Номер 27, страница 222 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

27. Решите неравенство:

1) $\sqrt{2x - 1} > x - 2;$

2) $\sqrt{x + 1} > x - 1;$

3) $\sqrt{9x - 20} > x;$

4) $\sqrt{14 - x} > 2 - x;$

5) $\sqrt{x^2 - 3x - 10} < 8 - x;$

6) $\sqrt{x^2 - 10x + 24} > x - 4.$

1) Исходное неравенство $\sqrt{2x-1} > x-2$ равносильно совокупности двух систем.

Первая система рассматривает случай, когда правая часть неравенства отрицательна. В этом случае неравенство выполняется для всех $x$ из области определения подкоренного выражения:

$\begin{cases} x-2 < 0 \\ 2x-1 \ge 0 \end{cases}$

$\begin{cases} x < 2 \\ 2x \ge 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 2 \\ x \ge 1/2 \end{cases}$

Решением этой системы является промежуток $x \in [1/2, 2)$.

Вторая система рассматривает случай, когда обе части неравенства неотрицательны, что позволяет возвести их в квадрат:

$\begin{cases} x-2 \ge 0 \\ (\sqrt{2x-1})^2 > (x-2)^2 \end{cases}$

$\begin{cases} x \ge 2 \\ 2x-1 > x^2 - 4x + 4 \end{cases}$

Решим второе неравенство системы:

$x^2 - 6x + 5 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1, x_2 = 5$.

Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство $x^2 - 6x + 5 < 0$ выполняется на интервале $(1, 5)$.

Найдем пересечение этого решения с условием $x \ge 2$:

$x \in (1, 5) \cap [2, \infty) \implies x \in [2, 5)$.

Общее решение исходного неравенства является объединением решений двух систем:

$[1/2, 2) \cup [2, 5) = [1/2, 5)$.

Ответ: $x \in [1/2, 5)$.

2) Неравенство $\sqrt{x+1} > x-1$ равносильно совокупности двух систем.

Система 1:

$\begin{cases} x-1 < 0 \\ x+1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 1 \\ x \ge -1 \end{cases}$

Решением этой системы является промежуток $x \in [-1, 1)$.

Система 2:

$\begin{cases} x-1 \ge 0 \\ x+1 > (x-1)^2 \end{cases}$

$\begin{cases} x \ge 1 \\ x+1 > x^2 - 2x + 1 \end{cases}$

Решим второе неравенство:

$0 > x^2 - 3x \implies x(x-3) < 0$

Корни $x=0, x=3$. Неравенство выполняется на интервале $(0, 3)$.

Найдем пересечение этого решения с условием $x \ge 1$:

$x \in (0, 3) \cap [1, \infty) \implies x \in [1, 3)$.

Объединим решения обеих систем:

$[-1, 1) \cup [1, 3) = [-1, 3)$.

Ответ: $x \in [-1, 3)$.

3) Неравенство $\sqrt{9x-20} > x$ равносильно совокупности двух систем.

Система 1:

$\begin{cases} x < 0 \\ 9x-20 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 0 \\ x \ge 20/9 \end{cases}$

Эта система не имеет решений, так как нет чисел, которые одновременно меньше 0 и больше или равны $20/9$.

Система 2:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ 9x-20 > x^2 \end{cases}$

Решим второе неравенство:

$x^2 - 9x + 20 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 9x + 20 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 4$, $x_2 = 5$.

Неравенство $x^2 - 9x + 20 < 0$ выполняется на интервале $(4, 5)$.

Это решение удовлетворяет условию $x \ge 0$ (а также области определения $x \ge 20/9$).

Так как первая система не имеет решений, решение исходного неравенства совпадает с решением второй системы.

Ответ: $x \in (4, 5)$.

4) Неравенство $\sqrt{14-x} > 2-x$ равносильно совокупности двух систем.

Система 1:

$\begin{cases} 2-x < 0 \\ 14-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x \le 14 \end{cases}$

Решением этой системы является промежуток $x \in (2, 14]$.

Система 2:

$\begin{cases} 2-x \ge 0 \\ 14-x > (2-x)^2 \end{cases}$

$\begin{cases} x \le 2 \\ 14-x > 4 - 4x + x^2 \end{cases}$

Решим второе неравенство:

$x^2 - 3x - 10 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 10 = 0$. Корни $x = \frac{3 \pm \sqrt{9-4(-10)}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2}$, то есть $x_1 = -2, x_2 = 5$.

Неравенство $x^2 - 3x - 10 < 0$ выполняется на интервале $(-2, 5)$.

Найдем пересечение этого решения с условием $x \le 2$:

$x \in (-2, 5) \cap (-\infty, 2] \implies x \in (-2, 2]$.

Объединим решения обеих систем:

$(-2, 2] \cup (2, 14] = (-2, 14]$.

Ответ: $x \in (-2, 14]$.

5) Неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе:

$\begin{cases} g(x) > 0 \\ f(x) \ge 0 \\ f(x) < (g(x))^2 \end{cases}$

Применительно к нашему случаю $\sqrt{x^2 - 3x - 10} < 8 - x$:

$\begin{cases} 8-x > 0 \\ x^2 - 3x - 10 \ge 0 \\ x^2 - 3x - 10 < (8-x)^2 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1) $8-x > 0 \implies x < 8$.

2) $x^2 - 3x - 10 \ge 0$. Корни уравнения $x^2 - 3x - 10 = 0$ это $x_1=-2, x_2=5$. Решение неравенства: $x \in (-\infty, -2] \cup [5, \infty)$.

3) $x^2 - 3x - 10 < 64 - 16x + x^2 \implies -3x - 10 < 64 - 16x \implies 13x < 74 \implies x < 74/13$.

Теперь найдем пересечение всех трех решений:

$\begin{cases} x < 8 \\ x \in (-\infty, -2] \cup [5, \infty) \\ x < 74/13 \end{cases}$

Так как $74/13 \approx 5.69$, то условие $x < 74/13$ является более строгим, чем $x < 8$.

Ищем пересечение $x \in (-\infty, 74/13)$ и $x \in (-\infty, -2] \cup [5, \infty)$.

Пересечение с $(-\infty, -2]$ дает $(-\infty, -2]$.

Пересечение с $[5, \infty)$ дает $[5, 74/13)$.

Объединяя эти два результата, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup [5, 74/13)$.

6) Неравенство $\sqrt{x^2-10x+24} > x-4$ равносильно совокупности двух систем.

Сначала найдем область определения: $x^2-10x+24 \ge 0$. Корни уравнения $x^2-10x+24 = 0$ это $x_1=4, x_2=6$. Значит, область определения $x \in (-\infty, 4] \cup [6, \infty)$.

Система 1:

$\begin{cases} x-4 < 0 \\ x^2-10x+24 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 4 \\ x \in (-\infty, 4] \cup [6, \infty) \end{cases}$

Пересечением этих условий является интервал $x \in (-\infty, 4)$.

Система 2:

$\begin{cases} x-4 \ge 0 \\ x^2-10x+24 > (x-4)^2 \end{cases}$

$\begin{cases} x \ge 4 \\ x^2-10x+24 > x^2-8x+16 \end{cases}$

Решим второе неравенство:

$-10x + 24 > -8x + 16 \implies 8 > 2x \implies x < 4$.

Найдем пересечение решений системы 2:

$\begin{cases} x \ge 4 \\ x < 4 \end{cases}$

Эта система не имеет решений ($\emptyset$).

Общее решение исходного неравенства является объединением решений двух систем: $(-\infty, 4) \cup \emptyset = (-\infty, 4)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 4)$.