Номер 52, страница 226 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Упражнения для повторения курса «Алгебра и начала анализа» 10-11 классы. Глава VIII. Дифференциальные уравнения - номер 52, страница 226.

Условие.

52. Найдите частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего условию:

1) $x^2y' = -y^2, y(-1) = 1;$

2) $(1 + e^x)yy' - 0,5e^x = 0, y(0) = 0;$

3) $ydx + \text{ctg}xdy = 0, y(\frac{\pi}{2}) = -1;$

4) $\cos^2x \cdot \ln ydy = ydx, y(\pi) = 1.$

Решение 2 (rus).

1) Дано дифференциальное уравнение $x^2y' = -y^2$ с начальным условием $y(-1)=1$. Это уравнение с разделяющимися переменными. Запишем $y'$ как $\frac{dy}{dx}$: $x^2\frac{dy}{dx} = -y^2$. Разделим переменные, предполагая, что $y \neq 0$ и $x \neq 0$: $\frac{dy}{-y^2} = \frac{dx}{x^2}$. Проинтегрируем обе части уравнения: $\int \frac{dy}{-y^2} = \int \frac{dx}{x^2}$

$\int -y^{-2}dy = \int x^{-2}dx$

$- \frac{y^{-1}}{-1} = \frac{x^{-1}}{-1} + C$, где $C$ - произвольная постоянная.

$\frac{1}{y} = -\frac{1}{x} + C$. Это общее решение в неявном виде. Теперь используем начальное условие $y(-1)=1$ для нахождения $C$: $\frac{1}{1} = -\frac{1}{-1} + C$

$1 = 1 + C$, откуда следует, что $C=0$. Подставим найденное значение $C$ в общее решение: $\frac{1}{y} = -\frac{1}{x}$. Выразим $y$ явно: $y = -x$.

Ответ: $y = -x$.

2) Дано дифференциальное уравнение $(1+e^x)yy' - 0,5e^x = 0$ с начальным условием $y(0)=0$. Это уравнение с разделяющимися переменными. Перепишем его и разделим переменные: $(1+e^x)y\frac{dy}{dx} = 0,5e^x$

$y dy = \frac{0,5e^x}{1+e^x} dx$. Интегрируем обе части: $\int y dy = \int \frac{0,5e^x}{1+e^x} dx$

$\frac{y^2}{2} = 0,5 \int \frac{d(1+e^x)}{1+e^x}$

$\frac{y^2}{2} = 0,5 \ln(1+e^x) + C_1$. (Модуль не нужен, так как $1+e^x > 0$). Умножим на 2 и заменим $2C_1$ на $C$: $y^2 = \ln(1+e^x) + C$. Используем начальное условие $y(0)=0$: $0^2 = \ln(1+e^0) + C$

$0 = \ln(1+1) + C$

$C = -\ln(2)$. Подставляем $C$ в общее решение: $y^2 = \ln(1+e^x) - \ln(2)$

$y^2 = \ln\left(\frac{1+e^x}{2}\right)$.

Ответ: $y^2 = \ln\left(\frac{1+e^x}{2}\right)$.

3) Дано дифференциальное уравнение $ydx + \text{ctg}xdy = 0$ с начальным условием $y(\frac{\pi}{3})=-1$. Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим их: $\text{ctg}x dy = -y dx$

$\frac{dy}{y} = -\frac{dx}{\text{ctg}x}$

$\frac{dy}{y} = -\tan x dx$. Интегрируем обе части уравнения: $\int \frac{dy}{y} = -\int \tan x dx$

$\ln|y| = \ln|\cos x| + C_1$. Для удобства представим $C_1$ как $\ln|C|$: $\ln|y| = \ln|C\cos x|$, откуда получаем общее решение: $y = C\cos x$. Найдем $C$ из начального условия $y(\frac{\pi}{3})=-1$: $-1 = C \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$

$-1 = C \cdot \frac{1}{2}$

$C = -2$. Частное решение имеет вид: $y = -2\cos x$.

Ответ: $y = -2\cos x$.

4) Дано дифференциальное уравнение $\cos^2x \cdot \ln y dy = ydx$ с начальным условием $y(\pi)=1$. Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим их, предполагая $y \neq 0$ и $\cos x \neq 0$: $\frac{\ln y}{y} dy = \frac{dx}{\cos^2 x}$. Интегрируем обе части: $\int \frac{\ln y}{y} dy = \int \frac{dx}{\cos^2 x}$. Для левой части используем подстановку $u = \ln y$, тогда $du = \frac{1}{y}dy$: $\int u du = \frac{u^2}{2} = \frac{(\ln y)^2}{2}$. Интеграл правой части: $\int \frac{dx}{\cos^2 x} = \tan x$. Получаем общее решение: $\frac{(\ln y)^2}{2} = \tan x + C$. Используем начальное условие $y(\pi)=1$: $\frac{(\ln 1)^2}{2} = \tan(\pi) + C$

$\frac{0^2}{2} = 0 + C$

$C=0$. Подставляем $C=0$ и получаем частное решение в неявном виде: $\frac{(\ln y)^2}{2} = \tan x$

$(\ln y)^2 = 2\tan x$.

Ответ: $(\ln y)^2 = 2\tan x$.