Номер 59, страница 227 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

59. Разложите на множители выражение:

1) $25 + 9x^2;$

2) $4x^2 + 16y^2;$

3) $x^2 - 4x + 5;$

4) $x^2 - 6x + 25.$

1) Для разложения выражения $25 + 9x^2$ на множители, представим его в виде суммы квадратов. Заметим, что $25 = 5^2$ и $9x^2 = (3x)^2$. Таким образом, выражение имеет вид $5^2 + (3x)^2$.

Сумма квадратов $a^2 + b^2$ не раскладывается на множители в поле действительных чисел. Однако её можно разложить, используя комплексные числа. Вспомним, что мнимая единица $i$ определяется как $i^2 = -1$.

Тогда $a^2 + b^2 = a^2 - (-1)b^2 = a^2 - i^2 b^2 = a^2 - (ib)^2$.

Теперь мы можем применить формулу разности квадратов: $a^2 - c^2 = (a-c)(a+c)$.

В нашем случае $a=5$ и $b=3x$, поэтому $a^2 + b^2$ превращается в $5^2 - (i \cdot 3x)^2 = 5^2 - (3ix)^2$.

Получаем: $(5 - 3ix)(5 + 3ix)$.

Ответ: $(5 - 3ix)(5 + 3ix)$

2) Рассмотрим выражение $4x^2 + 16y^2$. Сначала вынесем за скобки общий множитель $4$:

$4x^2 + 16y^2 = 4(x^2 + 4y^2)$.

Выражение в скобках $x^2 + 4y^2$ является суммой квадратов, так как $x^2 = (x)^2$ и $4y^2 = (2y)^2$. Таким образом, $x^2 + (2y)^2$.

Как и в предыдущем задании, разложим на множители с помощью комплексных чисел. Используем тот же подход: $a^2+b^2 = a^2 - (ib)^2 = (a-ib)(a+ib)$.

Здесь $a=x$ и $b=2y$.

$x^2 + 4y^2 = x^2 + (2y)^2 = x^2 - (i \cdot 2y)^2 = (x - 2iy)(x + 2iy)$.

Не забывая про вынесенный множитель $4$, получаем окончательный результат.

Ответ: $4(x - 2iy)(x + 2iy)$

3) Для разложения на множители квадратного трехчлена $x^2 - 4x + 5$ воспользуемся методом выделения полного квадрата.

Чтобы для двучлена $x^2 - 4x$ получить полный квадрат, нужно добавить и вычесть квадрат половины коэффициента при $x$, то есть $(\frac{-4}{2})^2 = (-2)^2 = 4$.

Представим исходное выражение следующим образом: $x^2 - 4x + 5 = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 5$.

Сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют полный квадрат: $(x^2 - 4x + 4) + 1 = (x-2)^2 + 1$.

Мы получили сумму квадратов. Снова применим разложение через комплексные числа, зная, что $1 = -(-1) = -i^2$.

$(x-2)^2 + 1 = (x-2)^2 - i^2$.

Теперь используем формулу разности квадратов $a^2-c^2=(a-c)(a+c)$, где $a = x-2$ и $c=i$.

$((x-2) - i)((x-2) + i) = (x-2-i)(x-2+i)$.

Ответ: $(x-2-i)(x-2+i)$

4) Разложим на множители выражение $x^2 - 6x + 25$. Используем метод выделения полного квадрата, аналогично предыдущему пункту.

Для $x^2 - 6x$ не хватает слагаемого $(\frac{-6}{2})^2 = (-3)^2 = 9$ для получения полного квадрата.

Добавим и вычтем $9$: $x^2 - 6x + 25 = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 25$.

Группируем слагаемые: $(x^2 - 6x + 9) + 16 = (x-3)^2 + 16$.

Мы снова получили сумму квадратов: $(x-3)^2 + 4^2$.

Используя комплексные числа, запишем $16 = -(-16) = -(4i)^2$.

$(x-3)^2 + 16 = (x-3)^2 - (4i)^2$.

Применим формулу разности квадратов, где $a = x-3$ и $c = 4i$.

$((x-3) - 4i)((x-3) + 4i) = (x-3-4i)(x-3+4i)$.

Ответ: $(x-3-4i)(x-3+4i)$