Номер 48, страница 225 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

48. Участок площадью в $800 \text{ м}^2$ имеет форму прямоугольника. Участок огорожен изгородью с трех сторон. Найдите наименьшую длину изгороди.

Пусть стороны прямоугольного участка равны $a$ и $b$.

Площадь участка $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. По условию, площадь равна $800 \text{ м}^2$, следовательно, мы имеем уравнение:$a \cdot b = 800$.

Участок огорожен изгородью с трех сторон. Это означает, что одна из сторон не огорожена. Возможны два случая:

1. Огорожены две стороны длиной $a$ и одна сторона длиной $b$. Длина изгороди $L$ в этом случае будет $L = 2a + b$.

2. Огорожены две стороны длиной $b$ и одна сторона длиной $a$. Длина изгороди $L$ будет $L = a + 2b$.

Оба случая симметричны, и решение для одного из них даст искомый минимальный результат. Рассмотрим первый случай, где длина изгороди $L = 2a + b$. Нам нужно найти наименьшее (минимальное) значение этой длины.

Из уравнения площади выразим одну переменную через другую, например, $b$ через $a$:$b = \frac{800}{a}$.

Подставим это выражение в формулу для длины изгороди, чтобы получить функцию, зависящую только от одной переменной $a$:$L(a) = 2a + \frac{800}{a}$.

Чтобы найти минимальное значение функции $L(a)$, нужно найти её производную по $a$ и приравнять к нулю.

Находим производную:$L'(a) = \left(2a + \frac{800}{a}\right)' = (2a)' + (800a^{-1})' = 2 - 800a^{-2} = 2 - \frac{800}{a^2}$.

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек, в которых функция может иметь минимум или максимум:$L'(a) = 0 \Rightarrow 2 - \frac{800}{a^2} = 0$.

Решим полученное уравнение относительно $a$:$2 = \frac{800}{a^2}$$2a^2 = 800$$a^2 = 400$$a = \sqrt{400} = 20$.

Мы берем только положительное значение корня, так как длина стороны не может быть отрицательной. Итак, одна из сторон равна $a = 20$ м.

Чтобы убедиться, что при этом значении $a$ достигается именно минимум, а не максимум, можно использовать вторую производную:$L''(a) = \left(2 - 800a^{-2}\right)' = -(-2) \cdot 800a^{-3} = \frac{1600}{a^3}$.При $a=20$, $L''(20) = \frac{1600}{20^3} > 0$, что подтверждает, что при $a=20$ м функция $L(a)$ достигает своего минимума.

Теперь найдем длину второй стороны $b$:$b = \frac{800}{a} = \frac{800}{20} = 40$ м.

Таким образом, для минимизации длины изгороди стороны участка должны быть 20 м и 40 м. Изгородь будет состоять из двух сторон по 20 м и одной стороны в 40 м. Вычислим эту наименьшую длину:$L_{min} = 2a + b = 2 \cdot 20 + 40 = 40 + 40 = 80$ м.

Если бы мы изначально выбрали второй случай ($L = a + 2b$), то получили бы $a=40$ м и $b=20$ м, а длина изгороди была бы такой же: $L = 40 + 2 \cdot 20 = 80$ м.

Ответ: 80 м.