Номер 22, страница 221 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

22. Методом интегрирования по частям найдите:

1) $\int(x+1)e^x dx;$

2) $\int x^5 e^x dx;$

3) $\int x \sin x dx;$

4) $\int x e^{2x} dx;$

5) $\int x^2 \sin x dx;$

6) $\int x \cos^2 \frac{x}{2} dx.$

1) Найдем интеграл $\int (x + 1)e^x dx$ методом интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.

Выберем $u$ и $dv$. Пусть $u = x + 1$ и $dv = e^x dx$.

Тогда найдем $du$ и $v$:

$du = d(x+1) = (x+1)' dx = 1 \, dx = dx$.

$v = \int e^x dx = e^x$.

Теперь подставим все в формулу интегрирования по частям:

$\int (x + 1)e^x dx = (x + 1)e^x - \int e^x dx$.

Вычислим оставшийся интеграл:

$\int e^x dx = e^x$.

Подставим обратно, добавим константу интегрирования $C$ и упростим выражение:

$(x + 1)e^x - e^x + C = xe^x + e^x - e^x + C = xe^x + C$.

Ответ: $xe^x + C$.

2) Для нахождения интеграла $\int x^5 e^{x^2} dx$ сначала сделаем замену переменной, а затем применим интегрирование по частям.

Преобразуем подынтегральное выражение: $\int x^5 e^{x^2} dx = \int x^4 \cdot e^{x^2} \cdot x \, dx$.

Пусть $t = x^2$. Тогда $dt = 2x \, dx$, откуда $x \, dx = \frac{dt}{2}$. Также $x^4 = (x^2)^2 = t^2$.

Подставим в интеграл:

$\int t^2 \cdot e^t \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int t^2 e^t dt$.

Теперь к интегралу $\int t^2 e^t dt$ применим интегрирование по частям: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.

Пусть $u = t^2$ и $dv = e^t dt$. Тогда $du = 2t \, dt$ и $v = \int e^t dt = e^t$.

$\int t^2 e^t dt = t^2 e^t - \int e^t \cdot 2t \, dt = t^2 e^t - 2 \int t e^t dt$.

К интегралу $\int t e^t dt$ снова применим интегрирование по частям. Пусть $u = t$ и $dv = e^t dt$. Тогда $du = dt$ и $v = e^t$.

$\int t e^t dt = t e^t - \int e^t dt = t e^t - e^t$.

Подставим результат обратно: $\int t^2 e^t dt = t^2 e^t - 2(t e^t - e^t) = t^2 e^t - 2t e^t + 2e^t$.

Теперь вернемся к исходному интегралу:

$\frac{1}{2} \int t^2 e^t dt = \frac{1}{2} (t^2 e^t - 2t e^t + 2e^t) + C = \frac{1}{2}e^t(t^2 - 2t + 2) + C$.

Произведем обратную замену $t = x^2$:

$\frac{1}{2}e^{x^2}((x^2)^2 - 2x^2 + 2) + C = \frac{1}{2}e^{x^2}(x^4 - 2x^2 + 2) + C$.

Ответ: $\frac{1}{2}e^{x^2}(x^4 - 2x^2 + 2) + C$.

3) Найдем интеграл $\int x \sin x \, dx$ методом интегрирования по частям: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.

Выберем $u = x$ и $dv = \sin x \, dx$.

Тогда $du = dx$ и $v = \int \sin x \, dx = -\cos x$.

Подставим в формулу:

$\int x \sin x \, dx = x(-\cos x) - \int (-\cos x) \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx$.

Вычислим оставшийся интеграл:

$\int \cos x \, dx = \sin x$.

Окончательный результат, с учетом константы $C$:

$-x \cos x + \sin x + C$.

Ответ: $\sin x - x \cos x + C$.

4) Найдем интеграл $\int x e^{2x} dx$ методом интегрирования по частям: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.

Выберем $u = x$ и $dv = e^{2x} dx$.

Тогда $du = dx$ и $v = \int e^{2x} dx = \frac{1}{2}e^{2x}$.

Подставим в формулу:

$\int x e^{2x} dx = x \cdot \frac{1}{2}e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x} dx = \frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{2} \int e^{2x} dx$.

Вычислим оставшийся интеграл: $\int e^{2x} dx = \frac{1}{2}e^{2x}$.

Подставим обратно и добавим константу $C$:

$\frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}e^{2x}\right) + C = \frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C$.

Ответ: $\frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C$.

5) Найдем интеграл $\int x^2 \sin x \, dx$. Потребуется двукратное применение метода интегрирования по частям.

Формула: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.

Первый шаг: Выберем $u = x^2$ и $dv = \sin x \, dx$.

Тогда $du = 2x \, dx$ и $v = \int \sin x \, dx = -\cos x$.

Подставляем: $\int x^2 \sin x \, dx = x^2(-\cos x) - \int (-\cos x)(2x \, dx) = -x^2 \cos x + 2 \int x \cos x \, dx$.

Второй шаг: Теперь найдем интеграл $\int x \cos x \, dx$ по частям.

Выберем $u = x$ и $dv = \cos x \, dx$.

Тогда $du = dx$ и $v = \int \cos x \, dx = \sin x$.

Подставляем: $\int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx = x \sin x - (-\cos x) = x \sin x + \cos x$.

Заключительный шаг: Подставим результат второго шага в выражение, полученное на первом шаге, и добавим константу $C$:

$-x^2 \cos x + 2(x \sin x + \cos x) + C = -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C$.

Сгруппируем слагаемые: $(2 - x^2)\cos x + 2x \sin x + C$.

Ответ: $(2 - x^2)\cos x + 2x \sin x + C$.

6) Для нахождения интеграла $\int x \cos^2\frac{x}{2} dx$ сначала упростим подынтегральное выражение с помощью тригонометрической формулы понижения степени: $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$.

В нашем случае $\alpha = \frac{x}{2}$, поэтому $2\alpha = x$.

$\cos^2\frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$.

Подставим в интеграл:

$\int x \cos^2\frac{x}{2} dx = \int x \left(\frac{1 + \cos x}{2}\right) dx = \frac{1}{2} \int (x + x \cos x) dx$.

Разобьем на два интеграла: $\frac{1}{2} \left( \int x \, dx + \int x \cos x \, dx \right)$.

Первый интеграл табличный: $\int x \, dx = \frac{x^2}{2}$.

Второй интеграл $\int x \cos x \, dx$ найдем методом интегрирования по частям. Пусть $u = x$ и $dv = \cos x \, dx$.

Тогда $du = dx$ и $v = \int \cos x \, dx = \sin x$.

$\int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx = x \sin x - (-\cos x) = x \sin x + \cos x$.

Теперь соберем все вместе и добавим константу $C$:

$\frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{2} + (x \sin x + \cos x) \right) + C = \frac{x^2}{4} + \frac{1}{2}x \sin x + \frac{1}{2}\cos x + C$.

Ответ: $\frac{x^2}{4} + \frac{1}{2}x \sin x + \frac{1}{2}\cos x + C$.