Номер 40, страница 223 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

40. Дан график функции $y = f'(x)$ (рис. 74). По графику функции найдите:

Рис. 74

1) точки, в которых $f'(x)$ равна 0;

2) промежутки, в которых $f(x)$ возрастает;

3) промежутки, в которых $f(x)$ убывает;

4) точки минимума функции $f(x)$.

Нам дан график производной функции $y = f'(x)$. Для анализа свойств исходной функции $f(x)$ необходимо исследовать знак ее производной $f'(x)$.

1) точки, в которых $f'(x)$ равна 0

Значение производной функции $f'(x)$ равно нулю в тех точках, где ее график пересекает ось абсцисс ($Ox$). Судя по представленному графику, это происходит в точках с абсциссами $x = -1$, $x = 1$ и $x = 3$.

Ответ: $x = -1, x = 1, x = 3$.

2) промежутки, в которых $f(x)$ возрастает

Согласно свойству производной, функция $f(x)$ возрастает на тех промежутках, где ее производная $f'(x)$ неотрицательна, то есть $f'(x) \ge 0$. Это соответствует участкам, на которых график функции $y = f'(x)$ находится выше или на оси $Ox$. Из графика видно, что это промежутки $(-\infty; -1]$ и $[1; 3]$.

Ответ: $(-\infty; -1]$ и $[1; 3]$.

3) промежутки, в которых $f(x)$ убывает

Функция $f(x)$ убывает на тех промежутках, где ее производная $f'(x)$ неположительна, то есть $f'(x) \le 0$. Это соответствует участкам, на которых график функции $y = f'(x)$ находится ниже или на оси $Ox$. Из графика видно, что это промежутки $[-1; 1]$ и $[3; +\infty)$.

Ответ: $[-1; 1]$ и $[3; +\infty)$.

4) точки минимума функции $f(x)$

Точка минимума функции $f(x)$ — это точка, в которой производная $f'(x)$ равна нулю и меняет свой знак с отрицательного на положительный. Точки, в которых производная равна нулю (стационарные точки): $x = -1, x = 1, x = 3$. Проанализируем смену знака $f'(x)$ при переходе через эти точки:

- В окрестности точки $x = -1$ знак производной меняется с «+» на «−». Следовательно, это точка максимума.

- В окрестности точки $x = 1$ знак производной меняется с «−» на «+». Следовательно, это точка минимума.

- В окрестности точки $x = 3$ знак производной меняется с «+» на «−». Следовательно, это точка максимума.

Таким образом, единственной точкой минимума функции $f(x)$ является $x = 1$.

Ответ: $x = 1$.