Номер 37, страница 223 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

37. Используя программу “Живая математика” или “GeoGebra” постройте график функции $f(x)$ и запишите уравнения ее асимптот:

1) $y = \frac{\sqrt{x+4}}{x-1}$;

2) $f(x) = x \cdot \ln(x+2)$.

1) Для функции $y = \frac{\sqrt{x+4}}{x-1}$ найдем ее асимптоты.

Область определения функции (ОДЗ):

Функция определена, если выполнены два условия:

1. Выражение под корнем неотрицательно: $x+4 \geq 0$, что дает $x \geq -4$.

2. Знаменатель не равен нулю: $x-1 \neq 0$, что дает $x \neq 1$.

Таким образом, область определения функции: $D(y) = [-4, 1) \cup (1, +\infty)$.

Вертикальные асимптоты:

Вертикальная асимптота может существовать в точке разрыва области определения, то есть при $x=1$. Проверим односторонние пределы в этой точке:

$\lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x+4}}{x-1} = \frac{\sqrt{1+4}}{+0} = \frac{\sqrt{5}}{+0} = +\infty$

$\lim_{x \to 1^-} \frac{\sqrt{x+4}}{x-1} = \frac{\sqrt{1+4}}{-0} = \frac{\sqrt{5}}{-0} = -\infty$

Поскольку пределы в точке $x=1$ равны бесконечности, прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальные асимптоты:

Найдем предел функции при $x \to +\infty$ (на левой границе области определения в точке $x=-4$ функция принимает конечное значение $y=0$, поэтому там асимптоты нет):

$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x+4}}{x-1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{\sqrt{x+4}}{x}}{\frac{x-1}{x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{\frac{x+4}{x^2}}}{1-\frac{1}{x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{\frac{1}{x}+\frac{4}{x^2}}}{1-\frac{1}{x}} = \frac{\sqrt{0+0}}{1-0} = 0$.

Так как предел конечен и равен 0, прямая $y=0$ является горизонтальной асимптотой при $x \to +\infty$.

Наклонные асимптоты:

Поскольку при $x \to +\infty$ существует горизонтальная асимптота (которая является частным случаем наклонной с коэффициентом наклона $k=0$), других наклонных асимптот нет.

Ответ: вертикальная асимптота $x=1$, горизонтальная асимптота $y=0$.

2) Для функции $f(x) = x \cdot \ln(x+2)$ найдем ее асимптоты.

Область определения функции (ОДЗ):

Аргумент натурального логарифма должен быть строго положителен: $x+2 > 0$, откуда $x > -2$.

Область определения: $D(f) = (-2, +\infty)$.

Вертикальные асимптоты:

Вертикальная асимптота может существовать на границе области определения, в точке $x=-2$. Проверим предел функции при $x \to -2$ справа:

$\lim_{x \to -2^+} x \cdot \ln(x+2)$.

При $x \to -2^+$, множитель $x$ стремится к $-2$, а $\ln(x+2)$ стремится к $-\infty$ (так как $x+2 \to 0^+$).

Таким образом, предел равен произведению $(-2) \cdot (-\infty) = +\infty$.

Поскольку предел равен бесконечности, прямая $x=-2$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальные и наклонные асимптоты:

Проверим наличие наклонной асимптоты вида $y=kx+b$ при $x \to +\infty$.

Найдем коэффициент наклона $k$:

$k = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x \cdot \ln(x+2)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \ln(x+2) = +\infty$.

Поскольку предел для $k$ не является конечным числом, у функции нет наклонных асимптот (и, следовательно, нет и горизонтальных).

Ответ: вертикальная асимптота $x=-2$.