Номер 32, страница 223 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

32. Найдите координаты точки перегиба графика функции:

1) $y = \frac{2x^3}{x^2 - 1}$;

2) $y = \frac{2x^2}{x - 1}$;

3) $y = \frac{2x^3}{5 - x^2}$;

4) $y = 2 - 5x + 2x^3$.

Для нахождения координат точки перегиба графика функции необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции.
2. Найти вторую производную функции ($y''$).
3. Найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует (это потенциальные точки перегиба).
4. Исследовать знак второй производной на интервалах, на которые эти точки делят область определения.
5. Если при переходе через точку знак второй производной меняется, то эта точка является точкой перегиба.
6. Вычислить ординату (значение $y$) точки перегиба, подставив её абсциссу в исходное уравнение функции.

1) $y = \frac{2x^3}{x^2-1}$

1. Найдём область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2 - 1 \neq 0$, откуда $x \neq \pm 1$. Область определения: $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; \infty)$.

2. Найдём первую производную $y'$ по правилу дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$y' = \frac{(2x^3)'(x^2-1) - 2x^3(x^2-1)'}{(x^2-1)^2} = \frac{6x^2(x^2-1) - 2x^3(2x)}{(x^2-1)^2} = \frac{6x^4 - 6x^2 - 4x^4}{(x^2-1)^2} = \frac{2x^4 - 6x^2}{(x^2-1)^2}$.

3. Найдём вторую производную $y''$:

$y'' = (\frac{2x^4 - 6x^2}{(x^2-1)^2})' = \frac{(8x^3 - 12x)(x^2-1)^2 - (2x^4 - 6x^2) \cdot 2(x^2-1) \cdot 2x}{(x^2-1)^4}$

Сократим на $(x^2-1)$:

$y'' = \frac{(8x^3 - 12x)(x^2-1) - 4x(2x^4 - 6x^2)}{(x^2-1)^3} = \frac{8x^5 - 8x^3 - 12x^3 + 12x - 8x^5 + 24x^3}{(x^2-1)^3}$

$y'' = \frac{4x^3 + 12x}{(x^2-1)^3} = \frac{4x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}$.

4. Найдём точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.

$y'' = 0 \implies 4x(x^2+3) = 0$. Так как $x^2+3 > 0$ для любого $x$, то $4x=0$, откуда $x=0$.

Вторая производная не существует в точках $x=\pm 1$, но они не входят в область определения функции.

5. Исследуем знак второй производной на интервалах, примыкающих к точке $x=0$.

При $x \in (-1, 0)$, например $x=-0.5$: $y'' = \frac{4(-0.5)((-0.5)^2+3)}{((-0.5)^2-1)^3} = \frac{(-)}{(+)(-)} > 0$ (график выпуклый вниз).

При $x \in (0, 1)$, например $x=0.5$: $y'' = \frac{4(0.5)((0.5)^2+3)}{((0.5)^2-1)^3} = \frac{(+)(+)}{(-)} < 0$ (график выпуклый вверх).

Так как в точке $x=0$ вторая производная меняет знак, то $x=0$ является абсциссой точки перегиба.

6. Найдём ординату точки перегиба, подставив $x=0$ в исходную функцию:

$y(0) = \frac{2 \cdot 0^3}{0^2 - 1} = 0$.

Координаты точки перегиба: $(0, 0)$.

Ответ: $(0, 0)$.

2) $y = \frac{2x^2}{x-1}$

1. Найдём область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x-1 \neq 0$, откуда $x \neq 1$. Область определения: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; \infty)$.

2. Найдём первую производную $y'$:

$y' = \frac{(2x^2)'(x-1) - 2x^2(x-1)'}{(x-1)^2} = \frac{4x(x-1) - 2x^2(1)}{(x-1)^2} = \frac{4x^2 - 4x - 2x^2}{(x-1)^2} = \frac{2x^2 - 4x}{(x-1)^2}$.

3. Найдём вторую производную $y''$:

$y'' = (\frac{2x^2 - 4x}{(x-1)^2})' = \frac{(4x-4)(x-1)^2 - (2x^2 - 4x) \cdot 2(x-1)}{((x-1)^2)^2}$

Сократим на $(x-1)$:

$y'' = \frac{4(x-1)(x-1) - 2(2x^2 - 4x)}{(x-1)^3} = \frac{4(x^2 - 2x + 1) - 4x^2 + 8x}{(x-1)^3}$

$y'' = \frac{4x^2 - 8x + 4 - 4x^2 + 8x}{(x-1)^3} = \frac{4}{(x-1)^3}$.

4. Найдём точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.

$y'' = \frac{4}{(x-1)^3} = 0$. Это уравнение не имеет решений, так как числитель $4 \neq 0$.

Вторая производная не существует в точке $x=1$, но она не входит в область определения функции.

5. Так как нет точек из области определения, в которых вторая производная равна нулю, и знак второй производной не меняется внутри интервалов $(-\infty, 1)$ и $(1, \infty)$, то точек перегиба у графика функции нет. На интервале $(-\infty, 1)$ функция выпукла вверх ($y'' < 0$), а на интервале $(1, \infty)$ — выпукла вниз ($y'' > 0$). Смена выпуклости происходит в точке разрыва $x=1$, которая не является точкой перегиба.

Ответ: точек перегиба нет.

3) $y = \frac{2x^3}{5-x^2}$

1. Найдём область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю: $5 - x^2 \neq 0$, откуда $x^2 \neq 5$, т.е. $x \neq \pm \sqrt{5}$. Область определения: $D(y) = (-\infty; -\sqrt{5}) \cup (-\sqrt{5}; \sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}; \infty)$.

2. Найдём первую производную $y'$:

$y' = \frac{(2x^3)'(5-x^2) - 2x^3(5-x^2)'}{(5-x^2)^2} = \frac{6x^2(5-x^2) - 2x^3(-2x)}{(5-x^2)^2} = \frac{30x^2 - 6x^4 + 4x^4}{(5-x^2)^2} = \frac{30x^2 - 2x^4}{(5-x^2)^2}$.

3. Найдём вторую производную $y''$:

$y'' = (\frac{30x^2 - 2x^4}{(5-x^2)^2})' = \frac{(60x - 8x^3)(5-x^2)^2 - (30x^2 - 2x^4) \cdot 2(5-x^2)(-2x)}{(5-x^2)^4}$

Сократим на $(5-x^2)$:

$y'' = \frac{(60x - 8x^3)(5-x^2) + 4x(30x^2 - 2x^4)}{(5-x^2)^3} = \frac{300x - 60x^3 - 40x^3 + 8x^5 + 120x^3 - 8x^5}{(5-x^2)^3}$

$y'' = \frac{20x^3 + 300x}{(5-x^2)^3} = \frac{20x(x^2+15)}{(5-x^2)^3}$.

4. Найдём точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.

$y'' = 0 \implies 20x(x^2+15) = 0$. Так как $x^2+15 > 0$ для любого $x$, то $20x=0$, откуда $x=0$.

Вторая производная не существует в точках $x=\pm \sqrt{5}$, но они не входят в область определения функции.

5. Исследуем знак второй производной на интервалах, примыкающих к точке $x=0$.

При $x \in (-\sqrt{5}, 0)$, например $x=-1$: $y'' = \frac{20(-1)((-1)^2+15)}{(5-(-1)^2)^3} = \frac{(-)(+)}{(+)} < 0$ (график выпуклый вверх).

При $x \in (0, \sqrt{5})$, например $x=1$: $y'' = \frac{20(1)(1^2+15)}{(5-1^2)^3} = \frac{(+)(+)}{(+)} > 0$ (график выпуклый вниз).

Так как в точке $x=0$ вторая производная меняет знак, то $x=0$ является абсциссой точки перегиба.

6. Найдём ординату точки перегиба, подставив $x=0$ в исходную функцию:

$y(0) = \frac{2 \cdot 0^3}{5 - 0^2} = 0$.

Координаты точки перегиба: $(0, 0)$.

Ответ: $(0, 0)$.

4) $y = 2 - 5x + 2x^3$

Данная функция является многочленом, поэтому она определена и непрерывна на всей числовой оси.

1. Найдём первую производную функции:

$y' = (2 - 5x + 2x^3)' = -5 + 6x^2$.

2. Найдём вторую производную функции:

$y'' = (-5 + 6x^2)' = 12x$.

3. Найдём точки, в которых вторая производная равна нулю.

$y'' = 0 \implies 12x = 0$, откуда $x=0$.

4. Исследуем знак второй производной.

При $x < 0$, $y'' = 12x < 0$ (график выпуклый вверх).

При $x > 0$, $y'' = 12x > 0$ (график выпуклый вниз).

Так как в точке $x=0$ вторая производная меняет знак, то $x=0$ является абсциссой точки перегиба.

5. Найдём ординату точки перегиба, подставив $x=0$ в исходную функцию:

$y(0) = 2 - 5(0) + 2(0)^3 = 2$.

Координаты точки перегиба: $(0, 2)$.

Ответ: $(0, 2)$.