Номер 50, страница 226 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

50. Через какую точку графика функции $f(x) = \sqrt{2 - x}$ надо провести касательную, чтобы площадь треугольника, образованного осями координат и этой касательной, была наименьшей?

Пусть $(x_0, y_0)$ — точка на графике функции $f(x) = \sqrt{2-x}$, через которую проведена касательная. Координаты этой точки удовлетворяют уравнению $y_0 = \sqrt{2-x_0}$. Область определения функции: $2-x \ge 0$, то есть $x \le 2$.

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$.

Найдем производную функции $f(x)$:$f'(x) = (\sqrt{2-x})' = ((2-x)^{1/2})' = \frac{1}{2}(2-x)^{-1/2} \cdot (2-x)' = \frac{1}{2\sqrt{2-x}} \cdot (-1) = -\frac{1}{2\sqrt{2-x}}$.

Значение производной в точке $x_0$ равно $f'(x_0) = -\frac{1}{2\sqrt{2-x_0}}$. Заметим, что для существования касательной, не являющейся вертикальной, необходимо $x_0 < 2$.

Подставим известные значения в уравнение касательной:$y - \sqrt{2-x_0} = -\frac{1}{2\sqrt{2-x_0}}(x - x_0)$.

Теперь найдем точки пересечения этой касательной с осями координат. Эти точки вместе с началом координат $(0,0)$ образуют прямоугольный треугольник.

1. Пересечение с осью Oy (x=0):$y - \sqrt{2-x_0} = -\frac{1}{2\sqrt{2-x_0}}(0 - x_0) = \frac{x_0}{2\sqrt{2-x_0}}$.$y_{int} = \sqrt{2-x_0} + \frac{x_0}{2\sqrt{2-x_0}} = \frac{2(\sqrt{2-x_0})^2 + x_0}{2\sqrt{2-x_0}} = \frac{2(2-x_0) + x_0}{2\sqrt{2-x_0}} = \frac{4 - 2x_0 + x_0}{2\sqrt{2-x_0}} = \frac{4-x_0}{2\sqrt{2-x_0}}$.Это длина катета, лежащего на оси Oy.

2. Пересечение с осью Ox (y=0):$0 - \sqrt{2-x_0} = -\frac{1}{2\sqrt{2-x_0}}(x - x_0)$.Умножим обе части на $-2\sqrt{2-x_0}$:$2(\sqrt{2-x_0})^2 = x - x_0$.$2(2-x_0) = x - x_0$.$4 - 2x_0 = x - x_0$.$x_{int} = 4 - 2x_0 + x_0 = 4 - x_0$.Это длина катета, лежащего на оси Ox.

Поскольку $x_0 < 2$, то $y_0 = \sqrt{2-x_0} > 0$. Производная $f'(x_0) < 0$, значит касательная имеет отрицательный наклон. Следовательно, точки пересечения с осями будут иметь положительные координаты: $x_{int} = 4-x_0 > 2 > 0$ и $y_{int} = \frac{4-x_0}{2\sqrt{2-x_0}} > 0$.

Площадь $S$ прямоугольного треугольника, образованного касательной и осями координат, равна половине произведения его катетов:$S(x_0) = \frac{1}{2} \cdot x_{int} \cdot y_{int} = \frac{1}{2} \cdot (4-x_0) \cdot \frac{4-x_0}{2\sqrt{2-x_0}} = \frac{(4-x_0)^2}{4\sqrt{2-x_0}}$.

Чтобы найти наименьшую площадь, нужно исследовать функцию $S(x_0)$ на минимум. Для этого найдем ее производную $S'(x_0)$ и приравняем к нулю. Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:$u = (4-x_0)^2 \Rightarrow u' = 2(4-x_0)(-1) = -2(4-x_0)$.$v = 4\sqrt{2-x_0} \Rightarrow v' = 4 \cdot (-\frac{1}{2\sqrt{2-x_0}}) = -\frac{2}{\sqrt{2-x_0}}$.

$S'(x_0) = \frac{-2(4-x_0) \cdot 4\sqrt{2-x_0} - (4-x_0)^2 \cdot (-\frac{2}{\sqrt{2-x_0}})}{(4\sqrt{2-x_0})^2}$$S'(x_0) = \frac{-8(4-x_0)\sqrt{2-x_0} + \frac{2(4-x_0)^2}{\sqrt{2-x_0}}}{16(2-x_0)}$.Приведем числитель к общему знаменателю $\sqrt{2-x_0}$:$S'(x_0) = \frac{\frac{-8(4-x_0)(2-x_0) + 2(4-x_0)^2}{\sqrt{2-x_0}}}{16(2-x_0)} = \frac{-8(8-4x_0-2x_0+x_0^2) + 2(16-8x_0+x_0^2)}{16(2-x_0)\sqrt{2-x_0}}$.Упростим числитель, вынеся за скобки общий множитель $2(4-x_0)$:Числитель: $2(4-x_0) \left[ -4(2-x_0) + (4-x_0) \right] = 2(4-x_0)(-8+4x_0+4-x_0) = 2(4-x_0)(3x_0-4)$.Тогда производная:$S'(x_0) = \frac{2(4-x_0)(3x_0-4)}{16(2-x_0)^{3/2}} = \frac{(4-x_0)(3x_0-4)}{8(2-x_0)^{3/2}}$.

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:$S'(x_0) = 0 \Rightarrow (4-x_0)(3x_0-4) = 0$.Получаем два решения: $x_0 = 4$ и $x_0 = 4/3$.Решение $x_0=4$ не входит в область определения функции ($x_0 < 2$), поэтому мы его отбрасываем.Остается одна критическая точка $x_0 = 4/3$.

Проверим знак производной в окрестности точки $x_0 = 4/3$. Знаменатель $8(2-x_0)^{3/2}$ и множитель $(4-x_0)$ положительны при $x_0 < 2$. Знак $S'(x_0)$ зависит от знака множителя $(3x_0-4)$.При $x_0 < 4/3$, $S'(x_0) < 0$ (функция убывает).При $x_0 > 4/3$, $S'(x_0) > 0$ (функция возрастает).Следовательно, в точке $x_0 = 4/3$ достигается минимум функции $S(x_0)$.

Теперь найдем ординату искомой точки:$y_0 = f(x_0) = \sqrt{2-x_0} = \sqrt{2 - \frac{4}{3}} = \sqrt{\frac{6-4}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$.

Таким образом, искомая точка на графике функции, через которую нужно провести касательную для получения треугольника наименьшей площади, имеет координаты $(4/3, \sqrt{2/3})$.

Ответ: Касательную надо провести через точку с координатами $(\frac{4}{3}, \sqrt{\frac{2}{3}})$.