Номер 16, страница 221 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

16. Найдите производную функции $f(x)$:

1) $f(x) = \sin^2 2x + \cos^2 2x - 2^{2x};$

2) $f(x) = \sin^3 2x + \cos 3x - e^{2x};$

3) $f(x) = \operatorname{tg}^2 2x + \operatorname{ctg} 3x + e^x;$

4) $f(x) = \operatorname{arctg} 2x + \operatorname{arccos} x + \sqrt{x}.$

1) Исходная функция: $f(x) = \sin^2{2x} + \cos^2{2x} - 2^{2x}$.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1$. В нашем случае $\alpha = 2x$, поэтому $\sin^2{2x} + \cos^2{2x} = 1$.

Функция упрощается до вида: $f(x) = 1 - 2^{2x}$.

Теперь найдем производную этой функции. Производная от суммы/разности равна сумме/разности производных:

$f'(x) = (1 - 2^{2x})' = (1)' - (2^{2x})'$.

Производная константы равна нулю: $(1)' = 0$.

Для нахождения производной от $2^{2x}$ используем правило дифференцирования показательной функции $(a^u)' = a^u \ln(a) \cdot u'$.

В данном случае $a=2$ и $u=2x$. Тогда $u' = (2x)' = 2$.

Следовательно, $(2^{2x})' = 2^{2x} \cdot \ln(2) \cdot (2x)' = 2^{2x} \cdot \ln(2) \cdot 2 = 2 \cdot 2^{2x} \ln(2) = 2^{2x+1} \ln(2)$.

Подставляем все найденные значения обратно в выражение для производной:

$f'(x) = 0 - 2^{2x+1} \ln(2) = -2^{2x+1} \ln(2)$.

Ответ: $f'(x) = -2^{2x+1} \ln(2)$.

2) Исходная функция: $f(x) = \sin^3{2x} + \cos{3x} - e^{2-x}$.

Найдем производную как сумму производных каждого слагаемого:

$f'(x) = (\sin^3{2x})' + (\cos{3x})' - (e^{2-x})'$.

Найдем производную каждого слагаемого по отдельности, используя правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).

Для первого слагаемого $(\sin^3{2x})'$: пусть $u = \sin(2x)$, тогда функция имеет вид $u^3$. Производная будет $(u^3)' = 3u^2 \cdot u' = 3\sin^2(2x) \cdot (\sin(2x))'$. Производная $(\sin(2x))' = \cos(2x) \cdot (2x)' = 2\cos(2x)$.

Таким образом, $(\sin^3{2x})' = 3\sin^2(2x) \cdot 2\cos(2x) = 6\sin^2(2x)\cos(2x)$.

Для второго слагаемого $(\cos{3x})'$: производная равна $-\sin(3x) \cdot (3x)' = -3\sin(3x)$.

Для третьего слагаемого $(e^{2-x})'$: производная равна $e^{2-x} \cdot (2-x)' = e^{2-x} \cdot (-1) = -e^{2-x}$.

Собираем все вместе:

$f'(x) = 6\sin^2(2x)\cos(2x) - 3\sin(3x) - (-e^{2-x}) = 6\sin^2(2x)\cos(2x) - 3\sin(3x) + e^{2-x}$.

Ответ: $f'(x) = 6\sin^2(2x)\cos(2x) - 3\sin(3x) + e^{2-x}$.

3) Исходная функция: $f(x) = \text{tg}^2{2x} + \text{ctg}{3x} + e^x$.

Найдем производную как сумму производных каждого слагаемого:

$f'(x) = (\text{tg}^2{2x})' + (\text{ctg}{3x})' + (e^x)'$.

Для первого слагаемого $(\text{tg}^2{2x})'$: используем цепное правило. Пусть $u = \text{tg}(2x)$, тогда функция $u^2$. Производная равна $2u \cdot u' = 2\text{tg}(2x) \cdot (\text{tg}(2x))'$. Производная $(\text{tg}(2x))' = \frac{1}{\cos^2(2x)} \cdot (2x)' = \frac{2}{\cos^2(2x)}$.

Следовательно, $(\text{tg}^2{2x})' = 2\text{tg}(2x) \cdot \frac{2}{\cos^2(2x)} = \frac{4\text{tg}(2x)}{\cos^2(2x)}$.

Для второго слагаемого $(\text{ctg}{3x})'$: используем цепное правило. Производная равна $-\frac{1}{\sin^2(3x)} \cdot (3x)' = -\frac{3}{\sin^2(3x)}$.

Для третьего слагаемого $(e^x)'$: производная равна $e^x$.

Объединяем результаты:

$f'(x) = \frac{4\text{tg}(2x)}{\cos^2(2x)} - \frac{3}{\sin^2(3x)} + e^x$.

Ответ: $f'(x) = \frac{4\text{tg}(2x)}{\cos^2(2x)} - \frac{3}{\sin^2(3x)} + e^x$.

4) Исходная функция: $f(x) = \text{arctg}^2{2x} + \text{arccos}{x} + \sqrt{x}$.

Найдем производную как сумму производных каждого слагаемого:

$f'(x) = (\text{arctg}^2{2x})' + (\text{arccos}{x})' + (\sqrt{x})'$.

Найдем производную каждого слагаемого по отдельности.

Для первого слагаемого $(\text{arctg}^2{2x})'$: используем цепное правило. Пусть $u = \text{arctg}(2x)$, тогда функция $u^2$. Производная равна $2u \cdot u' = 2\text{arctg}(2x) \cdot (\text{arctg}(2x))'$. Производная $(\text{arctg}(2x))' = \frac{1}{1+(2x)^2} \cdot (2x)' = \frac{2}{1+4x^2}$.

Следовательно, $(\text{arctg}^2{2x})' = 2\text{arctg}(2x) \cdot \frac{2}{1+4x^2} = \frac{4\text{arctg}(2x)}{1+4x^2}$.

Для второго слагаемого $(\text{arccos}{x})'$: это табличная производная, равная $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

Для третьего слагаемого $(\sqrt{x})' = (x^{1/2})'$: по правилу степенной функции, производная равна $\frac{1}{2}x^{1/2 - 1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Объединяем все части:

$f'(x) = \frac{4\text{arctg}(2x)}{1+4x^2} - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{4\text{arctg}(2x)}{1+4x^2} - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.