Номер 18, страница 221 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

18. Найдите производную функции $f(x)$:

1) $f(x) = \ln \frac{2x - 1}{3x + 2}$;

2) $f(x) = \ln \frac{(x - 1)^3}{x + 3}$;

3) $f(x) = \ln \frac{(x + 3)^4}{(x - 1)^2}$;

4) $f(x) = x + \ln \frac{(x - 5)^5}{(x + 1)^4}$.

1) Для функции $f(x) = \ln\frac{2x-1}{3x+2}$ сначала воспользуемся свойством логарифма частного: $\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$.

$f(x) = \ln(2x-1) - \ln(3x+2)$

Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования разности и формулу производной натурального логарифма $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$:

$f'(x) = (\ln(2x-1))' - (\ln(3x+2))'$

$f'(x) = \frac{(2x-1)'}{2x-1} - \frac{(3x+2)'}{3x+2}$

$f'(x) = \frac{2}{2x-1} - \frac{3}{3x+2}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$f'(x) = \frac{2(3x+2) - 3(2x-1)}{(2x-1)(3x+2)} = \frac{6x+4 - 6x+3}{(2x-1)(3x+2)} = \frac{7}{(2x-1)(3x+2)}$

Ответ: $f'(x) = \frac{7}{(2x-1)(3x+2)}$

2) Для функции $f(x) = \ln\frac{(x-1)^3}{x+3}$ сначала упростим выражение с помощью свойств логарифмов: $\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$ и $\ln(a^c) = c\ln(a)$.

$f(x) = \ln((x-1)^3) - \ln(x+3) = 3\ln(x-1) - \ln(x+3)$

Теперь найдем производную:

$f'(x) = (3\ln(x-1) - \ln(x+3))'$

$f'(x) = 3(\ln(x-1))' - (\ln(x+3))'$

$f'(x) = 3 \cdot \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+3}$

Приведем к общему знаменателю:

$f'(x) = \frac{3(x+3) - 1(x-1)}{(x-1)(x+3)} = \frac{3x+9 - x+1}{(x-1)(x+3)} = \frac{2x+10}{(x-1)(x+3)}$

Ответ: $f'(x) = \frac{2x+10}{(x-1)(x+3)}$

3) Для функции $f(x) = \ln\frac{(x+3)^4}{(x-1)^2}$ снова применим свойства логарифмов для упрощения.

$f(x) = \ln((x+3)^4) - \ln((x-1)^2) = 4\ln(x+3) - 2\ln(x-1)$

Находим производную:

$f'(x) = (4\ln(x+3) - 2\ln(x-1))'$

$f'(x) = 4(\ln(x+3))' - 2(\ln(x-1))'$

$f'(x) = 4 \cdot \frac{1}{x+3} - 2 \cdot \frac{1}{x-1}$

Приводим выражение к общему знаменателю:

$f'(x) = \frac{4(x-1) - 2(x+3)}{(x+3)(x-1)} = \frac{4x-4-2x-6}{(x+3)(x-1)} = \frac{2x-10}{(x+3)(x-1)}$

Ответ: $f'(x) = \frac{2x-10}{(x+3)(x-1)}$

4) Функция $f(x) = x + \ln\frac{(x-5)^5}{(x+1)^4}$ является суммой двух функций. Найдем их производные по отдельности.

Производная первого слагаемого: $(x)' = 1$.

Для второго слагаемого сначала применим свойства логарифмов:

$\ln\frac{(x-5)^5}{(x+1)^4} = \ln((x-5)^5) - \ln((x+1)^4) = 5\ln(x-5) - 4\ln(x+1)$

Теперь найдем производную этого выражения:

$(5\ln(x-5) - 4\ln(x+1))' = 5(\ln(x-5))' - 4(\ln(x+1))' = 5 \cdot \frac{1}{x-5} - 4 \cdot \frac{1}{x+1}$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{5(x+1) - 4(x-5)}{(x-5)(x+1)} = \frac{5x+5 - 4x+20}{(x-5)(x+1)} = \frac{x+25}{(x-5)(x+1)}$

Теперь сложим производные обоих слагаемых исходной функции:

$f'(x) = 1 + \frac{x+25}{(x-5)(x+1)}$

Представим результат в виде одной дроби:

$f'(x) = \frac{(x-5)(x+1)}{(x-5)(x+1)} + \frac{x+25}{(x-5)(x+1)} = \frac{x^2+x-5x-5+x+25}{(x-5)(x+1)} = \frac{x^2-3x+20}{(x-5)(x+1)}$

Ответ: $f'(x) = \frac{x^2-3x+20}{(x-5)(x+1)}$