Номер 38, страница 223 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

38. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x)$:

1) $f(x) = \sqrt{3x + 1}$, параллельной прямой $y = -\frac{3}{4}x + 2;

2) $f(x) = \sqrt{3 - 2x}$, параллельной прямой $y = -x - 6.$

1) Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

По условию, касательная параллельна прямой $y = \frac{3}{4}x + 2$. Две прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент данной прямой равен $k = \frac{3}{4}$.

Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции в точке касания $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной. Таким образом, $f'(x_0) = k = \frac{3}{4}$.

Сначала найдем производную функции $f(x) = \sqrt{3x + 1}$: $f'(x) = (\sqrt{3x + 1})' = ((3x + 1)^{1/2})' = \frac{1}{2}(3x + 1)^{-1/2} \cdot (3x+1)' = \frac{1}{2\sqrt{3x+1}} \cdot 3 = \frac{3}{2\sqrt{3x+1}}$.

Теперь найдем абсциссу точки касания $x_0$, приравняв производную к угловому коэффициенту: $f'(x_0) = \frac{3}{2\sqrt{3x_0 + 1}} = \frac{3}{4}$.

Разделив обе части уравнения на 3, получим: $\frac{1}{2\sqrt{3x_0 + 1}} = \frac{1}{4}$.

Отсюда следует, что $2\sqrt{3x_0 + 1} = 4$, или $\sqrt{3x_0 + 1} = 2$.

Возведем обе части уравнения в квадрат: $3x_0 + 1 = 4$.

$3x_0 = 3$.

$x_0 = 1$.

Теперь найдем ординату точки касания $y_0 = f(x_0)$: $y_0 = f(1) = \sqrt{3 \cdot 1 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Таким образом, точка касания имеет координаты $(1, 2)$.

Составим уравнение касательной, используя точку $(1, 2)$ и угловой коэффициент $k = \frac{3}{4}$: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) = 2 + \frac{3}{4}(x - 1)$.

$y = 2 + \frac{3}{4}x - \frac{3}{4}$.

$y = \frac{3}{4}x + \frac{8}{4} - \frac{3}{4}$.

$y = \frac{3}{4}x + \frac{5}{4}$.

Ответ: $y = \frac{3}{4}x + \frac{5}{4}$.

2) Касательная должна быть параллельна прямой $y = -x - 6$. Угловой коэффициент этой прямой равен $k = -1$.

Следовательно, угловой коэффициент искомой касательной также должен быть равен $-1$. Это значит, что $f'(x_0) = -1$.

Найдем производную функции $f(x) = \sqrt{3 - 2x}$: $f'(x) = (\sqrt{3 - 2x})' = ((3 - 2x)^{1/2})' = \frac{1}{2}(3 - 2x)^{-1/2} \cdot (3 - 2x)' = \frac{1}{2\sqrt{3 - 2x}} \cdot (-2) = -\frac{1}{\sqrt{3 - 2x}}$.

Теперь найдем абсциссу точки касания $x_0$, решив уравнение $f'(x_0) = -1$: $-\frac{1}{\sqrt{3 - 2x_0}} = -1$.

Умножим обе части уравнения на -1: $\frac{1}{\sqrt{3 - 2x_0}} = 1$.

Отсюда следует, что $\sqrt{3 - 2x_0} = 1$.

Возведем обе части в квадрат: $3 - 2x_0 = 1$.

$2 = 2x_0$.

$x_0 = 1$.

Найдем ординату точки касания $y_0 = f(x_0)$: $y_0 = f(1) = \sqrt{3 - 2 \cdot 1} = \sqrt{1} = 1$.

Точка касания имеет координаты $(1, 1)$.

Составим уравнение касательной, используя точку $(1, 1)$ и угловой коэффициент $k = -1$: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) = 1 + (-1)(x - 1)$.

$y = 1 - x + 1$.

$y = -x + 2$.

Ответ: $y = -x + 2$.