Номер 23, страница 221 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

23. Вычислите интегралы:

1) $\int_0^1 \frac{xdx}{1 + x^4}$;

2) $\int_0^{2\pi} \cos x \cdot \cos 5x dx$;

3) $\int_0^{\frac{\pi}{3}} \cos^2 x \cdot \sin 2x dx$;

4) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \sin x}{x + \cos x} dx$;

5) $\int_1^2 \frac{dx}{x + x^2}$;

6) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x \cdot e^x dx.$

1) Для вычисления интеграла $I = \int_0^1 \frac{xdx}{1+x^4}$ используем замену переменной.

Пусть $t = x^2$. Тогда $dt = 2x dx$, откуда $xdx = \frac{1}{2} dt$.

Найдем новые пределы интегрирования:

Если $x = 0$, то $t = 0^2 = 0$.

Если $x = 1$, то $t = 1^2 = 1$.

Подставляем в интеграл:

$I = \int_0^1 \frac{\frac{1}{2} dt}{1+t^2} = \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{dt}{1+t^2}$.

Первообразная для подынтегральной функции $\frac{1}{1+t^2}$ это $\arctan(t)$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$I = \frac{1}{2} [\arctan(t)]_0^1 = \frac{1}{2}(\arctan(1) - \arctan(0)) = \frac{1}{2}(\frac{\pi}{4} - 0) = \frac{\pi}{8}$.

Ответ: $\frac{\pi}{8}$.

2) Для вычисления интеграла $I = \int_0^{2\pi} \cos x \cdot \cos 5x dx$ воспользуемся тригонометрической формулой произведения косинусов:

$\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))$.

В нашем случае $\alpha = x$, $\beta = 5x$.

$\cos x \cos 5x = \frac{1}{2}(\cos(x - 5x) + \cos(x + 5x)) = \frac{1}{2}(\cos(-4x) + \cos(6x))$.

Так как $\cos(-z) = \cos(z)$, получаем: $\frac{1}{2}(\cos(4x) + \cos(6x))$.

Интеграл принимает вид:

$I = \int_0^{2\pi} \frac{1}{2}(\cos(4x) + \cos(6x)) dx = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} (\cos(4x) + \cos(6x)) dx$.

Находим первообразную:

$\int (\cos(4x) + \cos(6x)) dx = \frac{1}{4}\sin(4x) + \frac{1}{6}\sin(6x)$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$I = \frac{1}{2} [\frac{1}{4}\sin(4x) + \frac{1}{6}\sin(6x)]_0^{2\pi} = \frac{1}{2} ((\frac{1}{4}\sin(8\pi) + \frac{1}{6}\sin(12\pi)) - (\frac{1}{4}\sin(0) + \frac{1}{6}\sin(0))) = \frac{1}{2}((0+0)-(0+0)) = 0$.

Ответ: $0$.

3) Для вычисления интеграла $I = \int_0^{\frac{\pi}{3}} \cos^2 x \cdot \sin 2x dx$ используем формулу синуса двойного угла: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.

$I = \int_0^{\frac{\pi}{3}} \cos^2 x \cdot (2\sin x \cos x) dx = 2 \int_0^{\frac{\pi}{3}} \cos^3 x \sin x dx$.

Сделаем замену переменной. Пусть $u = \cos x$.

Тогда $du = -\sin x dx$, откуда $\sin x dx = -du$.

Новые пределы интегрирования:

Если $x = 0$, то $u = \cos(0) = 1$.

Если $x = \frac{\pi}{3}$, то $u = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

Подставляем в интеграл:

$I = 2 \int_1^{\frac{1}{2}} u^3 (-du) = -2 \int_1^{\frac{1}{2}} u^3 du = 2 \int_{\frac{1}{2}}^1 u^3 du$.

Находим первообразную и вычисляем интеграл:

$I = 2 [\frac{u^4}{4}]_{\frac{1}{2}}^1 = \frac{1}{2} [u^4]_{\frac{1}{2}}^1 = \frac{1}{2}(1^4 - (\frac{1}{2})^4) = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{16}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{15}{16} = \frac{15}{32}$.

Ответ: $\frac{15}{32}$.

4) Рассмотрим интеграл $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1-\sin x}{x+\cos x} dx$.

Этот интеграл имеет вид $\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx$, первообразная для которого равна $\ln|f(x)|$.

Пусть $f(x) = x + \cos x$. Тогда производная $f'(x) = (x + \cos x)' = 1 - \sin x$.

Числитель подынтегральной функции является производной знаменателя.

Следовательно, первообразная равна $\ln|x+\cos x|$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$I = [\ln|x+\cos x|]_0^{\frac{\pi}{2}} = \ln|\frac{\pi}{2} + \cos(\frac{\pi}{2})| - \ln|0 + \cos(0)| = \ln|\frac{\pi}{2} + 0| - \ln|0+1| = \ln(\frac{\pi}{2}) - \ln(1) = \ln(\frac{\pi}{2}) - 0 = \ln(\frac{\pi}{2})$.

Ответ: $\ln(\frac{\pi}{2})$.

5) Для вычисления интеграла $I = \int_1^2 \frac{dx}{x+x^2}$ разложим подынтегральную дробь на простейшие.

$x+x^2 = x(1+x)$.

$\frac{1}{x(1+x)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{1+x}$.

Приводя к общему знаменателю, получаем $1 = A(1+x) + Bx$.

При $x=0$, $1 = A(1) \Rightarrow A=1$.

При $x=-1$, $1 = B(-1) \Rightarrow B=-1$.

Таким образом, $\frac{1}{x(1+x)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{1+x}$.

Интеграл принимает вид:

$I = \int_1^2 (\frac{1}{x} - \frac{1}{1+x}) dx$.

Находим первообразную и вычисляем интеграл:

$I = [\ln|x| - \ln|1+x|]_1^2 = [\ln|\frac{x}{1+x}|]_1^2 = \ln|\frac{2}{1+2}| - \ln|\frac{1}{1+1}| = \ln(\frac{2}{3}) - \ln(\frac{1}{2})$.

Используя свойство логарифмов $\ln a - \ln b = \ln(\frac{a}{b})$, получаем:

$I = \ln(\frac{2/3}{1/2}) = \ln(\frac{2}{3} \cdot 2) = \ln(\frac{4}{3})$.

Ответ: $\ln(\frac{4}{3})$.

6) Вычислим интеграл $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x \cdot e^x dx$ методом интегрирования по частям. Формула: $\int u dv = uv - \int v du$.

Пусть $u = \cos x$, $dv = e^x dx$. Тогда $du = -\sin x dx$, $v = e^x$.

$\int e^x \cos x dx = e^x \cos x - \int e^x(-\sin x)dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x dx$.

Применим интегрирование по частям еще раз для $\int e^x \sin x dx$.

Пусть $u = \sin x$, $dv = e^x dx$. Тогда $du = \cos x dx$, $v = e^x$.

$\int e^x \sin x dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x dx$.

Подставим это обратно в первое выражение:

$\int e^x \cos x dx = e^x \cos x + e^x \sin x - \int e^x \cos x dx$.

$2\int e^x \cos x dx = e^x(\cos x + \sin x)$.

$\int e^x \cos x dx = \frac{e^x}{2}(\cos x + \sin x)$.

Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$I = [\frac{e^x}{2}(\cos x + \sin x)]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{e^{\frac{\pi}{2}}}{2}(\cos\frac{\pi}{2} + \sin\frac{\pi}{2}) - \frac{e^0}{2}(\cos 0 + \sin 0)$.

$I = \frac{e^{\frac{\pi}{2}}}{2}(0 + 1) - \frac{1}{2}(1 + 0) = \frac{e^{\frac{\pi}{2}}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{e^{\frac{\pi}{2}}-1}{2}$.

Ответ: $\frac{e^{\frac{\pi}{2}}-1}{2}$.