Номер 42, страница 224 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

42. Исследуйте функцию и постройте ее график, используя программу "Живая геометрия" или "GeoGebra":

1) $y = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 3;$

2) $y = x^3 - 3x^2 + 1;$

3) $y = x + \frac{2}{x};$

4) $y = \frac{3}{x} - \frac{x}{3};$

5) $y = (x + 3) \cdot e^{x-1};$

6) $y = (x^2 + 2x) \cdot \ln x.$

1) $y = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 3$

Проведем полное исследование данной функции.

1. Область определения. Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и периодичность. Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида), так как $y(-x) = 2(-x)^3 - 9(-x)^2 + 12(-x) - 3 = -2x^3 - 9x^2 - 12x - 3 \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$. Функция не периодическая.

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью OY: $x=0 \implies y = -3$. Точка пересечения $(0, -3)$.

С осью OX: $y=0 \implies 2x^3 - 9x^2 + 12x - 3 = 0$. Решение этого кубического уравнения аналитически затруднительно. Из анализа знаков функции видно, что корень один и находится в интервале $(0, 1)$.

4. Асимптоты. Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна на всей числовой оси. Наклонных и горизонтальных асимптот нет, так как $\lim_{x \to \pm\infty} y(x) = \pm\infty$.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

Найдем первую производную: $y' = (2x^3 - 9x^2 + 12x - 3)' = 6x^2 - 18x + 12$.

Приравняем производную к нулю для поиска критических точек: $6x^2 - 18x + 12 = 0 \implies x^2 - 3x + 2 = 0 \implies (x-1)(x-2) = 0$.

Критические точки: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

Исследуем знак производной на интервалах:$(-\infty, 1)$: $y' > 0$, функция возрастает.$(1, 2)$: $y' < 0$, функция убывает.$(2, +\infty)$: $y' > 0$, функция возрастает.

В точке $x=1$ функция имеет локальный максимум: $y(1) = 2 - 9 + 12 - 3 = 2$. Точка максимума $(1, 2)$.

В точке $x=2$ функция имеет локальный минимум: $y(2) = 2(8) - 9(4) + 12(2) - 3 = 16 - 36 + 24 - 3 = 1$. Точка минимума $(2, 1)$.

6. Промежутки выпуклости/вогнутости и точки перегиба.

Найдем вторую производную: $y'' = (6x^2 - 18x + 12)' = 12x - 18$.

Приравняем вторую производную к нулю: $12x - 18 = 0 \implies x = 1.5$.

Исследуем знак второй производной:$(-\infty, 1.5)$: $y'' < 0$, график функции выпуклый вверх (вогнутый).$(1.5, +\infty)$: $y'' > 0$, график функции выпуклый вниз (выпуклый).

В точке $x=1.5$ происходит смена знака выпуклости, значит, это точка перегиба. $y(1.5) = 2(1.5)^3 - 9(1.5)^2 + 12(1.5) - 3 = 1.5$. Точка перегиба $(1.5, 1.5)$.

7. Построение графика. На основе проведенного анализа строим график функции, например, в программе GeoGebra.

Ответ: Функция $y=2x^3 - 9x^2 + 12x - 3$ определена на $(-\infty; +\infty)$. Возрастает на $(-\infty, 1) \cup (2, \infty)$, убывает на $(1, 2)$. Точка локального максимума $(1, 2)$, точка локального минимума $(2, 1)$. График выпуклый вверх на $(-\infty, 1.5)$, выпуклый вниз на $(1.5, \infty)$. Точка перегиба $(1.5, 1.5)$. График можно построить с помощью GeoGebra.

2) $y = x^3 - 3x^2 + 1$

Проведем полное исследование данной функции.

1. Область определения. $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен.

2. Четность и периодичность. Функция общего вида, непериодическая.

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью OY: $x=0 \implies y=1$. Точка $(0, 1)$.

С осью OX: $y=0 \implies x^3 - 3x^2 + 1 = 0$. Корни этого уравнения найти аналитически сложно.

4. Асимптоты. Вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот нет.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

$y' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$.

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.

Интервалы монотонности:$(-\infty, 0)$: $y' > 0$, функция возрастает.$(0, 2)$: $y' < 0$, функция убывает.$(2, +\infty)$: $y' > 0$, функция возрастает.

$x=0$ - точка локального максимума, $y(0) = 1$. Точка $(0, 1)$.

$x=2$ - точка локального минимума, $y(2) = 2^3 - 3(2^2) + 1 = 8 - 12 + 1 = -3$. Точка $(2, -3)$.

6. Промежутки выпуклости/вогнутости и точки перегиба.

$y'' = (3x^2 - 6x)' = 6x - 6 = 6(x-1)$.

$y''=0$ при $x=1$.

$(-\infty, 1)$: $y'' < 0$, график выпуклый вверх.$(1, +\infty)$: $y'' > 0$, график выпуклый вниз.

$x=1$ - точка перегиба. $y(1) = 1 - 3 + 1 = -1$. Точка $(1, -1)$.

Ответ: Функция $y=x^3 - 3x^2 + 1$ определена на $(-\infty; +\infty)$. Возрастает на $(-\infty, 0) \cup (2, \infty)$, убывает на $(0, 2)$. Точка максимума $(0, 1)$, точка минимума $(2, -3)$. График выпуклый вверх на $(-\infty, 1)$, выпуклый вниз на $(1, \infty)$. Точка перегиба $(1, -1)$. График можно построить с помощью GeoGebra.

3) $y = x + \frac{2}{x}$

Проведем полное исследование данной функции.

1. Область определения. $x \neq 0$, $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, \infty)$.

2. Четность. $y(-x) = -x + \frac{2}{-x} = -(x + \frac{2}{x}) = -y(x)$. Функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями. Пересечений с осями координат нет, так как $x \neq 0$ и $y = \frac{x^2+2}{x} \neq 0$.

4. Асимптоты.

Вертикальная асимптота: $x=0$. $\lim_{x \to 0^+} y = +\infty$, $\lim_{x \to 0^-} y = -\infty$.

Наклонная асимптота: $y=kx+b$. $k = \lim_{x \to \infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{2}{x^2}) = 1$. $b = \lim_{x \to \infty} (y - kx) = \lim_{x \to \infty} (x + \frac{2}{x} - x) = 0$. Наклонная асимптота $y=x$.

5. Монотонность и экстремумы.

$y' = 1 - \frac{2}{x^2} = \frac{x^2-2}{x^2}$.

Критические точки ($y'=0$): $x^2-2=0 \implies x = \pm\sqrt{2}$.

Возрастает на $(-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, +\infty)$. Убывает на $(-\sqrt{2}, 0) \cup (0, \sqrt{2})$.

$x=-\sqrt{2}$ - точка максимума, $y(-\sqrt{2}) = -2\sqrt{2}$. Точка $(-\sqrt{2}, -2\sqrt{2})$.

$x=\sqrt{2}$ - точка минимума, $y(\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}$. Точка $(\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$.

6. Выпуклость и точки перегиба.

$y'' = (1 - 2x^{-2})' = 4x^{-3} = \frac{4}{x^3}$.

$y'' < 0$ при $x<0$ (график выпуклый вверх). $y'' > 0$ при $x>0$ (график выпуклый вниз). Точек перегиба нет.

Ответ: Функция $y = x + \frac{2}{x}$ нечетная. Область определения $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$. Вертикальная асимптота $x=0$, наклонная асимптота $y=x$. Возрастает на $(-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, +\infty)$, убывает на $(-\sqrt{2}, 0) \cup (0, \sqrt{2})$. Максимум в $(-\sqrt{2}, -2\sqrt{2})$, минимум в $(\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$. График выпуклый вверх на $(-\infty, 0)$, выпуклый вниз на $(0, \infty)$. График можно построить с помощью GeoGebra.

4) $y = \frac{3}{x} - \frac{x}{3}$

Проведем полное исследование данной функции.

1. Область определения. $x \neq 0$, $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, \infty)$.

2. Четность. $y(-x) = \frac{3}{-x} - \frac{-x}{3} = -(\frac{3}{x} - \frac{x}{3}) = -y(x)$. Функция нечетная.

3. Точки пересечения с осями.

С осью OY: нет ($x \neq 0$).

С осью OX: $y=0 \implies \frac{3}{x} - \frac{x}{3} = 0 \implies 9 - x^2 = 0 \implies x = \pm 3$. Точки $(-3, 0)$ и $(3, 0)$.

4. Асимптоты.

Вертикальная асимптота: $x=0$. $\lim_{x \to 0^+} y = +\infty$, $\lim_{x \to 0^-} y = -\infty$.

Наклонная асимптота: $y = -\frac{1}{3}x$.

5. Монотонность и экстремумы.

$y' = -\frac{3}{x^2} - \frac{1}{3} = -\frac{9+x^2}{3x^2}$.

Так как $y' < 0$ для всех $x$ из области определения, функция всегда убывает на $(-\infty, 0)$ и на $(0, \infty)$. Экстремумов нет.

6. Выпуклость и точки перегиба.

$y'' = (-3x^{-2})' = 6x^{-3} = \frac{6}{x^3}$.

График выпуклый вверх на $(-\infty, 0)$ ($y'' < 0$), выпуклый вниз на $(0, \infty)$ ($y'' > 0$). Точек перегиба нет.

Ответ: Функция $y = \frac{3}{x} - \frac{x}{3}$ нечетная. Область определения $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$. Вертикальная асимптота $x=0$, наклонная $y=-x/3$. Пересекает ось OX в точках $(-3, 0)$ и $(3, 0)$. Убывает на всей области определения. Экстремумов нет. График выпуклый вверх на $(-\infty, 0)$ и выпуклый вниз на $(0, \infty)$. График можно построить с помощью GeoGebra.

5) $y = (x + 3) \cdot e^{1/x}$

Проведем полное исследование данной функции.

1. Область определения. $x \neq 0$, $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, \infty)$.

2. Четность. Функция общего вида.

3. Точки пересечения с осями.

С осью OY: нет.

С осью OX: $y=0 \implies x+3=0 \implies x=-3$. Точка $(-3, 0)$.

4. Асимптоты.

Вертикальная асимптота $x=0$. $\lim_{x \to 0^+} (x+3)e^{1/x} = +\infty$. $\lim_{x \to 0^-} (x+3)e^{1/x} = 0$.

Наклонная асимптота $y=x+4$.

5. Монотонность и экстремумы.

$y' = e^{1/x} (1 - \frac{x+3}{x^2}) = e^{1/x} \frac{x^2 - x - 3}{x^2}$.

Критические точки ($y'=0$): $x^2 - x - 3 = 0 \implies x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$.

$x_1 = \frac{1 - \sqrt{13}}{2} \approx -1.3$, $x_2 = \frac{1 + \sqrt{13}}{2} \approx 2.3$.

Возрастает на $(-\infty, \frac{1 - \sqrt{13}}{2}) \cup (\frac{1 + \sqrt{13}}{2}, +\infty)$.

Убывает на $(\frac{1 - \sqrt{13}}{2}, 0) \cup (0, \frac{1 + \sqrt{13}}{2})$.

$x_1$ - точка максимума, $y(x_1) \approx 0.79$.

$x_2$ - точка минимума, $y(x_2) \approx 8.18$.

6. Выпуклость и точки перегиба.

$y'' = \frac{e^{1/x}(7x+3)}{x^4}$.

$y''=0$ при $x = -3/7$.

График выпуклый вверх на $(-\infty, -3/7)$.

График выпуклый вниз на $(-3/7, 0) \cup (0, \infty)$.

Точка перегиба при $x=-3/7$, $y(-3/7) \approx 0.25$.

Ответ: Область определения $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$. Вертикальная асимптота $x=0$ (справа), наклонная асимптота $y=x+4$. Пересечение с осью OX в точке $(-3, 0)$. Максимум при $x=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$, минимум при $x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$. Точка перегиба при $x=-3/7$. График можно построить с помощью GeoGebra.

6) $y = (x^2 + 2x) \ln x$

Проведем полное исследование данной функции.

1. Область определения. $\ln x$ определен при $x > 0$. $D(y) = (0, \infty)$.

2. Четность. Функция общего вида, так как область определения несимметрична.

3. Точки пересечения с осями.

С осью OY: нет.

С осью OX: $y=0 \implies (x^2+2x)\ln x = 0$. Так как $x>0$, $x^2+2x \neq 0$. Значит $\ln x = 0 \implies x=1$. Точка $(1, 0)$.

4. Асимптоты.

$\lim_{x \to 0^+} (x^2 + 2x)\ln x = 0$. Вертикальной асимптоты нет. График начинается в точке $(0,0)$.

$\lim_{x \to \infty} y(x) = +\infty$. Горизонтальных и наклонных асимптот нет.

5. Монотонность и экстремумы.

$y' = (2x+2)\ln x + (x^2+2x)\frac{1}{x} = (2x+2)\ln x + x+2 = (x+1)(2\ln x + 1)$.

Критическая точка ($y'=0$): $2\ln x + 1 = 0 \implies \ln x = -1/2 \implies x = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}$.

Убывает на $(0, e^{-1/2})$. Возрастает на $(e^{-1/2}, \infty)$.

$x=e^{-1/2}$ - точка минимума. $y(e^{-1/2}) = (e^{-1} + 2e^{-1/2})(-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2e} - \frac{1}{\sqrt{e}} \approx -0.79$.

6. Выпуклость и точки перегиба.

$y'' = 2\ln x + 2 + \frac{2}{x} + 1 = 2\ln x + 3 + \frac{2}{x}$.

Исследование знака показывает, что $y'' > 0$ для всех $x > 0$. Следовательно, функция всегда выпукла вниз на всей области определения. Точек перегиба нет.

Ответ: Область определения $(0, \infty)$. Пересечение с осью OX в точке $(1, 0)$. График выходит из точки $(0,0)$. Убывает на $(0, e^{-1/2})$, возрастает на $(e^{-1/2}, \infty)$. Точка минимума $(e^{-1/2}, -\frac{1}{2e} - \frac{1}{\sqrt{e}})$. График всегда выпуклый вниз. Асимптот и точек перегиба нет. График можно построить с помощью GeoGebra.