Номер 43, страница 225 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

43. Дан график производной функции $y = f'(x)$ (рис. 76).

Рис. 76

Найдите точки максимума и точки минимума функции.

Для нахождения точек максимума и минимума функции $f(x)$, необходимо исследовать график её производной $y=f'(x)$. Точки экстремума (максимумы и минимумы) соответствуют значениям $x$, в которых производная $f'(x)$ равна нулю и меняет свой знак.

Сначала найдём точки, в которых производная равна нулю. Это абсциссы точек пересечения графика $y=f'(x)$ с осью $Ox$. Судя по графику, это точки $x = -3$, $x = 0$ и $x = 3$.

Теперь определим характер этих точек, проанализировав смену знака производной при переходе через них.

Точки максимума

Точка является точкой максимума, если в ней производная меняет знак с положительного на отрицательный (функция переходит от возрастания к убыванию).

- В точке $x=0$ график производной $f'(x)$ переходит из области положительных значений ($f'(x)>0$ на интервале $(-3, 0)$) в область отрицательных значений ($f'(x)<0$ на интервале $(0, 3)$). Таким образом, знак производной меняется с «+» на «–». Следовательно, $x=0$ — это точка максимума.

Ответ: $x=0$.

Точки минимума

Точка является точкой минимума, если в ней производная меняет знак с отрицательного на положительный (функция переходит от убывания к возрастанию).

- В точке $x=-3$ график производной $f'(x)$ переходит из области отрицательных значений ($f'(x)<0$ слева от -3) в область положительных значений ($f'(x)>0$ на интервале $(-3, 0)$). Таким образом, знак производной меняется с «–» на «+». Следовательно, $x=-3$ — это точка минимума.

- В точке $x=3$ график производной $f'(x)$ переходит из области отрицательных значений ($f'(x)<0$ на интервале $(0, 3)$) в область положительных значений ($f'(x)>0$ справа от 3). Таким образом, знак производной меняется с «–» на «+». Следовательно, $x=3$ — это также точка минимума.

Ответ: $x=-3$ и $x=3$.