Номер 49, страница 226 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

49. Витринное окно площадью в $12,5 \text{ м}^2$ имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Какой должна быть длина радиуса полукруга, чтобы периметр окна был наименьшим?

Пусть $r$ — радиус полукруга, а $h$ — высота прямоугольной части окна. Тогда ширина прямоугольника, на которой расположен полукруг, равна диаметру, то есть $2r$.

Общая площадь окна $S$ складывается из площади прямоугольника ($S_{пр}$) и площади полукруга ($S_{пк}$).

$S_{пр} = 2r \cdot h$

$S_{пк} = \frac{1}{2} \pi r^2$

Следовательно, общая площадь окна: $S = 2rh + \frac{1}{2}\pi r^2$.

По условию задачи, $S = 12,5$ м$^2$. Подставим это значение в уравнение:

$12,5 = 2rh + \frac{1}{2}\pi r^2$

Чтобы найти наименьший периметр, нужно выразить его как функцию одной переменной. Выразим $h$ через $r$ из уравнения площади:

$2rh = 12,5 - \frac{1}{2}\pi r^2$

$h = \frac{12,5}{2r} - \frac{\pi r^2}{4r} = \frac{25}{4r} - \frac{\pi r}{4}$

Периметр окна $P$ состоит из двух боковых сторон прямоугольника (длиной $h$ каждая), его основания (длиной $2r$) и длины дуги полукруга (равной $\pi r$).

$P = 2h + 2r + \pi r$

Теперь подставим выражение для $h$ в формулу периметра, чтобы получить функцию $P(r)$:

$P(r) = 2 \left(\frac{25}{4r} - \frac{\pi r}{4}\right) + 2r + \pi r$

$P(r) = \frac{25}{2r} - \frac{\pi r}{2} + 2r + \pi r = \frac{25}{2r} + 2r + \frac{\pi r}{2}$

$P(r) = \frac{25}{2r} + r\left(2 + \frac{\pi}{2}\right)$

Чтобы найти значение $r$, при котором периметр $P$ будет наименьшим, найдем производную функции $P(r)$ по переменной $r$ и приравняем ее к нулю.

$P'(r) = \frac{d}{dr}\left(\frac{25}{2}r^{-1} + r\left(2 + \frac{\pi}{2}\right)\right) = -\frac{25}{2}r^{-2} + \left(2 + \frac{\pi}{2}\right) = -\frac{25}{2r^2} + 2 + \frac{\pi}{2}$

Приравниваем производную к нулю для нахождения критических точек:

$P'(r) = 0 \implies -\frac{25}{2r^2} + 2 + \frac{\pi}{2} = 0$

$\frac{25}{2r^2} = 2 + \frac{\pi}{2}$

$\frac{25}{2r^2} = \frac{4+\pi}{2}$

$25 = r^2(4+\pi)$

$r^2 = \frac{25}{4+\pi}$

Так как радиус $r$ должен быть положительной величиной, извлекаем квадратный корень:

$r = \sqrt{\frac{25}{4+\pi}} = \frac{5}{\sqrt{4+\pi}}$

Чтобы убедиться, что это точка минимума, найдем вторую производную функции $P(r)$:

$P''(r) = \frac{d}{dr}\left(-\frac{25}{2r^2}\right) = (-2)\left(-\frac{25}{2r^2}\right)r^{-1} = \frac{50}{2r^3} = \frac{25}{r^3}$

Поскольку $r > 0$, значение второй производной $P''(r)$ всегда положительно. Это подтверждает, что найденное значение $r$ соответствует точке минимума периметра.

Ответ: $r = \frac{5}{\sqrt{4+\pi}}$ м.