Номер 46, страница 225 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

46. 1) Разложите число 12 на два положительных слагаемых, чтобы сумма квадратов этих слагаемых была наименьшей.

2) Разложите число 18 на два положительных слагаемых, чтобы значение их произведения было наибольшим.

3) Число 16 представьте в виде произведения двух положительных чисел, сумма квадратов которых будет наименьшей.

1) Пусть искомые положительные слагаемые равны $x$ и $y$. По условию, их сумма равна 12, то есть $x + y = 12$. Нам нужно найти наименьшее значение суммы их квадратов, которую обозначим как $S$.

$S = x^2 + y^2$.

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 12 - x$. Подставим это выражение в формулу для $S$:

$S(x) = x^2 + (12 - x)^2 = x^2 + 144 - 24x + x^2 = 2x^2 - 24x + 144$.

Получилась квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Наименьшее значение такой функции достигается в вершине параболы.

Координата $x$ вершины параболы $ax^2 + bx + c$ находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

В нашем случае $a=2$ и $b=-24$, тогда:

$x_0 = -\frac{-24}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6$.

Таким образом, первое слагаемое $x = 6$.

Найдем второе слагаемое: $y = 12 - x = 12 - 6 = 6$.

Оба слагаемых положительны.

Ответ: 6 и 6.

2) Пусть искомые положительные слагаемые равны $x$ и $y$. По условию, $x + y = 18$. Нам нужно найти наибольшее значение их произведения, которое обозначим как $P$.

$P = x \cdot y$.

Выразим $y$ из первого уравнения: $y = 18 - x$. Подставим это в формулу для $P$:

$P(x) = x(18 - x) = 18x - x^2$.

Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $x^2$ отрицателен). Наибольшее значение такой функции достигается в вершине параболы.

Координата $x$ вершины находится по той же формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

В данном случае $a=-1$ и $b=18$:

$x_0 = -\frac{18}{2 \cdot (-1)} = -\frac{18}{-2} = 9$.

Значит, первое слагаемое $x = 9$.

Тогда второе слагаемое: $y = 18 - x = 18 - 9 = 9$.

Оба слагаемых положительны.

Ответ: 9 и 9.

3) Пусть искомые положительные числа равны $x$ и $y$. По условию, их произведение равно 16, то есть $x \cdot y = 16$. Сумма их квадратов, которую нужно минимизировать, равна $S = x^2 + y^2$.

Из первого уравнения выразим $y$: $y = \frac{16}{x}$ (поскольку $x$ - положительное число, деление на ноль невозможно).

Подставим это выражение в формулу для $S$:

$S(x) = x^2 + (\frac{16}{x})^2 = x^2 + \frac{256}{x^2}$.

Чтобы найти наименьшее значение функции, найдем ее производную и приравняем к нулю.

$S'(x) = (x^2 + 256x^{-2})' = 2x - 2 \cdot 256x^{-3} = 2x - \frac{512}{x^3}$.

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$2x - \frac{512}{x^3} = 0$

$2x = \frac{512}{x^3}$

$2x^4 = 512$

$x^4 = 256$

Так как $x$ — положительное число, то $x = \sqrt[4]{256} = 4$.

Это точка минимума, так как вторая производная $S''(x) = 2 + \frac{1536}{x^4}$ всегда положительна при $x>0$.

Найдем второе число: $y = \frac{16}{x} = \frac{16}{4} = 4$.

Ответ: 4 и 4.