Номер 53, страница 226 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

53. Решите дифференциальное уравнение:

1) $y' - y \cdot \text{ctg}x = \text{sin}x;$

2) $yy' = 1 + 3x\text{ln}x;$

3) $y' - y = e^x;$

4) $(1 + x^2)y' + 4xy = 3.$

1) Данное уравнение $y' - y \cdot \text{ctg}x = \sin x$ является линейным дифференциальным уравнением первого порядка вида $y' + p(x)y = q(x)$, где $p(x) = -\text{ctg}x$ и $q(x) = \sin x$.

Решим его методом вариации произвольной постоянной. Сначала найдем решение соответствующего однородного уравнения:

$y' - y \cdot \text{ctg}x = 0$

Запишем $y' = \frac{dy}{dx}$ и разделим переменные:

$\frac{dy}{dx} = y \frac{\cos x}{\sin x}$

$\frac{dy}{y} = \frac{\cos x}{\sin x} dx$

Интегрируем обе части:

$\int \frac{dy}{y} = \int \frac{\cos x}{\sin x} dx$

$\ln|y| = \ln|\sin x| + \ln C$

$y = C \sin x$ – это общее решение однородного уравнения.

Теперь будем искать решение исходного неоднородного уравнения в виде $y = C(x) \sin x$, где $C(x)$ - некоторая функция.

Найдем производную: $y' = C'(x) \sin x + C(x) \cos x$.

Подставим $y$ и $y'$ в исходное уравнение:

$(C'(x) \sin x + C(x) \cos x) - (C(x) \sin x) \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = \sin x$

$C'(x) \sin x + C(x) \cos x - C(x) \cos x = \sin x$

$C'(x) \sin x = \sin x$

$C'(x) = 1$

Интегрируя, находим $C(x)$:

$C(x) = \int 1 dx = x + C_1$

Подставим найденное $C(x)$ в выражение для общего решения $y$:

$y = (x + C_1) \sin x$.

Ответ: $y = (x+C)\sin x$.

2) Данное уравнение $yy' = 1 + 3x\ln x$ является уравнением с разделяющимися переменными.

Запишем $y' = \frac{dy}{dx}$:

$y \frac{dy}{dx} = 1 + 3x\ln x$

Разделим переменные, умножив обе части на $dx$:

$y dy = (1 + 3x\ln x) dx$

Интегрируем обе части уравнения:

$\int y dy = \int (1 + 3x\ln x) dx$

Левая часть: $\int y dy = \frac{y^2}{2}$.

Правая часть: $\int (1 + 3x\ln x) dx = \int 1 dx + 3\int x\ln x dx = x + 3\int x\ln x dx$.

Интеграл $\int x\ln x dx$ найдем методом интегрирования по частям $\int u dv = uv - \int v du$.

Пусть $u = \ln x$, $dv = x dx$. Тогда $du = \frac{1}{x}dx$, $v = \frac{x^2}{2}$.

$\int x\ln x dx = \ln x \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}$.

Подставляем результат в правую часть:

$x + 3\left(\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}\right) = x + \frac{3}{2}x^2\ln x - \frac{3}{4}x^2$.

Собираем все вместе:

$\frac{y^2}{2} = x + \frac{3}{2}x^2\ln x - \frac{3}{4}x^2 + C_1$

Умножим на 2 для упрощения и заменим $2C_1$ на $C$:

$y^2 = 2x + 3x^2\ln x - \frac{3}{2}x^2 + C$.

Ответ: $y^2 = 2x + 3x^2\ln x - \frac{3}{2}x^2 + C$.

3) Данное уравнение $y' - y = e^x$ является линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Решим его методом интегрирующего множителя. Уравнение имеет вид $y' + p(x)y = q(x)$, где $p(x) = -1$ и $q(x) = e^x$.

Интегрирующий множитель $\mu(x)$ находится по формуле $\mu(x) = e^{\int p(x)dx}$.

$\mu(x) = e^{\int (-1)dx} = e^{-x}$.

Умножим обе части исходного уравнения на $\mu(x) = e^{-x}$:

$e^{-x}y' - e^{-x}y = e^{-x}e^x$

Левая часть является производной произведения $(\mu(x)y)'$:

$(e^{-x}y)' = 1$

Интегрируем обе части по $x$:

$\int (e^{-x}y)' dx = \int 1 dx$

$e^{-x}y = x + C$

Выразим $y$:

$y = (x+C)e^x$.

Ответ: $y = (x+C)e^x$.

4) Данное уравнение $(1 + x^2)y' + 4xy = 3$ является линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Приведем его к стандартному виду $y' + p(x)y = q(x)$, разделив все члены на $(1+x^2)$:

$y' + \frac{4x}{1+x^2}y = \frac{3}{1+x^2}$

Здесь $p(x) = \frac{4x}{1+x^2}$ и $q(x) = \frac{3}{1+x^2}$.

Найдем интегрирующий множитель $\mu(x) = e^{\int p(x)dx}$:

$\int p(x)dx = \int \frac{4x}{1+x^2}dx$. Сделаем замену $u = 1+x^2$, $du = 2x dx$.

$\int \frac{2 \cdot 2x}{1+x^2}dx = 2 \int \frac{du}{u} = 2\ln|u| = 2\ln(1+x^2) = \ln((1+x^2)^2)$.

$\mu(x) = e^{\ln((1+x^2)^2)} = (1+x^2)^2$.

Умножим уравнение в стандартной форме на $\mu(x)$:

$(1+x^2)^2 \left( y' + \frac{4x}{1+x^2}y \right) = (1+x^2)^2 \frac{3}{1+x^2}$

$(1+x^2)^2 y' + 4x(1+x^2)y = 3(1+x^2)$

Левая часть является производной произведения $(\mu(x)y)'$:

$((1+x^2)^2 y)' = 3(1+x^2)$

Интегрируем обе части по $x$:

$\int ((1+x^2)^2 y)' dx = \int 3(1+x^2) dx$

$(1+x^2)^2 y = \int (3 + 3x^2) dx$

$(1+x^2)^2 y = 3x + 3\frac{x^3}{3} + C$

$(1+x^2)^2 y = 3x + x^3 + C$

Выразим $y$:

$y = \frac{x^3 + 3x + C}{(1+x^2)^2}$.

Ответ: $y = \frac{x^3 + 3x + C}{(1+x^2)^2}$.