Номер 41, страница 224 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

41. Для функции $y = f'(x)$, график которой дан на рисунке 75, запишите:

Рис. 75

1) точки минимума функции;

2) точки максимума;

3) экстремумы функции.

1) точки минимума функции; Точкой минимума функции $f(x)$ является точка, в которой ее производная $f'(x)$ меняет знак с отрицательного на положительный. Анализируя данный график производной $y=f'(x)$, находим точки, где $f'(x) = 0$. Это точки $x=-1$ и $x=1$. Рассмотрим поведение производной в окрестности этих точек. В точке $x=1$ график производной пересекает ось абсцисс, переходя из области отрицательных значений (где $f'(x) < 0$) в область положительных значений (где $f'(x) > 0$). Это означает, что в точке $x=1$ функция $f(x)$ имеет минимум. Ответ: $x_{min} = 1$.

2) точки максимума; Точкой максимума функции $f(x)$ является точка, в которой ее производная $f'(x)$ меняет знак с положительного на отрицательный. На данном графике нет точек, где бы производная меняла знак с плюса на минус. В точке $x=-1$ производная $f'(-1)=0$, однако знак производной не меняется при переходе через эту точку: как слева, так и справа от $x=-1$ (вплоть до $x=1$) производная отрицательна или равна нулю ($f'(x) \le 0$). Таким образом, $x=-1$ не является точкой экстремума. Следовательно, у функции $f(x)$ нет точек максимума. Ответ: точек максимума нет.

3) экстремумы функции. Экстремумы функции — это ее значения в точках минимума и максимума. Точки экстремума — это абсциссы ($x$) этих точек. Как было установлено в предыдущих пунктах, у функции $f(x)$ есть только одна точка экстремума — точка минимума при $x=1$. Точек максимума нет. Поскольку сама функция $f(x)$ не задана, найти ее численное значение в точке минимума (то есть, сам экстремум) невозможно. В рамках данной задачи под этим пунктом, скорее всего, подразумевается перечисление всех найденных точек экстремума. Ответ: $x=1$.