Номер 11, страница 220 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Найдите значения выражений (11–12):

11. 1) $2\log_{\frac{a^2}{b}} \left(\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{b}}\right) + \log_{\frac{a^2}{b}} b$, если $\log_a b = -2$;

2) $\log_{\sqrt{ab}}\left(\frac{a}{b}\right) + \log_{a^2b} b + \log_{ab} \sqrt{a}$, если $\log_a b = 2$.

1) Решим задачу, последовательно упрощая выражение с помощью свойств логарифмов.

Сначала объединим два логарифма в один, используя свойства $n\log_k x = \log_k x^n$ и $\log_k x + \log_k y = \log_k (xy)$:

$2\log_{\frac{a^2}{b}}(\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{b}}) + \log_{\frac{a^2}{b}}b = \log_{\frac{a^2}{b}}((\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{b}})^2) + \log_{\frac{a^2}{b}}b$

Упростим аргумент первого логарифма: $(\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{b}})^2 = \frac{(a^{1/3})^2}{(b^{1/2})^2} = \frac{a^{2/3}}{b}$.

Теперь сложим логарифмы:

$\log_{\frac{a^2}{b}}(\frac{a^{2/3}}{b}) + \log_{\frac{a^2}{b}}b = \log_{\frac{a^2}{b}}(\frac{a^{2/3}}{b} \cdot b) = \log_{\frac{a^2}{b}}(a^{2/3})$.

Чтобы найти значение этого выражения, воспользуемся формулой перехода к новому основанию $\log_x y = \frac{\log_k y}{\log_k x}$. Перейдем к основанию $a$:

$\log_{\frac{a^2}{b}}(a^{2/3}) = \frac{\log_a(a^{2/3})}{\log_a(\frac{a^2}{b})}$.

Упростим числитель и знаменатель полученной дроби.

Числитель: $\log_a(a^{2/3}) = \frac{2}{3}$.

Знаменатель: $\log_a(\frac{a^2}{b}) = \log_a(a^2) - \log_a b = 2\log_a a - \log_a b = 2 - \log_a b$.

Теперь подставим в знаменатель данное по условию значение $\log_a b = -2$:

$2 - \log_a b = 2 - (-2) = 4$.

Наконец, вычислим значение всего выражения:

$\frac{2/3}{4} = \frac{2}{3 \cdot 4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$.

2) Для решения этой задачи приведем все логарифмы к одному основанию $a$ с помощью формулы перехода к новому основанию $\log_x y = \frac{\log_a y}{\log_a x}$.

Преобразуем каждый член выражения по отдельности:

Первый член: $\log_{\sqrt{ab}}(\frac{a}{b}) = \frac{\log_a(\frac{a}{b})}{\log_a(\sqrt{ab})} = \frac{\log_a a - \log_a b}{\log_a((ab)^{1/2})} = \frac{1 - \log_a b}{\frac{1}{2}(\log_a a + \log_a b)} = \frac{1 - \log_a b}{\frac{1}{2}(1 + \log_a b)}$.

Второй член: $\log_{a^2b^2}b = \frac{\log_a b}{\log_a(a^2b^2)} = \frac{\log_a b}{\log_a((ab)^2)} = \frac{\log_a b}{2(\log_a a + \log_a b)} = \frac{\log_a b}{2(1 + \log_a b)}$.

Третий член: $\log_{ab}\sqrt{a} = \frac{\log_a(\sqrt{a})}{\log_a(ab)} = \frac{\log_a(a^{1/2})}{\log_a a + \log_a b} = \frac{1/2}{1 + \log_a b}$.

Теперь подставим данное по условию значение $\log_a b = 2$ в каждое из преобразованных выражений:

Значение первого члена: $\frac{1 - 2}{\frac{1}{2}(1 + 2)} = \frac{-1}{\frac{1}{2} \cdot 3} = \frac{-1}{3/2} = -\frac{2}{3}$.

Значение второго члена: $\frac{2}{2(1 + 2)} = \frac{2}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Значение третьего члена: $\frac{1/2}{1 + 2} = \frac{1/2}{3} = \frac{1}{6}$.

Осталось сложить полученные значения, чтобы найти значение исходного выражения:

$-\frac{2}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = -\frac{1}{3} + \frac{1}{6}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$-\frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{6} = -\frac{2}{6} + \frac{1}{6} = -\frac{1}{6}$.

Ответ: $-\frac{1}{6}$.