Номер 17, страница 221 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

17. Найдите значение второй производной функции $f(x) = \ln(x + \sqrt{1 + x^2})$ при $x = 2$.

Для нахождения значения второй производной функции $f(x) = \ln(x + \sqrt{1 + x^2})$ при $x = 2$, необходимо последовательно найти первую и вторую производные.

Сначала найдем первую производную $f'(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило), согласно которому производная $(\ln u)'$ равна $\frac{u'}{u}$. В нашем случае $u(x) = x + \sqrt{1 + x^2}$.

Найдем производную от $u(x)$:

$u'(x) = (x + \sqrt{1 + x^2})' = (x)' + (\sqrt{1 + x^2})' = 1 + \frac{1}{2\sqrt{1 + x^2}} \cdot (1 + x^2)' = 1 + \frac{2x}{2\sqrt{1 + x^2}} = 1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$.

Приведем выражение для $u'(x)$ к общему знаменателю:

$u'(x) = \frac{\sqrt{1 + x^2} + x}{\sqrt{1 + x^2}}$.

Теперь можем найти первую производную $f'(x)$:

$f'(x) = \frac{1}{u(x)} \cdot u'(x) = \frac{1}{x + \sqrt{1 + x^2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^2} + x}{\sqrt{1 + x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$.

Далее, найдем вторую производную $f''(x)$, продифференцировав полученное выражение для $f'(x)$. Для удобства представим $f'(x)$ в виде степени: $f'(x) = (1 + x^2)^{-1/2}$.

Применяем правило дифференцирования степенной функции и цепное правило:

$f''(x) = ((1 + x^2)^{-1/2})' = -\frac{1}{2}(1 + x^2)^{-1/2 - 1} \cdot (1 + x^2)' = -\frac{1}{2}(1 + x^2)^{-3/2} \cdot (2x)$.

Упростим выражение:

$f''(x) = -x(1 + x^2)^{-3/2} = \frac{-x}{(1 + x^2)^{3/2}}$.

Наконец, вычислим значение второй производной в точке $x = 2$:

$f''(2) = \frac{-2}{(1 + 2^2)^{3/2}} = \frac{-2}{(1 + 4)^{3/2}} = \frac{-2}{5^{3/2}}$.

Так как $5^{3/2} = 5^1 \cdot 5^{1/2} = 5\sqrt{5}$, окончательное значение равно:

$f''(2) = -\frac{2}{5\sqrt{5}}$.

Ответ: $-\frac{2}{5\sqrt{5}}$.