Номер 51, страница 226 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

51. Решите дифференциальное уравнение:

1) $y' = \frac{x^4 - 2}{x^3};$

2) $y' = (1 + x^2)(1 + y^2);$

3) $y' = \frac{1 + y^2}{1 + x^2};$

4) $y \cos y \cdot y' = -2x.$

1) Дано дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: $y' = \frac{x^4 - 2}{x^3}$.

Первым шагом представим $y'$ как $\frac{dy}{dx}$ и упростим правую часть уравнения, разделив числитель на знаменатель почленно:

$\frac{dy}{dx} = \frac{x^4}{x^3} - \frac{2}{x^3}$

$\frac{dy}{dx} = x - 2x^{-3}$

Теперь разделим переменные, умножив обе части на $dx$:

$dy = (x - 2x^{-3})dx$

Проинтегрируем обе части полученного равенства:

$\int dy = \int (x - 2x^{-3})dx$

Вычисляем интегралы:

$y = \frac{x^2}{2} - 2\frac{x^{-2}}{-2} + C$

$y = \frac{x^2}{2} + x^{-2} + C$

Окончательный вид общего решения:

$y = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{x^2} + C$

Ответ: $y = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{x^2} + C$.

2) Дано уравнение: $y' = (1 + x^2)(1 + y^2)$.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Заменим $y'$ на $\frac{dy}{dx}$:

$\frac{dy}{dx} = (1 + x^2)(1 + y^2)$

Разделим переменные: перенесем все выражения, содержащие $y$, в левую часть, а содержащие $x$ — в правую.

$\frac{dy}{1 + y^2} = (1 + x^2)dx$

Теперь проинтегрируем обе части уравнения:

$\int \frac{dy}{1 + y^2} = \int (1 + x^2)dx$

Оба интеграла являются табличными. Интеграл слева равен арктангенсу $y$, а интеграл справа — степенной функции:

$\arctan(y) = x + \frac{x^3}{3} + C$

Это общее решение уравнения в неявном виде.

Ответ: $\arctan(y) = x + \frac{x^3}{3} + C$.

3) Дано уравнение: $y' = \frac{1 + y^2}{1 + x^2}$.

Это также уравнение с разделяющимися переменными. Запишем $y'$ как $\frac{dy}{dx}$:

$\frac{dy}{dx} = \frac{1 + y^2}{1 + x^2}$

Разделяем переменные:

$\frac{dy}{1 + y^2} = \frac{dx}{1 + x^2}$

Интегрируем обе части:

$\int \frac{dy}{1 + y^2} = \int \frac{dx}{1 + x^2}$

Оба интеграла являются табличными и равны арктангенсам:

$\arctan(y) = \arctan(x) + C$

Это и есть общее решение уравнения.

Ответ: $\arctan(y) = \arctan(x) + C$.

4) Дано уравнение: $y\cos(y) \cdot y' = -2x$.

Заменяем $y'$ на $\frac{dy}{dx}$:

$y\cos(y) \frac{dy}{dx} = -2x$

Разделяем переменные:

$y\cos(y)dy = -2xdx$

Интегрируем обе части:

$\int y\cos(y)dy = \int -2xdx$

Интеграл в правой части вычисляется просто:

$\int -2xdx = -2\frac{x^2}{2} + C_1 = -x^2 + C_1$

Интеграл в левой части, $\int y\cos(y)dy$, вычисляется методом интегрирования по частям по формуле $\int u dv = uv - \int v du$.

Пусть $u = y$ и $dv = \cos(y)dy$. Тогда $du = dy$ и $v = \int\cos(y)dy = \sin(y)$.

$\int y\cos(y)dy = y\sin(y) - \int \sin(y)dy = y\sin(y) - (-\cos(y)) + C_2 = y\sin(y) + \cos(y) + C_2$

Приравниваем результаты интегрирования левой и правой частей:

$y\sin(y) + \cos(y) + C_2 = -x^2 + C_1$

Объединяем константы $C = C_1 - C_2$ и переносим член с $x$ в левую часть:

$y\sin(y) + \cos(y) + x^2 = C$

Ответ: $y\sin(y) + \cos(y) + x^2 = C$.