Номер 55, страница 226 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

55. 1) Скорость поезда на горизонтальном участке пути равна 72 км/ч. За сколько секунд и на каком расстоянии поезд будет остановлен, если сопротивление движению после начала торможения равно 0,2 его веса?

2) Найдите уравнение кривой, проходящей через точку $M(3; 4)$, у которой отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится в точке касания пополам.

3) В воде, температура которой $20^\circ C$, в течение 10 мин тело охлаждается от $100^\circ C$ до $60^\circ C$. За какое время тело охладится до $30^\circ C$, если по закону Ньютона скорость охлаждения пропорциональна разности температур тела и охлаждающей среды?

1) Для решения задачи воспользуемся вторым законом Ньютона и формулами равноускоренного движения. Сначала переведем начальную скорость поезда в системные единицы (м/с):

$v_0 = 72 \text{ км/ч} = 72 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 20 \text{ м/с}$.

По условию, сила сопротивления движению (тормозящая сила) $F_{сопр}$ составляет 0,2 от веса поезда $P$. Вес поезда $P = mg$, где $m$ — масса поезда, а $g$ — ускорение свободного падения (примем $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$).

$F_{сопр} = 0,2 P = 0,2 mg$.

Согласно второму закону Ньютона, $F = ma$. Тормозящая сила направлена против движения, поэтому ускорение $a$ будет отрицательным.

$ma = -F_{сопр} = -0,2 mg$.

Масса $m$ сокращается, и мы находим ускорение:

$a = -0,2 g = -0,2 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 = -1,96 \text{ м/с}^2$.

Теперь найдем время $t$, за которое поезд остановится. Конечная скорость $v$ равна 0. Используем формулу скорости:

$v = v_0 + at$.

$0 = 20 \text{ м/с} + (-1,96 \text{ м/с}^2) \cdot t$.

$t = \frac{-20 \text{ м/с}}{-1,96 \text{ м/с}^2} \approx 10,2 \text{ с}$.

Далее найдем расстояние (тормозной путь) $s$, которое пройдет поезд до полной остановки. Используем формулу, связывающую скорость и расстояние:

$v^2 - v_0^2 = 2as$.

$0^2 - (20 \text{ м/с})^2 = 2 \cdot (-1,96 \text{ м/с}^2) \cdot s$.

$-400 \text{ м}^2/\text{с}^2 = -3,92 \text{ м/с}^2 \cdot s$.

$s = \frac{-400 \text{ м}^2/\text{с}^2}{-3,92 \text{ м/с}^2} \approx 102 \text{ м}$.

Ответ: Поезд будет остановлен за 10,2 секунды на расстоянии 102 метра.

2) Пусть искомая кривая задается уравнением $y=f(x)$. Возьмем на кривой произвольную точку касания $P(x_0, y_0)$. Уравнение касательной к кривой в этой точке имеет вид:

$y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$.

Найдем точки пересечения этой касательной с осями координат.

Пересечение с осью Oy (когда $x=0$):

$y_A - y_0 = f'(x_0)(0 - x_0) \implies y_A = y_0 - x_0 f'(x_0)$. Точка пересечения $A(0, y_0 - x_0 f'(x_0))$.

Пересечение с осью Ox (когда $y=0$):

$0 - y_0 = f'(x_0)(x_B - x_0) \implies x_B = x_0 - \frac{y_0}{f'(x_0)}$. Точка пересечения $B(x_0 - \frac{y_0}{f'(x_0)}, 0)$.

По условию, точка касания $P(x_0, y_0)$ является серединой отрезка $AB$. Используем формулы координат середины отрезка:

$x_0 = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{0 + x_0 - \frac{y_0}{f'(x_0)}}{2} \implies 2x_0 = x_0 - \frac{y_0}{f'(x_0)} \implies x_0 = -\frac{y_0}{f'(x_0)}$.

$y_0 = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{y_0 - x_0 f'(x_0) + 0}{2} \implies 2y_0 = y_0 - x_0 f'(x_0) \implies y_0 = -x_0 f'(x_0)$.

Оба условия приводят к одному и тому же дифференциальному уравнению. Запишем его для произвольной точки $(x, y)$ на кривой, заменив $y_0$ на $y$, $x_0$ на $x$ и $f'(x_0)$ на $\frac{dy}{dx}$:

$y = -x \frac{dy}{dx}$.

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решим его:

$\frac{dy}{y} = -\frac{dx}{x}$.

Интегрируем обе части:

$\int \frac{dy}{y} = -\int \frac{dx}{x}$.

$\ln|y| = -\ln|x| + C_1$.

$\ln|y| + \ln|x| = C_1 \implies \ln|xy| = C_1$.

$xy = e^{C_1} = C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Итак, общее решение — $y = \frac{C}{x}$.

Найдем значение константы $C$, используя условие, что кривая проходит через точку $M(3; 4)$:

$4 = \frac{C}{3} \implies C = 12$.

Следовательно, искомое уравнение кривой: $y = \frac{12}{x}$.

Ответ: $y = \frac{12}{x}$.

3) Согласно закону Ньютона, скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. Пусть $T(t)$ — температура тела в момент времени $t$, а $T_с$ — температура среды. Математически это записывается как дифференциальное уравнение:

$\frac{dT}{dt} = -k(T - T_с)$,

где $k$ — коэффициент пропорциональности, а знак "минус" указывает на то, что температура тела уменьшается (охлаждение).

По условию, $T_с = 20^\circ\text{C}$. Уравнение принимает вид:

$\frac{dT}{dt} = -k(T - 20)$.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его:

$\frac{dT}{T - 20} = -k dt$.

$\int \frac{dT}{T - 20} = \int -k dt$.

$\ln(T - 20) = -kt + C_1$.

$T - 20 = e^{-kt + C_1} = e^{C_1}e^{-kt}$.

Обозначим $C = e^{C_1}$ и получим общее решение: $T(t) = 20 + Ce^{-kt}$.

Используем начальные условия для нахождения констант $C$ и $k$.

1. В начальный момент времени $t=0$, температура тела $T(0) = 100^\circ\text{C}$.

$100 = 20 + Ce^{-k \cdot 0} \implies 100 = 20 + C \implies C = 80$.

Теперь уравнение выглядит так: $T(t) = 20 + 80e^{-kt}$.

2. Через 10 минут ($t=10$) температура стала $T(10) = 60^\circ\text{C}$.

$60 = 20 + 80e^{-k \cdot 10}$.

$40 = 80e^{-10k}$.

$e^{-10k} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}$.

Теперь нам нужно найти время $t_1$, за которое тело охладится до $30^\circ\text{C}$.

$30 = 20 + 80e^{-kt_1}$.

$10 = 80e^{-kt_1}$.

$e^{-kt_1} = \frac{10}{80} = \frac{1}{8}$.

Мы имеем два соотношения: $e^{-10k} = \frac{1}{2}$ и $e^{-kt_1} = \frac{1}{8}$.

Из первого соотношения $(e^{-k})^{10} = \frac{1}{2}$. Из второго $(e^{-k})^{t_1} = \frac{1}{8}$.

Так как $\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^3$, мы можем записать:

$(e^{-k})^{t_1} = ((e^{-k})^{10})^3 = (e^{-k})^{30}$.

Сравнивая показатели степени, получаем $t_1 = 30$ минут.

Ответ: Тело охладится до 30°C за 30 минут.