Номер 31, страница 223 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

31. Найдите асимптоты графика функции:

1) $y = \frac{x-2}{x-1}$;

2) $y = \frac{5-x}{x+3}$;

3) $y = \frac{x^2+5}{x-2}$;

4) $y = \frac{2x^2-x}{x+2}$.

1) Для функции $y = \frac{x-2}{x-1}$.

Сначала найдем вертикальные асимптоты. Они существуют в тех точках, где знаменатель функции обращается в ноль, а числитель при этом отличен от нуля. Приравняем знаменатель к нулю: $x - 1 = 0$, откуда получаем $x = 1$. Проверим значение числителя в этой точке: $1 - 2 = -1 \neq 0$. Таким образом, прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой.

Далее ищем горизонтальные или наклонные асимптоты. Так как степень многочлена в числителе ($n=1$) равна степени многочлена в знаменателе ($m=1$), у графика функции есть горизонтальная асимптота. Уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид $y = \lim_{x \to \infty} \frac{x-2}{x-1}$, что равно отношению коэффициентов при старших степенях $x$. Следовательно, $y = \frac{1}{1} = 1$. Прямая $y=1$ является горизонтальной асимптотой.

Поскольку существует горизонтальная асимптота, наклонная асимптота отсутствует.

Ответ: вертикальная асимптота $x=1$, горизонтальная асимптота $y=1$.

2) Для функции $y = \frac{5-x}{x+3}$.

Вертикальная асимптота: приравниваем знаменатель к нулю $x+3=0$, получаем $x=-3$. Значение числителя в этой точке: $5 - (-3) = 8 \neq 0$. Следовательно, прямая $x=-3$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальная асимптота: степени многочленов в числителе и знаменателе равны ($n=m=1$). Асимптота находится как отношение коэффициентов при старших степенях $x$: $y = \frac{-1}{1} = -1$. Прямая $y=-1$ является горизонтальной асимптотой.

Наклонная асимптота отсутствует.

Ответ: вертикальная асимптота $x=-3$, горизонтальная асимптота $y=-1$.

3) Для функции $y = \frac{x^2+5}{x-2}$.

Вертикальная асимптота: приравниваем знаменатель к нулю $x-2=0$, получаем $x=2$. Значение числителя в этой точке: $2^2 + 5 = 9 \neq 0$. Следовательно, прямая $x=2$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальная асимптота: степень многочлена в числителе ($n=2$) больше степени многочлена в знаменателе ($m=1$), поэтому горизонтальной асимптоты нет.

Наклонная асимптота: так как степень числителя ровно на единицу больше степени знаменателя ($n = m+1$), существует наклонная асимптота вида $y=kx+b$. Чтобы найти ее уравнение, можно выполнить деление числителя на знаменатель столбиком:

$(x^2+5) : (x-2) = x+2$ (остаток $9$).

Таким образом, функцию можно представить в виде $y = x+2 + \frac{9}{x-2}$.

При $x \to \pm\infty$, слагаемое $\frac{9}{x-2}$ стремится к нулю, значит, график функции стремится к прямой $y=x+2$. Это и есть наклонная асимптота.

Ответ: вертикальная асимптота $x=2$, наклонная асимптота $y=x+2$.

4) Для функции $y = \frac{2x^2-x}{x+2}$.

Вертикальная асимптота: приравниваем знаменатель к нулю $x+2=0$, получаем $x=-2$. Значение числителя в этой точке: $2(-2)^2 - (-2) = 2 \cdot 4 + 2 = 10 \neq 0$. Следовательно, прямая $x=-2$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальная асимптота: степень числителя ($n=2$) больше степени знаменателя ($m=1$), поэтому горизонтальной асимптоты нет.

Наклонная асимптота: так как степень числителя ровно на единицу больше степени знаменателя ($n = m+1$), существует наклонная асимптота. Выполним деление числителя на знаменатель столбиком:

$(2x^2-x) : (x+2) = 2x-5$ (остаток $10$).

Функцию можно представить в виде $y = 2x-5 + \frac{10}{x+2}$.

При $x \to \pm\infty$, слагаемое $\frac{10}{x+2}$ стремится к нулю, следовательно, наклонная асимптота задается уравнением $y=2x-5$.

Ответ: вертикальная асимптота $x=-2$, наклонная асимптота $y=2x-5$.