Номер 62, страница 227 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

62. 1) Найдите значение суммы четырехзначных чисел, полученных при всевозможных перестановках цифр 3, 5, 5, 7.

2) Найдите значение суммы четырехзначных чисел, полученных при всевозможных перестановках цифр 3, 3, 4, 8.

1)

Для нахождения суммы всех четырехзначных чисел, полученных при перестановках цифр 3, 5, 5, 7, мы можем использовать комбинаторный подход, чтобы не выписывать все числа и не складывать их вручную.

Сначала определим, сколько всего уникальных четырехзначных чисел можно составить из этих цифр. У нас есть 4 цифры, среди которых цифра 5 повторяется дважды. Количество перестановок с повторениями вычисляется по формуле: $N = \frac{n!}{n_1!n_2!...}$, где $n$ — общее количество элементов, а $n_1, n_2, ...$ — количество повторений каждого элемента. В нашем случае $n=4$, и есть одна повторяющаяся цифра 5 (2 раза), поэтому $n_1=2$.

Количество уникальных чисел: $N = \frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12$.

Теперь рассмотрим, сколько раз каждая из цифр (3, 5, 7) будет стоять на каждой из позиций (тысяч, сотен, десятков, единиц). Из-за симметрии количество раз будет одинаковым для каждой позиции.

• Сколько раз цифра 3 окажется на какой-либо позиции (например, тысяч)? Если мы зафиксируем цифру 3 на одном месте, то для остальных трех мест нам нужно будет расположить цифры {5, 5, 7}. Количество перестановок для этого набора равно $\frac{3!}{2!} = 3$. Таким образом, цифра 3 будет стоять на каждой из позиций 3 раза.

• Сколько раз цифра 7 окажется на какой-либо позиции? Аналогично, зафиксировав 7, мы переставляем {3, 5, 5}. Количество перестановок также равно $\frac{3!}{2!} = 3$. Значит, цифра 7 будет стоять на каждой из позиций 3 раза.

• Сколько раз цифра 5 окажется на какой-либо позиции? Зафиксировав одну из цифр 5, мы переставляем {3, 5, 7}. Количество перестановок для этого набора равно $3! = 6$. Значит, цифра 5 будет стоять на каждой из позиций 6 раз.

Теперь найдем сумму цифр в каждом разряде (например, в разряде единиц). Она будет одинаковой для всех разрядов.

Сумма в разряде единиц = (цифра 3 × ее частота) + (цифра 7 × ее частота) + (цифра 5 × ее частота) = $(3 \times 3) + (7 \times 3) + (5 \times 6) = 9 + 21 + 30 = 60$.

Эта сумма (60) будет одинаковой для разряда единиц, десятков, сотен и тысяч.

Чтобы найти общую сумму всех чисел, нужно сложить суммы по разрядам с учетом их веса:

Общая сумма = $60 \times 1000$ (сумма в разряде тысяч) + $60 \times 100$ (сумма в разряде сотен) + $60 \times 10$ (сумма в разряде десятков) + $60 \times 1$ (сумма в разряде единиц).

Общая сумма = $60 \times (1000 + 100 + 10 + 1) = 60 \times 1111 = 66660$.

Ответ: 66660

2)

Решим эту задачу аналогичным образом для набора цифр 3, 3, 4, 8.

Сначала определим количество уникальных четырехзначных чисел. У нас 4 цифры, из которых цифра 3 повторяется дважды.Количество уникальных чисел: $N = \frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12$.

Теперь определим частоту появления каждой цифры (3, 4, 8) в каждом разряде.

• Сколько раз цифра 4 окажется на какой-либо позиции? Если зафиксировать 4, то для остальных трех мест нужно расположить цифры {3, 3, 8}. Количество перестановок: $\frac{3!}{2!} = 3$. Цифра 4 будет стоять на каждой позиции 3 раза.

• Сколько раз цифра 8 окажется на какой-либо позиции? Аналогично, фиксируем 8 и переставляем {3, 3, 4}. Количество перестановок: $\frac{3!}{2!} = 3$. Цифра 8 будет стоять на каждой позиции 3 раза.

• Сколько раз цифра 3 окажется на какой-либо позиции? Фиксируем одну из цифр 3 и переставляем {3, 4, 8}. Количество перестановок: $3! = 6$. Цифра 3 будет стоять на каждой позиции 6 раз.

Теперь найдем сумму цифр в каждом разряде.

Сумма в разряде единиц = (цифра 4 × ее частота) + (цифра 8 × ее частота) + (цифра 3 × ее частота) = $(4 \times 3) + (8 \times 3) + (3 \times 6) = 12 + 24 + 18 = 54$.

Сумма для каждого разряда (единиц, десятков, сотен, тысяч) равна 54.

Вычислим общую сумму всех чисел:

Общая сумма = $54 \times 1000 + 54 \times 100 + 54 \times 10 + 54 \times 1 = 54 \times (1000 + 100 + 10 + 1) = 54 \times 1111 = 59994$.

Ответ: 59994