Номер 45, страница 225 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

45. 1) Проволоку длиной 120 см требуется согнуть в прямоугольник так, чтобы площадь этого прямоугольника была максимальной. Найдите длины сторон этого прямоугольника.

2) Найдите длины сторон прямоугольника периметра $a$, имеющего наибольшую площадь.

1)

Пусть стороны искомого прямоугольника равны $x$ и $y$ сантиметров. Длина проволоки, равная 120 см, представляет собой периметр этого прямоугольника.

Периметр $P$ прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(x + y)$. По условию задачи, $P = 120$ см. Следовательно, мы имеем уравнение: $2(x + y) = 120$, что можно упростить до $x + y = 60$.

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = x \cdot y$. Нам необходимо найти такое значение $x$ и $y$, при котором площадь $S$ будет максимальной. Из уравнения $x + y = 60$ выразим одну из переменных, например, $y$: $y = 60 - x$.

Теперь подставим это выражение в формулу площади, чтобы получить функцию площади, зависящую только от одной переменной $x$: $S(x) = x(60 - x) = 60x - x^2$.

Функция $S(x) = -x^2 + 60x$ является квадратичной. Её график — это парабола, ветви которой направлены вниз (поскольку коэффициент при $x^2$ отрицателен). Максимальное значение такой функции достигается в её вершине.

Абсцисса вершины параболы, заданной уравнением $f(x) = ax^2 + bx + c$, находится по формуле $x_0 = -b/(2a)$. В нашем случае $a = -1$ и $b = 60$. $x_0 = -60 / (2 \cdot (-1)) = -60 / (-2) = 30$.

Таким образом, одна из сторон прямоугольника, при которой площадь максимальна, равна 30 см. Найдем длину второй стороны: $y = 60 - x = 60 - 30 = 30$ см.

Получается, что для максимальной площади прямоугольник должен быть квадратом.

Ответ: длины сторон этого прямоугольника равны 30 см и 30 см.

2)

Рассмотрим общий случай. Пусть стороны прямоугольника равны $x$ и $y$, а его периметр равен $a$. $P = 2(x + y) = a$. Отсюда $x + y = a/2$.

Площадь прямоугольника $S = x \cdot y$. Выразим $y$ через $x$ из соотношения для периметра: $y = a/2 - x$. Подставим это в формулу для площади: $S(x) = x(a/2 - x) = (a/2)x - x^2$.

Мы снова получили квадратичную функцию $S(x) = -x^2 + (a/2)x$. Ее график — парабола с ветвями, направленными вниз. Максимум площади будет в вершине параболы. Найдем абсциссу вершины: $x_0 = -b / (2a_{quad}) = -(a/2) / (2 \cdot (-1)) = -(a/2) / (-2) = a/4$.

Итак, длина одной стороны равна $a/4$. Найдем длину второй стороны: $y = a/2 - x = a/2 - a/4 = 2a/4 - a/4 = a/4$.

Таким образом, прямоугольник с заданным периметром $a$ и наибольшей площадью является квадратом со стороной, равной $a/4$.

Ответ: длины сторон прямоугольника равны $a/4$ и $a/4$.