x}{\tan 2x} = \lim_{x\to0} \frac{5x}{2x} = \frac{5}{2} = 2.5$.

Ответ: 2.5.

3) Найдем предел $\lim_{x\to0} \frac{1 - \cos 4x}{4x^2}$. Здесь мы также сталкиваемся с неопределенностью вида $\frac{0}{0}$.

Воспользуемся следствием из первого замечательного предела, которое дает эквивалентность для косинуса: $1 - \cos u \sim \frac{u^2}{2}$ при $u \to 0$.

В нашем случае $u = 4x$. Тогда числитель эквивалентен: $1 - \cos 4x \sim \frac{(4x)^2}{2} = \frac{16x^2}{2} = 8x^2$.

Подставим эту эквивалентность в предел:

$\lim_{x\to0} \frac{1 - \cos 4x}{4x^2} = \lim_{x\to0} \frac{8x^2}{4x^2} = \frac{8}{4} = 2$.

Ответ: 2.

4) Вычислим предел $\lim_{x\to0} \frac{1 - \cos 6x}{\sin^2 2x}$. При $x \to 0$ возникает неопределенность $\frac{0}{0}$.

Применим замену на эквивалентные бесконечно малые. Для числителя используем $1 - \cos u \sim \frac{u^2}{2}$, а для знаменателя $\sin u \sim u$.

Числитель: $1 - \cos 6x \sim \frac{(6x)^2}{2} = \frac{36x^2}{2} = 18x^2$.

Знаменатель: $\sin 2x \sim 2x$, следовательно $\sin^2 2x = (\sin 2x)^2 \sim (2x)^2 = 4x^2$.

Произведем замену в пределе:

$\lim_{x\to0} \frac{1 - \cos 6x}{\sin^2 2x} = \lim_{x\to0} \frac{18x^2}{4x^2} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} = 4.5$.

Ответ: 4.5.

5) Найдем предел $\lim_{x\to0} \frac{\sin 3x}{\ln(1+2x)}$. Это неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

Используем эквивалентные бесконечно малые при $x \to 0$:

Из первого замечательного предела: $\sin 3x \sim 3x$.

Из второго замечательного предела: $\ln(1+u) \sim u$, поэтому $\ln(1+2x) \sim 2x$.

Заменяем функции в пределе:

$\lim_{x\to0} \frac{\sin 3x}{\ln(1+2x)} = \lim_{x\to0} \frac{3x}{2x} = \frac{3}{2} = 1.5$.

Ответ: 1.5.

6) Вычислим предел $\lim_{x\to0} \frac{\ln(1-2x)}{\tan 2x}$. При $x \to 0$ имеем неопределенность $\frac{0}{0}$.

Воспользуемся эквивалентными бесконечно малыми:

Для числителя: $\ln(1+u) \sim u$. Полагая $u = -2x$, получаем $\ln(1-2x) \sim -2x$.

Для знаменателя: $\tan 2x \sim 2x$.

Подставляем эквивалентные функции в предел:

$\lim_{x\to0} \frac{\ln(1-2x)}{\tan 2x} = \lim_{x\to0} \frac{-2x}{2x} = -1$.

Ответ: -1.

7) Найдем предел $\lim_{x\to0} \frac{1 - \cos 4x}{\ln(1+4x^2)}$. Это неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

Снова применим метод эквивалентных бесконечно малых при $x \to 0$:

Числитель: $1 - \cos 4x \sim \frac{(4x)^2}{2} = \frac{16x^2}{2} = 8x^2$.

Знаменатель: $\ln(1+u) \sim u$. Пусть $u=4x^2$. Так как $x \to 0$, то и $u \to 0$. Следовательно, $\ln(1+4x^2) \sim 4x^2$.

Заменяем выражения в пределе на эквивалентные:

$\lim_{x\to0} \frac{1 - \cos 4x}{\ln(1+4x^2)} = \lim_{x\to0} \frac{8x^2}{4x^2} = \frac{8}{4} = 2$.

Ответ: 2.

8) Вычислим предел $\lim_{x\to0} \frac{1 - \cos 2x}{\ln^2(1+2x)}$. При $x \to 0$ получаем неопределенность $\frac{0}{0}$.

Используем эквивалентные бесконечно малые функции:

Числитель: $1 - \cos 2x \sim \frac{(2x)^2}{2} = \frac{4x^2}{2} = 2x^2$.

Знаменатель: $\ln(1+2x) \sim 2x$. Тогда $\ln^2(1+2x) = (\ln(1+2x))^2 \sim (2x)^2 = 4x^2$.

Подставим эквивалентные функции в исходный предел:

$\lim_{x\to0} \frac{1 - \cos 2x}{\ln^2(1+2x)} = \lim_{x\to0} \frac{2x^2}{4x^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5$.

Ответ: 0.5.

14. Найдите значение $a$, при котором функция $y = f(x)$ является непрерывной в области определения:

1) $f(x) = \begin{cases} x^2 - 4, & \text{при } x < 2 \\ ax - 6, & \text{при } x > 2 \end{cases}$

2) $f(x) = \begin{cases} 4 + x, & \text{при } x \le 1 \\ 2x^2 - a, & \text{при } x > 1 \end{cases}$

3) $f(x) = \begin{cases} \frac{1 - \cos x}{2x}, & \text{при } x \ne 0 \\ a, & \text{при } x = 0 \end{cases}$

4) $f(x) = \begin{cases} \frac{1 - \cos x}{x^2}, & \text{при } x \ne 0 \\ a, & \text{при } x = 0 \end{cases}$

1) Функция $f(x)$ состоит из двух непрерывных на своих интервалах функций: $y = x^2 - 4$ при $x < 2$ и $y = ax - 6$ при $x > 2$. Область определения функции — $(-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$. Чтобы функция была непрерывной во всей области определения, она должна быть непрерывной на каждом из интервалов. Так как обе части являются многочленами, они непрерывны. Однако, задача обычно подразумевает устранение разрыва в точке $x=2$. Для этого необходимо, чтобы предел функции в этой точке существовал, то есть левосторонний и правосторонний пределы должны быть равны.

Найдем левосторонний предел (при $x \to 2^-$):

$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x^2 - 4) = 2^2 - 4 = 4 - 4 = 0$.

Найдем правосторонний предел (при $x \to 2^+$):

$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (ax - 6) = a \cdot 2 - 6 = 2a - 6$.

Приравняем значения пределов, чтобы найти $a$:

$2a - 6 = 0$

$2a = 6$

$a = 3$.

При $a=3$ разрыв в точке $x=2$ является устранимым.

Ответ: $a = 3$.

2) Функция $f(x)$ определена на всей числовой оси. Она состоит из двух многочленов, непрерывных на своих интервалах. Чтобы функция была непрерывной везде, она должна быть непрерывна в точке "склейки" $x=1$.

Условие непрерывности в точке $x_0$: $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$.

Для точки $x=1$:

Значение функции в точке: $f(1) = 4 + 1 = 5$.

Левосторонний предел: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (4 + x) = 4 + 1 = 5$.

Правосторонний предел: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2x^2 - a) = 2 \cdot 1^2 - a = 2 - a$.

Приравняем правосторонний предел значению функции в точке:

$2 - a = 5$

$a = 2 - 5 = -3$.

Ответ: $a = -3$.

3) Функция $f(x)$ определена на всей числовой оси. Чтобы она была непрерывной, нужно обеспечить ее непрерывность в точке $x=0$.

Условие непрерывности в точке $x=0$: $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$.

По определению функции, $f(0) = a$.

Найдем предел функции при $x \to 0$:

$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{2x}$.

При подстановке $x=0$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Для ее раскрытия можно использовать правило Лопиталя:

$\lim_{x \to 0} \frac{(1 - \cos x)'}{(2x)'} = \lim_{x \to 0} \frac{0 - (-\sin x)}{2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2} = \frac{\sin 0}{2} = \frac{0}{2} = 0$.

Для непрерывности функции должно выполняться равенство $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$, следовательно:

$a = 0$.

Ответ: $a = 0$.

4) Функция $f(x)$ определена на всей числовой оси. Чтобы она была непрерывной, нужно обеспечить ее непрерывность в точке $x=0$.

Условие непрерывности в точке $x=0$: $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$.

По определению функции, $f(0) = a$.

Найдем предел функции при $x \to 0$:

$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$.

Это известный второй замечательный предел, который равен $\frac{1}{2}$. Можно также дважды применить правило Лопиталя, так как мы имеем неопределенность $\frac{0}{0}$:

$\lim_{x \to 0} \frac{(1 - \cos x)'}{(x^2)'} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2x}$.

Снова получаем неопределенность $\frac{0}{0}$. Применим правило Лопиталя еще раз:

$\lim_{x \to 0} \frac{(\sin x)'}{(2x)'} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{2} = \frac{\cos 0}{2} = \frac{1}{2}$.

Для непрерывности функции должно выполняться равенство $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$, следовательно:

$a = \frac{1}{2}$.

Ответ: $a = \frac{1}{2}$.