Номер 47, страница 225 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

47. 1) Точка движется прямолинейно по закону $x(t) = t^2 + 2t + 5$, $t$ – время. Найдите скорость движения точки в конце пятой секунды.

2) Материальная точка движется по закону $x(t) = 5t + 6t^2 - t^3$. Найдите ускорение точки в момент $t = 2$ с.

1) Уравнение движения точки задано функцией $x(t) = t^2 + 2t + 5$, где $x$ — координата, а $t$ — время. Скорость точки является первой производной от координаты по времени. Чтобы найти функцию скорости $v(t)$, нужно найти производную от функции $x(t)$ по времени $t$.

Найдем производную:$v(t) = x'(t) = (t^2 + 2t + 5)' = 2t^{2-1} + 2 \cdot 1 \cdot t^{1-1} + 0 = 2t + 2$.

Теперь найдем скорость движения точки в конце пятой секунды, то есть при $t = 5$. Для этого подставим значение $t = 5$ в найденную функцию скорости:

$v(5) = 2 \cdot 5 + 2 = 10 + 2 = 12$.

Скорость измеряется в единицах расстояния на единицу времени (например, м/с). Так как единицы в задаче не указаны, приводим числовой ответ.

Ответ: 12.

2) Уравнение движения материальной точки задано функцией $x(t) = 5t + 6t^2 - t^3$. Ускорение точки является второй производной от координаты по времени ($a(t) = x''(t)$) или, что то же самое, первой производной от скорости по времени ($a(t) = v'(t)$).

Сначала найдем функцию скорости $v(t)$, взяв первую производную от $x(t)$:

$v(t) = x'(t) = (5t + 6t^2 - t^3)' = 5 + 6 \cdot 2t - 3t^2 = 5 + 12t - 3t^2$.

Теперь найдем функцию ускорения $a(t)$, взяв производную от функции скорости $v(t)$:

$a(t) = v'(t) = (5 + 12t - 3t^2)' = 0 + 12 - 3 \cdot 2t = 12 - 6t$.

Чтобы найти ускорение точки в момент времени $t = 2$ с, подставим это значение в функцию ускорения:

$a(2) = 12 - 6 \cdot 2 = 12 - 12 = 0$.

Ускорение измеряется в единицах расстояния на единицу времени в квадрате (например, м/с²).

Ответ: 0.