Номер 30, страница 222 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

30. Решите уравнение $f'(x) = a$, если:

1) $f(x) = 3e^{2x+4}$, $a = -\frac{3}{e}$

2) $f(x) = 4 + \frac{1}{3}e^{6x+13}$, $a = -2$

3) $f(x) = 2e^{-7x+9}$, $a = -14$

4) $f(x) = 7 - e^{0.1x+3}$, $a = 0.1$

1) Дана функция $f(x) = 3e^{x-4}$ и значение $a = -\frac{3}{e}$.

Для решения уравнения $f'(x) = a$ сначала необходимо найти производную функции $f(x)$.

Используем правило дифференцирования сложной функции, в частности, для экспоненты: $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$.

$f'(x) = (3e^{x-4})' = 3 \cdot e^{x-4} \cdot (x-4)' = 3e^{x-4} \cdot 1 = 3e^{x-4}$.

Теперь подставим найденную производную в уравнение $f'(x) = a$:

$3e^{x-4} = -\frac{3}{e}$.

Разделим обе части уравнения на 3:

$e^{x-4} = -\frac{1}{e}$.

Показательная функция $y = e^z$ принимает только положительные значения ($e^z > 0$) для любого действительного числа $z$. Правая часть уравнения, $-\frac{1}{e}$, является отрицательным числом. Следовательно, данное уравнение не имеет решений в действительных числах.

Ответ: решений нет.

2) Дана функция $f(x) = 4 + \frac{1}{3}e^{6x+13}$ и значение $a = -2$.

Найдем производную функции $f(x)$. Производная константы (4) равна нулю.

$f'(x) = (4 + \frac{1}{3}e^{6x+13})' = 0 + \frac{1}{3} \cdot e^{6x+13} \cdot (6x+13)' = \frac{1}{3}e^{6x+13} \cdot 6 = 2e^{6x+13}$.

Теперь решим уравнение $f'(x) = a$:

$2e^{6x+13} = -2$.

Разделим обе части уравнения на 2:

$e^{6x+13} = -1$.

Поскольку показательная функция $y = e^z$ всегда положительна для любого действительного $z$, а правая часть уравнения равна -1, уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: решений нет.

3) Дана функция $f(x) = 2e^{-7x+9}$ и значение $a = -14$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (2e^{-7x+9})' = 2 \cdot e^{-7x+9} \cdot (-7x+9)' = 2e^{-7x+9} \cdot (-7) = -14e^{-7x+9}$.

Подставим производную в уравнение $f'(x) = a$:

$-14e^{-7x+9} = -14$.

Разделим обе части уравнения на -14:

$e^{-7x+9} = 1$.

Так как $e^0 = 1$, мы можем приравнять показатели степени:

$-7x+9 = 0$.

Перенесем 9 в правую часть:

$-7x = -9$.

Разделим на -7:

$x = \frac{-9}{-7} = \frac{9}{7}$.

Ответ: $x = \frac{9}{7}$.

4) Дана функция $f(x) = 7 - e^{0.1x-3}$ и значение $a = 0.1$.

Найдем производную функции $f(x)$. Производная константы (7) равна нулю.

$f'(x) = (7 - e^{0.1x-3})' = 0 - e^{0.1x-3} \cdot (0.1x-3)' = -e^{0.1x-3} \cdot (0.1) = -0.1e^{0.1x-3}$.

Теперь решим уравнение $f'(x) = a$:

$-0.1e^{0.1x-3} = 0.1$.

Разделим обе части уравнения на -0.1:

$e^{0.1x-3} = \frac{0.1}{-0.1} = -1$.

Как и в случаях 1 и 2, показательная функция $y=e^z$ не может принимать отрицательные значения. Следовательно, данное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: решений нет.