Номер 15, страница 221 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

15. Найдите производную функции $f(x)$:

1) $f(x) = 2x(|x| - 1)$;

2) $f(x) = x^2|x - 2| + 2x^2$.

1)

Дана функция $f(x) = 2x(|x| - 1)$.

Для нахождения производной раскроем модуль $|x|$. Модуль раскрывается по-разному в зависимости от знака $x$.

Случай 1: $x > 0$

При $x > 0$, имеем $|x| = x$. Функция принимает вид:

$f(x) = 2x(x - 1) = 2x^2 - 2x$

Находим производную как производную многочлена:

$f'(x) = (2x^2 - 2x)' = 2 \cdot (x^2)' - 2 \cdot (x)' = 2 \cdot 2x - 2 \cdot 1 = 4x - 2$.

Случай 2: $x < 0$

При $x < 0$, имеем $|x| = -x$. Функция принимает вид:

$f(x) = 2x(-x - 1) = -2x^2 - 2x$

Находим производную:

$f'(x) = (-2x^2 - 2x)' = -2 \cdot (x^2)' - 2 \cdot (x)' = -2 \cdot 2x - 2 \cdot 1 = -4x - 2$.

Случай 3: $x = 0$

Чтобы определить, существует ли производная в точке $x = 0$, нужно проверить, равны ли односторонние производные в этой точке. Сначала проверим непрерывность функции в точке $x=0$.

$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (2x^2 - 2x) = 0$.

$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-2x^2 - 2x) = 0$.

$f(0) = 2 \cdot 0 \cdot (|0| - 1) = 0$.

Так как пределы равны значению функции, функция непрерывна в точке $x=0$.

Теперь найдем односторонние производные (пределы производных слева и справа):

Правосторонняя производная: $f'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} (4x - 2) = -2$.

Левосторонняя производная: $f'_-(0) = \lim_{x \to 0^-} f'(x) = \lim_{x \to 0^-} (-4x - 2) = -2$.

Поскольку $f'_+(0) = f'_-(0) = -2$, производная в точке $x = 0$ существует и равна -2.

Итоговый результат:

Объединяя результаты, получаем производную в виде кусочно-заданной функции:

$f'(x) = \begin{cases} 4x - 2, & \text{если } x > 0 \\ -2, & \text{если } x = 0 \\ -4x - 2, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Заметим, что при $x > 0$ имеем $4x - 2 = 4|x| - 2$, а при $x < 0$ имеем $-4x - 2 = 4(-x) - 2 = 4|x| - 2$. При $x=0$ выражение $4|x|-2$ также равно $-2$. Следовательно, производную можно записать единой формулой: $f'(x) = 4|x| - 2$.

Ответ: $f'(x) = 4|x| - 2$.

2)

Дана функция $f(x) = x^2|x - 2| + 2x^2$.

Для нахождения производной необходимо раскрыть модуль $|x - 2|$. Знак выражения $x - 2$ меняется в точке $x = 2$.

Случай 1: $x > 2$

При $x > 2$, имеем $x - 2 > 0$, поэтому $|x - 2| = x - 2$. Функция принимает вид:

$f(x) = x^2(x - 2) + 2x^2 = x^3 - 2x^2 + 2x^2 = x^3$.

Находим производную:

$f'(x) = (x^3)' = 3x^2$.

Случай 2: $x < 2$

При $x < 2$, имеем $x - 2 < 0$, поэтому $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$. Функция принимает вид:

$f(x) = x^2(2 - x) + 2x^2 = 2x^2 - x^3 + 2x^2 = 4x^2 - x^3$.

Находим производную:

$f'(x) = (4x^2 - x^3)' = 4 \cdot 2x - 3x^2 = 8x - 3x^2$.

Случай 3: $x = 2$

Исследуем функцию на дифференцируемость в точке $x = 2$. Сначала проверим непрерывность.

$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} x^3 = 2^3 = 8$.

$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (4x^2 - x^3) = 4(2^2) - 2^3 = 16 - 8 = 8$.

$f(2) = 2^2|2 - 2| + 2(2^2) = 4 \cdot 0 + 8 = 8$.

Функция непрерывна в точке $x=2$.

Теперь найдем односторонние производные в точке $x = 2$:

Правосторонняя производная: $f'_+(2) = \lim_{x \to 2^+} f'(x) = \lim_{x \to 2^+} (3x^2) = 3(2^2) = 12$.

Левосторонняя производная: $f'_-(2) = \lim_{x \to 2^-} f'(x) = \lim_{x \to 2^-} (8x - 3x^2) = 8(2) - 3(2^2) = 16 - 12 = 4$.

Поскольку $f'_+(2) \neq f'_-(2)$ ($12 \neq 4$), производная в точке $x = 2$ не существует.

Итоговый результат:

Производная функции $f(x)$ задается кусочно:

$f'(x) = \begin{cases} 3x^2, & \text{если } x > 2 \\ 8x - 3x^2, & \text{если } x < 2 \end{cases}$

В точке $x = 2$ производная не существует.

Ответ: $f'(x) = \begin{cases} 3x^2, & x > 2 \\ 8x - 3x^2, & x < 2 \end{cases}$, в точке $x=2$ производная не существует.