Номер 24, страница 222 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

24. а) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

1) $y = 2^x$, $y = 3 - x$, $y = 0$, $x = 0$;

2) $y = 2^x - 1$, $y = 0$, $x = 2$, $y = \frac{1}{x^2}$;

3) $y = 3 - x^2$, $y = 1 + |x|$.

б) Найдите объем тела, полученного при вращении фигуры, ограниченной графиками функций, вокруг оси Ox:

1) $y = \frac{1}{x}$, $x = 1$, $x = 3$;

2) $y = 4 - x^2$, $y = x + 2$.

а) 1)

Фигура ограничена графиками функций $y=2^x$, $y=3-x$, $y=0$ (ось Ox) и $x=0$ (ось Oy).

Сначала найдем точку пересечения графиков $y=2^x$ и $y=3-x$:

$2^x = 3-x$

Подбором находим, что $x=1$ является решением, так как $2^1 = 2$ и $3-1 = 2$. Поскольку функция $y=2^x$ возрастающая, а $y=3-x$ убывающая, это единственная точка их пересечения.

Фигура ограничена снизу осью Ox ($y=0$). Верхняя граница фигуры состоит из двух частей: от $x=0$ до $x=1$ это график $y=2^x$, а от $x=1$ до $x=3$ (где $y=3-x$ пересекает ось Ox) это график $y=3-x$.

Площадь фигуры S можно найти как сумму двух интегралов:

$S = \int_{0}^{1} 2^x \,dx + \int_{1}^{3} (3-x) \,dx$

Вычислим первый интеграл:

$\int_{0}^{1} 2^x \,dx = \left[ \frac{2^x}{\ln 2} \right]_{0}^{1} = \frac{2^1}{\ln 2} - \frac{2^0}{\ln 2} = \frac{2}{\ln 2} - \frac{1}{\ln 2} = \frac{1}{\ln 2}$

Вычислим второй интеграл:

$\int_{1}^{3} (3-x) \,dx = \left[ 3x - \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{3} = \left(3 \cdot 3 - \frac{3^2}{2}\right) - \left(3 \cdot 1 - \frac{1^2}{2}\right) = \left(9 - \frac{9}{2}\right) - \left(3 - \frac{1}{2}\right) = \frac{9}{2} - \frac{5}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Суммарная площадь:

$S = \frac{1}{\ln 2} + 2$

Ответ: $S = 2 + \frac{1}{\ln 2}$

а) 2)

Фигура ограничена графиками функций $y=2^x - 1$, $y=0$, $x=2$, $y=\frac{1}{x^2}$.

Найдем точку пересечения графиков $y=2^x - 1$ и $y=\frac{1}{x^2}$:

$2^x - 1 = \frac{1}{x^2}$

При $x=1$ получаем $2^1-1=1$ и $\frac{1}{1^2}=1$. Значит, графики пересекаются в точке $(1, 1)$.

Также найдем точку пересечения графика $y=2^x-1$ с осью $y=0$: $2^x-1=0 \implies 2^x=1 \implies x=0$.

Фигура представляет собой область, ограниченную снизу осью $y=0$. Верхняя граница области состоит из двух частей: на отрезке $[0, 1]$ это график $y=2^x-1$, а на отрезке $[1, 2]$ это график $y=\frac{1}{x^2}$. Справа фигура ограничена прямой $x=2$.

Площадь фигуры S равна сумме двух интегралов:

$S = \int_{0}^{1} (2^x - 1) \,dx + \int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} \,dx$

Вычислим первый интеграл:

$\int_{0}^{1} (2^x - 1) \,dx = \left[ \frac{2^x}{\ln 2} - x \right]_{0}^{1} = \left(\frac{2^1}{\ln 2} - 1\right) - \left(\frac{2^0}{\ln 2} - 0\right) = \frac{2}{\ln 2} - 1 - \frac{1}{\ln 2} = \frac{1}{\ln 2} - 1$

Вычислим второй интеграл:

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} \,dx = \int_{1}^{2} x^{-2} \,dx = \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{2} = \left(-\frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{1}{1}\right) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$

Суммарная площадь:

$S = \left(\frac{1}{\ln 2} - 1\right) + \frac{1}{2} = \frac{1}{\ln 2} - \frac{1}{2}$

Ответ: $S = \frac{1}{\ln 2} - \frac{1}{2}$

а) 3)

Фигура ограничена графиками функций $y = 3 - x^2$ и $y = 1 + |x|$.

Обе функции являются четными, так как $f(-x) = f(x)$. Это означает, что фигура симметрична относительно оси Oy. Мы можем найти площадь для $x \ge 0$ и умножить результат на 2.

Для $x \ge 0$, $|x| = x$, и уравнение второй кривой принимает вид $y = 1 + x$.

Найдем точки пересечения графиков $y = 3 - x^2$ и $y = 1 + x$:

$3 - x^2 = 1 + x \implies x^2 + x - 2 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = -2$. Так как мы рассматриваем $x \ge 0$, нас интересует $x=1$. В силу симметрии, вторая точка пересечения будет при $x=-1$. Пределы интегрирования от -1 до 1.

На интервале $(-1, 1)$ парабола $y = 3 - x^2$ находится выше графика $y = 1 + |x|$.

Площадь фигуры S вычисляется по формуле:

$S = \int_{-1}^{1} ((3-x^2) - (1+|x|)) \,dx$

Используя симметрию:

$S = 2 \int_{0}^{1} ((3-x^2) - (1+x)) \,dx = 2 \int_{0}^{1} (2 - x - x^2) \,dx$

Вычислим интеграл:

$S = 2 \left[ 2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = 2 \left( \left(2(1) - \frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3}\right) - (0) \right) = 2 \left( 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right)$

$S = 2 \left( \frac{12 - 3 - 2}{6} \right) = 2 \left( \frac{7}{6} \right) = \frac{7}{3}$

Ответ: $S = \frac{7}{3}$

б) 1)

Нужно найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси Ox фигуры, ограниченной графиками $y=\frac{1}{x}$, $x=1$, $x=3$ (и неявно $y=0$).

Объем тела вращения вычисляется по формуле (метод дисков):

$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \,dx$

В нашем случае $f(x) = \frac{1}{x}$, $a=1$, $b=3$.

$V = \pi \int_{1}^{3} \left(\frac{1}{x}\right)^2 \,dx = \pi \int_{1}^{3} \frac{1}{x^2} \,dx$

Вычисляем интеграл:

$V = \pi \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{3} = \pi \left( \left(-\frac{1}{3}\right) - \left(-\frac{1}{1}\right) \right) = \pi \left(-\frac{1}{3} + 1\right) = \pi \cdot \frac{2}{3} = \frac{2\pi}{3}$

Ответ: $V = \frac{2\pi}{3}$

б) 2)

Нужно найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси Ox фигуры, ограниченной графиками $y = 4 - x^2$ и $y = x + 2$.

Сначала найдем пределы интегрирования, решив уравнение $4 - x^2 = x + 2$:

$x^2 + x - 2 = 0 \implies (x+2)(x-1) = 0$

Корни: $x_1 = -2$, $x_2 = 1$. Это наши пределы интегрирования $a=-2$ и $b=1$.

На интервале $(-2, 1)$ график $y = 4 - x^2$ лежит выше графика $y = x + 2$.

Объем тела вращения ищется по формуле (метод шайб):

$V = \pi \int_{a}^{b} ([R(x)]^2 - [r(x)]^2) \,dx$

Здесь внешний радиус $R(x) = 4 - x^2$ и внутренний радиус $r(x) = x + 2$.

$V = \pi \int_{-2}^{1} \left( (4-x^2)^2 - (x+2)^2 \right) \,dx$

Упростим подынтегральное выражение:

$(4-x^2)^2 - (x+2)^2 = (16 - 8x^2 + x^4) - (x^2 + 4x + 4) = x^4 - 9x^2 - 4x + 12$

Теперь вычисляем интеграл:

$V = \pi \int_{-2}^{1} (x^4 - 9x^2 - 4x + 12) \,dx = \pi \left[ \frac{x^5}{5} - 3x^3 - 2x^2 + 12x \right]_{-2}^{1}$

Подставляем пределы:

$V = \pi \left( \left(\frac{1^5}{5} - 3(1)^3 - 2(1)^2 + 12(1)\right) - \left(\frac{(-2)^5}{5} - 3(-2)^3 - 2(-2)^2 + 12(-2)\right) \right)$

$V = \pi \left( \left(\frac{1}{5} - 3 - 2 + 12\right) - \left(\frac{-32}{5} + 24 - 8 - 24\right) \right)$

$V = \pi \left( \left(\frac{1}{5} + 7\right) - \left(-\frac{32}{5} - 8\right) \right) = \pi \left( \frac{36}{5} - \left(-\frac{72}{5}\right) \right)$

$V = \pi \left( \frac{36}{5} + \frac{72}{5} \right) = \pi \cdot \frac{108}{5} = \frac{108\pi}{5}$

Ответ: $V = \frac{108\pi}{5}$