Номер 12, страница 220 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

12. 1) $log_7 12$, если $log_7 2 = a$, $log_7 3 = b$;

2) $log_{12} 14$, если $log_7 2 = a$, $log_7 3 = b$;

3) $log_5 60$, если $log_5 2 = a$, $log_5 3 = b$;

4) $log_3 1500$, если $log_3 5 = a$, $log_3 2 = b$.

1) Дано: $log_7 2 = a$, $log_7 3 = b$.

Необходимо найти $log_7 12$.

Сначала разложим число 12 на простые множители: $12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$.

Теперь представим логарифм с разложенным числом:

$log_7 12 = log_7 (2^2 \cdot 3)$.

Используем свойство логарифма произведения $log_c(xy) = log_c x + log_c y$:

$log_7 (2^2 \cdot 3) = log_7(2^2) + log_7 3$.

Далее используем свойство логарифма степени $log_c(x^p) = p \cdot log_c x$:

$log_7(2^2) + log_7 3 = 2 \cdot log_7 2 + log_7 3$.

Подставим известные значения $a$ и $b$:

$2 \cdot log_7 2 + log_7 3 = 2a + b$.

Ответ: $2a + b$.

2) Дано: $log_7 2 = a$, $log_7 3 = b$.

Необходимо найти $log_{12} 14$.

Поскольку основание искомого логарифма (12) отличается от основания данных логарифмов (7), воспользуемся формулой перехода к новому основанию: $log_c x = \frac{log_d x}{log_d c}$. Перейдем к основанию 7:

$log_{12} 14 = \frac{log_7 14}{log_7 12}$.

Теперь выразим числитель и знаменатель через $a$ и $b$.

Для числителя: разложим 14 на множители $14 = 2 \cdot 7$.

$log_7 14 = log_7 (2 \cdot 7) = log_7 2 + log_7 7 = a + 1$.

Для знаменателя: используем результат из предыдущего пункта.

$log_7 12 = log_7 (2^2 \cdot 3) = 2 \cdot log_7 2 + log_7 3 = 2a + b$.

Теперь подставим полученные выражения в дробь:

$log_{12} 14 = \frac{a + 1}{2a + b}$.

Ответ: $\frac{a + 1}{2a + b}$.

3) Дано: $log_5 2 = a$, $log_5 3 = b$.

Необходимо найти $log_5 60$.

Разложим число 60 на простые множители: $60 = 6 \cdot 10 = (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$.

Подставим разложение в логарифм:

$log_5 60 = log_5 (2^2 \cdot 3 \cdot 5)$.

Применим свойства логарифма произведения и степени:

$log_5 (2^2 \cdot 3 \cdot 5) = log_5(2^2) + log_5 3 + log_5 5 = 2 \cdot log_5 2 + log_5 3 + 1$.

Подставим известные значения $a$ и $b$:

$2 \cdot log_5 2 + log_5 3 + 1 = 2a + b + 1$.

Ответ: $2a + b + 1$.

4) Дано: $log_3 5 = a$, $log_3 2 = b$.

Необходимо найти $log_3 1500$.

Разложим число 1500 на простые множители: $1500 = 15 \cdot 100 = (3 \cdot 5) \cdot 10^2 = 3 \cdot 5 \cdot (2 \cdot 5)^2 = 3 \cdot 5 \cdot 2^2 \cdot 5^2 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^3$.

Подставим разложение в логарифм:

$log_3 1500 = log_3 (2^2 \cdot 3 \cdot 5^3)$.

Применим свойства логарифмов:

$log_3 (2^2 \cdot 3 \cdot 5^3) = log_3(2^2) + log_3 3 + log_3(5^3) = 2 \cdot log_3 2 + 1 + 3 \cdot log_3 5$.

Подставим известные значения $a$ и $b$:

$2 \cdot log_3 2 + 1 + 3 \cdot log_3 5 = 2b + 1 + 3a$.

Запишем в стандартном виде:

$3a + 2b + 1$.

Ответ: $3a + 2b + 1$.