Номер 9, страница 220 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

9. 1)

$\frac{x - y}{x^{0.5} - y^{0.5}} - \frac{x^{1.5} - y^{1.5}}{x - y}$;

2) $\frac{\sqrt{y}}{x^{0.5} - y^{0.5}} + \frac{\sqrt{x}}{x^{0.5} + y^{0.5}}$.

1) Упростим данное выражение $\frac{x - y}{x^{0.5} - y^{0.5}} - \frac{x^{1.5} - y^{1.5}}{x - y}$.

Для упрощения используем формулы сокращенного умножения: разность квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ и разность кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Представим $x$ и $y$ как квадраты: $x = (x^{0.5})^2$ и $y = (y^{0.5})^2$. Тогда числитель первой дроби и знаменатель второй дроби можно разложить по формуле разности квадратов:

$x - y = (x^{0.5})^2 - (y^{0.5})^2 = (x^{0.5} - y^{0.5})(x^{0.5} + y^{0.5})$.

Представим $x^{1.5}$ и $y^{1.5}$ как кубы: $x^{1.5} = (x^{0.5})^3$ и $y^{1.5} = (y^{0.5})^3$. Тогда числитель второй дроби можно разложить по формуле разности кубов:

$x^{1.5} - y^{1.5} = (x^{0.5})^3 - (y^{0.5})^3 = (x^{0.5} - y^{0.5})(x + x^{0.5}y^{0.5} + y)$.

Подставим разложенные выражения в исходное:

$\frac{(x^{0.5} - y^{0.5})(x^{0.5} + y^{0.5})}{x^{0.5} - y^{0.5}} - \frac{(x^{0.5} - y^{0.5})(x + x^{0.5}y^{0.5} + y)}{(x^{0.5} - y^{0.5})(x^{0.5} + y^{0.5})}$

Сократим общие множители $(x^{0.5} - y^{0.5})$ в обеих дробях:

$(x^{0.5} + y^{0.5}) - \frac{x + x^{0.5}y^{0.5} + y}{x^{0.5} + y^{0.5}}$

Приведем к общему знаменателю $(x^{0.5} + y^{0.5})$:

$\frac{(x^{0.5} + y^{0.5})(x^{0.5} + y^{0.5})}{x^{0.5} + y^{0.5}} - \frac{x + x^{0.5}y^{0.5} + y}{x^{0.5} + y^{0.5}} = \frac{(x^{0.5} + y^{0.5})^2 - (x + x^{0.5}y^{0.5} + y)}{x^{0.5} + y^{0.5}}$

Раскроем квадрат суммы в числителе: $(x^{0.5} + y^{0.5})^2 = x + 2x^{0.5}y^{0.5} + y$.

Подставим и упростим числитель:

$\frac{(x + 2x^{0.5}y^{0.5} + y) - (x + x^{0.5}y^{0.5} + y)}{x^{0.5} + y^{0.5}} = \frac{x + 2x^{0.5}y^{0.5} + y - x - x^{0.5}y^{0.5} - y}{x^{0.5} + y^{0.5}} = \frac{x^{0.5}y^{0.5}}{x^{0.5} + y^{0.5}}$

Ответ: $\frac{x^{0.5}y^{0.5}}{x^{0.5} + y^{0.5}}$

2) Упростим данное выражение $\frac{\sqrt{y}}{x^{0.5} - y^{0.5}} + \frac{\sqrt{x}}{x^{0.5} + y^{0.5}}$.

Заменим $\sqrt{y}$ на $y^{0.5}$ и $\sqrt{x}$ на $x^{0.5}$ для единообразия записи:

$\frac{y^{0.5}}{x^{0.5} - y^{0.5}} + \frac{x^{0.5}}{x^{0.5} + y^{0.5}}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель равен произведению знаменателей: $(x^{0.5} - y^{0.5})(x^{0.5} + y^{0.5})$.

Используя формулу разности квадратов, упростим общий знаменатель:

$(x^{0.5} - y^{0.5})(x^{0.5} + y^{0.5}) = (x^{0.5})^2 - (y^{0.5})^2 = x - y$.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю, домножив числители на соответствующие множители:

$\frac{y^{0.5}(x^{0.5} + y^{0.5})}{(x^{0.5} - y^{0.5})(x^{0.5} + y^{0.5})} + \frac{x^{0.5}(x^{0.5} - y^{0.5})}{(x^{0.5} - y^{0.5})(x^{0.5} + y^{0.5})}$

Сложим дроби:

$\frac{y^{0.5}(x^{0.5} + y^{0.5}) + x^{0.5}(x^{0.5} - y^{0.5})}{x - y}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{y^{0.5}x^{0.5} + (y^{0.5})^2 + (x^{0.5})^2 - x^{0.5}y^{0.5}}{x - y} = \frac{x^{0.5}y^{0.5} + y + x - x^{0.5}y^{0.5}}{x - y}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{x + y}{x - y}$

Ответ: $\frac{x + y}{x - y}$