Номер 64, страница 227 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

64. 1) Сколько можно составить трехзначных чисел из цифр 2, 3, 4 при условии, что ни одна цифра не повторяется дважды?

2) Сколько можно составить четырехзначных чисел из цифр 0, 2, 3, 5 при условии, что ни одна цифра не повторяется дважды?

3) Из 100 подарочных наборов в 50 находятся конфеты, в 45 — яблоки, в 35 — мандарины, в 20 — конфеты, яблоки и мандарины, в 25 — конфеты и яблоки, в 15 — яблоки и мандарины. Найдите число наборов с конфетами и мандаринами.

1) Для составления трехзначного числа из цифр 2, 3, 4 без повторений нужно разместить 3 различные цифры на 3 позициях. Это задача на перестановки.

На первую позицию (сотни) можно выбрать любую из 3 цифр.

На вторую позицию (десятки) можно выбрать любую из 2 оставшихся цифр.

На третью позицию (единицы) остается только 1 цифра.

Общее количество возможных чисел равно произведению числа вариантов для каждой позиции: $3 \times 2 \times 1 = 6$.

Это соответствует формуле числа перестановок из n элементов: $P_n = n!$. В данном случае $P_3 = 3! = 6$.

Ответ: 6.

2) Мы составляем четырехзначные числа из цифр 0, 2, 3, 5 без повторений. Важным условием является то, что четырехзначное число не может начинаться с цифры 0.

На первую позицию (тысячи) можно поставить любую из 3-х цифр (2, 3, или 5).

После выбора первой цифры, на вторую позицию (сотни) можно выбрать любую из 3-х оставшихся цифр (включая 0).

На третью позицию (десятки) можно выбрать любую из 2-х оставшихся цифр.

На четвертую позицию (единицы) останется последняя, 1 цифра.

Общее количество возможных чисел равно: $3 \times 3 \times 2 \times 1 = 18$.

Альтернативный способ: общее число перестановок из 4 цифр равно $P_4 = 4! = 24$. Из них нужно вычесть те комбинации, которые начинаются с 0, так как они не являются четырехзначными числами. Число таких комбинаций равно числу перестановок оставшихся 3-х цифр (2, 3, 5), то есть $P_3 = 3! = 6$. Итого: $24 - 6 = 18$.

Ответ: 18.

3) Для решения задачи используем теорию множеств. Обозначим:

К – множество наборов с конфетами, $|К| = 50$.

Я – множество наборов с яблоками, $|Я| = 45$.

М – множество наборов с мандаринами, $|М| = 35$.

Даны мощности пересечений множеств:

$|К \cap Я| = 25$ (наборы с конфетами и яблоками).

$|Я \cap М| = 15$ (наборы с яблоками и мандаринами).

$|К \cap Я \cap М| = 20$ (наборы с конфетами, яблоками и мандаринами).

Требуется найти $|К \cap М|$.

По определению, множество наборов, содержащих все три элемента ($К \cap Я \cap М$), является подмножеством множества наборов, содержащих любые два из этих элементов (например, $Я \cap М$). Это означает, что количество элементов в первом множестве не может быть больше, чем во втором. Следовательно, должно выполняться неравенство:

$|К \cap Я \cap М| \le |Я \cap М|$.

Подставив значения из условия, получаем: $20 \le 15$.

Это неравенство неверно. Число наборов, содержащих все три вида продуктов, не может быть больше числа наборов, содержащих яблоки и мандарины. Таким образом, исходные данные задачи противоречивы.

Ответ: Задача содержит противоречивые данные и не может быть решена.