Страница 222 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

24. а) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

1) $y = 2^x$, $y = 3 - x$, $y = 0$, $x = 0$;

2) $y = 2^x - 1$, $y = 0$, $x = 2$, $y = \frac{1}{x^2}$;

3) $y = 3 - x^2$, $y = 1 + |x|$.

б) Найдите объем тела, полученного при вращении фигуры, ограниченной графиками функций, вокруг оси Ox:

1) $y = \frac{1}{x}$, $x = 1$, $x = 3$;

2) $y = 4 - x^2$, $y = x + 2$.

а) 1)

Фигура ограничена графиками функций $y=2^x$, $y=3-x$, $y=0$ (ось Ox) и $x=0$ (ось Oy).

Сначала найдем точку пересечения графиков $y=2^x$ и $y=3-x$:

$2^x = 3-x$

Подбором находим, что $x=1$ является решением, так как $2^1 = 2$ и $3-1 = 2$. Поскольку функция $y=2^x$ возрастающая, а $y=3-x$ убывающая, это единственная точка их пересечения.

Фигура ограничена снизу осью Ox ($y=0$). Верхняя граница фигуры состоит из двух частей: от $x=0$ до $x=1$ это график $y=2^x$, а от $x=1$ до $x=3$ (где $y=3-x$ пересекает ось Ox) это график $y=3-x$.

Площадь фигуры S можно найти как сумму двух интегралов:

$S = \int_{0}^{1} 2^x \,dx + \int_{1}^{3} (3-x) \,dx$

Вычислим первый интеграл:

$\int_{0}^{1} 2^x \,dx = \left[ \frac{2^x}{\ln 2} \right]_{0}^{1} = \frac{2^1}{\ln 2} - \frac{2^0}{\ln 2} = \frac{2}{\ln 2} - \frac{1}{\ln 2} = \frac{1}{\ln 2}$

Вычислим второй интеграл:

$\int_{1}^{3} (3-x) \,dx = \left[ 3x - \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{3} = \left(3 \cdot 3 - \frac{3^2}{2}\right) - \left(3 \cdot 1 - \frac{1^2}{2}\right) = \left(9 - \frac{9}{2}\right) - \left(3 - \frac{1}{2}\right) = \frac{9}{2} - \frac{5}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Суммарная площадь:

$S = \frac{1}{\ln 2} + 2$

Ответ: $S = 2 + \frac{1}{\ln 2}$

а) 2)

Фигура ограничена графиками функций $y=2^x - 1$, $y=0$, $x=2$, $y=\frac{1}{x^2}$.

Найдем точку пересечения графиков $y=2^x - 1$ и $y=\frac{1}{x^2}$:

$2^x - 1 = \frac{1}{x^2}$

При $x=1$ получаем $2^1-1=1$ и $\frac{1}{1^2}=1$. Значит, графики пересекаются в точке $(1, 1)$.

Также найдем точку пересечения графика $y=2^x-1$ с осью $y=0$: $2^x-1=0 \implies 2^x=1 \implies x=0$.

Фигура представляет собой область, ограниченную снизу осью $y=0$. Верхняя граница области состоит из двух частей: на отрезке $[0, 1]$ это график $y=2^x-1$, а на отрезке $[1, 2]$ это график $y=\frac{1}{x^2}$. Справа фигура ограничена прямой $x=2$.

Площадь фигуры S равна сумме двух интегралов:

$S = \int_{0}^{1} (2^x - 1) \,dx + \int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} \,dx$

Вычислим первый интеграл:

$\int_{0}^{1} (2^x - 1) \,dx = \left[ \frac{2^x}{\ln 2} - x \right]_{0}^{1} = \left(\frac{2^1}{\ln 2} - 1\right) - \left(\frac{2^0}{\ln 2} - 0\right) = \frac{2}{\ln 2} - 1 - \frac{1}{\ln 2} = \frac{1}{\ln 2} - 1$

Вычислим второй интеграл:

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} \,dx = \int_{1}^{2} x^{-2} \,dx = \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{2} = \left(-\frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{1}{1}\right) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$

Суммарная площадь:

$S = \left(\frac{1}{\ln 2} - 1\right) + \frac{1}{2} = \frac{1}{\ln 2} - \frac{1}{2}$

Ответ: $S = \frac{1}{\ln 2} - \frac{1}{2}$

а) 3)

Фигура ограничена графиками функций $y = 3 - x^2$ и $y = 1 + |x|$.

Обе функции являются четными, так как $f(-x) = f(x)$. Это означает, что фигура симметрична относительно оси Oy. Мы можем найти площадь для $x \ge 0$ и умножить результат на 2.

Для $x \ge 0$, $|x| = x$, и уравнение второй кривой принимает вид $y = 1 + x$.

Найдем точки пересечения графиков $y = 3 - x^2$ и $y = 1 + x$:

$3 - x^2 = 1 + x \implies x^2 + x - 2 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = -2$. Так как мы рассматриваем $x \ge 0$, нас интересует $x=1$. В силу симметрии, вторая точка пересечения будет при $x=-1$. Пределы интегрирования от -1 до 1.

На интервале $(-1, 1)$ парабола $y = 3 - x^2$ находится выше графика $y = 1 + |x|$.

Площадь фигуры S вычисляется по формуле:

$S = \int_{-1}^{1} ((3-x^2) - (1+|x|)) \,dx$

Используя симметрию:

$S = 2 \int_{0}^{1} ((3-x^2) - (1+x)) \,dx = 2 \int_{0}^{1} (2 - x - x^2) \,dx$

Вычислим интеграл:

$S = 2 \left[ 2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = 2 \left( \left(2(1) - \frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3}\right) - (0) \right) = 2 \left( 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right)$

$S = 2 \left( \frac{12 - 3 - 2}{6} \right) = 2 \left( \frac{7}{6} \right) = \frac{7}{3}$

Ответ: $S = \frac{7}{3}$

б) 1)

Нужно найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси Ox фигуры, ограниченной графиками $y=\frac{1}{x}$, $x=1$, $x=3$ (и неявно $y=0$).

Объем тела вращения вычисляется по формуле (метод дисков):

$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \,dx$

В нашем случае $f(x) = \frac{1}{x}$, $a=1$, $b=3$.

$V = \pi \int_{1}^{3} \left(\frac{1}{x}\right)^2 \,dx = \pi \int_{1}^{3} \frac{1}{x^2} \,dx$

Вычисляем интеграл:

$V = \pi \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{3} = \pi \left( \left(-\frac{1}{3}\right) - \left(-\frac{1}{1}\right) \right) = \pi \left(-\frac{1}{3} + 1\right) = \pi \cdot \frac{2}{3} = \frac{2\pi}{3}$

Ответ: $V = \frac{2\pi}{3}$

б) 2)

Нужно найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси Ox фигуры, ограниченной графиками $y = 4 - x^2$ и $y = x + 2$.

Сначала найдем пределы интегрирования, решив уравнение $4 - x^2 = x + 2$:

$x^2 + x - 2 = 0 \implies (x+2)(x-1) = 0$

Корни: $x_1 = -2$, $x_2 = 1$. Это наши пределы интегрирования $a=-2$ и $b=1$.

На интервале $(-2, 1)$ график $y = 4 - x^2$ лежит выше графика $y = x + 2$.

Объем тела вращения ищется по формуле (метод шайб):

$V = \pi \int_{a}^{b} ([R(x)]^2 - [r(x)]^2) \,dx$

Здесь внешний радиус $R(x) = 4 - x^2$ и внутренний радиус $r(x) = x + 2$.

$V = \pi \int_{-2}^{1} \left( (4-x^2)^2 - (x+2)^2 \right) \,dx$

Упростим подынтегральное выражение:

$(4-x^2)^2 - (x+2)^2 = (16 - 8x^2 + x^4) - (x^2 + 4x + 4) = x^4 - 9x^2 - 4x + 12$

Теперь вычисляем интеграл:

$V = \pi \int_{-2}^{1} (x^4 - 9x^2 - 4x + 12) \,dx = \pi \left[ \frac{x^5}{5} - 3x^3 - 2x^2 + 12x \right]_{-2}^{1}$

Подставляем пределы:

$V = \pi \left( \left(\frac{1^5}{5} - 3(1)^3 - 2(1)^2 + 12(1)\right) - \left(\frac{(-2)^5}{5} - 3(-2)^3 - 2(-2)^2 + 12(-2)\right) \right)$

$V = \pi \left( \left(\frac{1}{5} - 3 - 2 + 12\right) - \left(\frac{-32}{5} + 24 - 8 - 24\right) \right)$

$V = \pi \left( \left(\frac{1}{5} + 7\right) - \left(-\frac{32}{5} - 8\right) \right) = \pi \left( \frac{36}{5} - \left(-\frac{72}{5}\right) \right)$

$V = \pi \left( \frac{36}{5} + \frac{72}{5} \right) = \pi \cdot \frac{108}{5} = \frac{108\pi}{5}$

Ответ: $V = \frac{108\pi}{5}$

25. Решите уравнение:

1) $(x + 1)^{x^2 - x} = (x + 1)^2$;

2) $(x - 1)^{x^2 + x} = (x - 1)^6$;

3) $|x - 3|^{3 - x} = |3 - x|^2$;

4) $\log_{x+2}(3x^2 - 12) = 2$;

5) $\log_{5-x^2}(2x^2 - 8x - 2) = 1 + \log_{5-x^2}2$;

6) $\log_{\frac{x-3}{x+1}}2 = 1$.

1) $(x + 1)^{x^2 - x} = (x + 1)^2$

Данное показательное уравнение вида $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ решается рассмотрением нескольких случаев.

1. Основание степени равно 1.

$x + 1 = 1 \implies x = 0$.

Проверка: $(0+1)^{0^2-0} = (0+1)^2 \implies 1^0 = 1^2 \implies 1=1$. Корень $x=0$ подходит.

2. Основание степени равно -1, при этом показатели степени являются целыми числами одинаковой четности.

$x + 1 = -1 \implies x = -2$.

Проверим показатели степеней при $x=-2$:

Первый показатель: $x^2 - x = (-2)^2 - (-2) = 4 + 2 = 6$.

Второй показатель: $2$.

Оба показателя (6 и 2) — четные целые числа.

Проверка: $(-1)^6 = (-1)^2 \implies 1=1$. Корень $x=-2$ подходит.

3. Основание степени равно 0, при этом показатели степени — положительные числа.

$x + 1 = 0 \implies x = -1$.

Проверим показатели степеней при $x=-1$:

Первый показатель: $x^2 - x = (-1)^2 - (-1) = 1 + 1 = 2$.

Второй показатель: $2$.

Оба показателя положительны.

Проверка: $0^2 = 0^2 \implies 0=0$. Корень $x=-1$ подходит.

4. Показатели степеней равны, а основание не равно 0, 1 или -1.

$x^2 - x = 2 \implies x^2 - x - 2 = 0$.

По теореме Виета, корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Корень $x_2=-1$ уже был рассмотрен в пункте 3.

Для корня $x_1=2$ основание $x+1 = 2+1 = 3$. Так как основание не равно 0, 1, -1, этот корень является решением.

Проверка: $(2+1)^{2^2-2} = (2+1)^2 \implies 3^2 = 3^2 \implies 9=9$. Корень $x=2$ подходит.

Объединяя все найденные решения, получаем:

Ответ: $\{-2; -1; 0; 2\}$

2) $(x - 1)^{x^2 + x} = (x - 1)^6$

Решаем аналогично предыдущему уравнению.

1. Основание степени равно 1.

$x - 1 = 1 \implies x = 2$.

Проверка: $1^{2^2+2} = 1^6 \implies 1^6 = 1^6 \implies 1=1$. Корень $x=2$ подходит.

2. Основание степени равно -1, при этом показатели степени являются целыми числами одинаковой четности.

$x - 1 = -1 \implies x = 0$.

Проверим показатели степеней при $x=0$:

Первый показатель: $x^2 + x = 0^2 + 0 = 0$.

Второй показатель: $6$.

Оба показателя (0 и 6) — четные целые числа.

Проверка: $(-1)^0 = (-1)^6 \implies 1=1$. Корень $x=0$ подходит.

3. Основание степени равно 0, при этом показатели степени — положительные числа.

$x - 1 = 0 \implies x = 1$.

Проверим показатели степеней при $x=1$:

Первый показатель: $x^2 + x = 1^2 + 1 = 2$.

Второй показатель: $6$.

Оба показателя положительны.

Проверка: $0^2 = 0^6 \implies 0=0$. Корень $x=1$ подходит.

4. Показатели степеней равны, а основание не равно 0, 1 или -1.

$x^2 + x = 6 \implies x^2 + x - 6 = 0$.

По теореме Виета, корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.

Корень $x_1=2$ уже был рассмотрен в пункте 1.

Для корня $x_2=-3$ основание $x-1 = -3-1 = -4$.

Проверка: $(-4)^{(-3)^2+(-3)} = (-4)^6 \implies (-4)^6 = (-4)^6$. Равенство верное. Корень $x=-3$ подходит.

Объединяя все найденные решения, получаем:

Ответ: $\{-3; 0; 1; 2\}$

3) $|x - 3|^{3x - x^2} = |3 - x|^2$

Поскольку $|x - 3| = |3 - x|$, мы можем переписать уравнение, обозначив $a = |x-3|$.

$a^{3x - x^2} = a^2$.

Так как основание $a = |x-3| \ge 0$, рассмотрим следующие случаи:

1. Основание $a=0$.

$|x-3| = 0 \implies x=3$.

При $x=3$ левая часть уравнения принимает вид $|3-3|^{3(3)-3^2} = 0^0$. Выражение $0^0$ не определено, поэтому $x=3$ не является корнем.

2. Основание $a=1$.

$|x-3| = 1$.

Это дает два уравнения: $x-3 = 1$ или $x-3 = -1$.

$x = 4$ или $x = 2$.

Если основание равно 1, то равенство $1^A = 1^B$ всегда верно, поэтому оба значения являются корнями.

3. Основание $a>0$ и $a \neq 1$, тогда показатели степеней должны быть равны.

$3x - x^2 = 2 \implies x^2 - 3x + 2 = 0$.

По теореме Виета, корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Корень $x_2=2$ уже был найден в пункте 2.

Проверим корень $x_1=1$: основание $|1-3|=2$. Оно не равно 0 или 1. Равенство показателей делает уравнение верным: $2^{3(1)-1^2} = 2^2 \implies 2^2=2^2$. Корень $x=1$ подходит.

Объединяя все найденные решения, получаем:

Ответ: $\{1; 2; 4\}$

4) $\log_{x+2}(3x^2 - 12) = 2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

1. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $3x^2 - 12 > 0 \implies x^2 > 4 \implies x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.

2. Основание логарифма должно быть строго больше нуля и не равно единице:

$x+2 > 0 \implies x > -2$.

$x+2 \neq 1 \implies x \neq -1$.

Пересекая все условия, получаем ОДЗ: $x \in (2, \infty)$.

По определению логарифма $\log_b a = c \iff a = b^c$:

$3x^2 - 12 = (x+2)^2$

$3x^2 - 12 = x^2 + 4x + 4$

$2x^2 - 4x - 16 = 0$

$x^2 - 2x - 8 = 0$

По теореме Виета, корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.

Проверяем корни по ОДЗ:

$x_1 = 4$ принадлежит интервалу $(2, \infty)$, значит, это корень.

$x_2 = -2$ не принадлежит интервалу $(2, \infty)$, значит, это посторонний корень.

Ответ: $\{4\}$

5) $\log_{5-x^2}(2x^2 - 8x - 2) = 1 + \log_{5-x^2}2$

Найдем ОДЗ:

1. Основание: $5-x^2 > 0 \implies x^2 < 5 \implies -\sqrt{5} < x < \sqrt{5}$.

2. Основание: $5-x^2 \neq 1 \implies x^2 \neq 4 \implies x \neq 2$ и $x \neq -2$.

3. Аргумент: $2x^2 - 8x - 2 > 0 \implies x^2 - 4x - 1 > 0$. Корни уравнения $x^2 - 4x - 1 = 0$ равны $x = 2 \pm \sqrt{5}$. Значит, $x \in (-\infty, 2-\sqrt{5}) \cup (2+\sqrt{5}, \infty)$.

Объединяем условия: $x \in (-\sqrt{5}, \sqrt{5})$, $x \neq \pm 2$, и $x \in (-\infty, 2-\sqrt{5}) \cup (2+\sqrt{5}, \infty)$.

Так как $2+\sqrt{5} > \sqrt{5}$, правый интервал не подходит.

ОДЗ: $x \in (-\sqrt{5}, 2-\sqrt{5})$ и $x \neq -2$. Итоговое ОДЗ: $x \in (-\sqrt{5}, -2) \cup (-2, 2-\sqrt{5})$.

Теперь решаем уравнение:

$\log_{5-x^2}(2x^2 - 8x - 2) - \log_{5-x^2}2 = 1$

$\log_{5-x^2}\left(\frac{2x^2 - 8x - 2}{2}\right) = 1$

$\log_{5-x^2}(x^2 - 4x - 1) = 1$

По определению логарифма:

$x^2 - 4x - 1 = 5-x^2$

$2x^2 - 4x - 6 = 0$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

По теореме Виета, корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Проверяем корни по ОДЗ:

$x_1 = 3$ не входит в ОДЗ.

$x_2 = -1$. Так как $-\sqrt{5} \approx -2.236$ и $2-\sqrt{5} \approx -0.236$, то $-1$ принадлежит интервалу $(-2, 2-\sqrt{5})$. Этот корень подходит.

Ответ: $\{-1\}$

6) $\log_{\frac{x-3}{x+1}}2 = 1$

Найдем ОДЗ. Основание логарифма должно быть положительным и не равным 1.

1. $\frac{x-3}{x+1} > 0$. Методом интервалов получаем $x \in (-\infty, -1) \cup (3, \infty)$.

2. $\frac{x-3}{x+1} \neq 1 \implies x-3 \neq x+1 \implies -3 \neq 1$. Это верно для любого $x$, поэтому дополнительных ограничений нет.

ОДЗ: $x \in (-\infty, -1) \cup (3, \infty)$.

По определению логарифма, основание в степени 1 равно аргументу:

$\frac{x-3}{x+1} = 2$

$x-3 = 2(x+1)$

$x-3 = 2x+2$

$-x = 5 \implies x = -5$.

Проверяем корень по ОДЗ: $-5 \in (-\infty, -1)$, следовательно, корень подходит.

Ответ: $\{-5\}$

26. Решите неравенство:

1) $x^{4x^2} < x, x > 0;$

2) $|x + 5|^{x^2 - 4x + 3} > 1;$

3) $\log_{2x - 3} x > 1;$

4) $\log_{x^2} (3x + 4) > 1.$

1) $x^{4x^2} < x, x > 0$

Это показательно-степенное неравенство. По условию $x > 0$. Представим правую часть как $x^1$. Неравенство примет вид $x^{4x^2} < x^1$. Решение зависит от значения основания $x$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: Основание $x$ находится в интервале $(0, 1)$.

В этом случае показательная функция является убывающей, поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$4x^2 > 1$

$x^2 > \frac{1}{4}$

$|x| > \frac{1}{2}$, что равносильно $x > \frac{1}{2}$ или $x < -\frac{1}{2}$.

Учитывая условие $0 < x < 1$, получаем решение для этого случая: $x \in (\frac{1}{2}, 1)$.

Случай 2: Основание $x$ больше 1.

В этом случае показательная функция является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется:

$4x^2 < 1$

$x^2 < \frac{1}{4}$

$|x| < \frac{1}{2}$, что равносильно $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$.

Учитывая условие $x > 1$, пересечение с полученным интервалом $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ является пустым множеством. Решений в этом случае нет.

Случай 3: Основание $x$ равно 1.

Подставив $x=1$ в исходное неравенство, получаем $1^{4 \cdot 1^2} < 1$, то есть $1 < 1$, что является ложным утверждением. Следовательно, $x=1$ не является решением.

Объединяя результаты всех случаев, получаем окончательное решение.

Ответ: $(\frac{1}{2}, 1)$.

2) $|x+5|^{x^2-4x+3} > 1$

Это показательно-степенное неравенство. Представим 1 как $|x+5|^0$. Неравенство примет вид $|x+5|^{x^2-4x+3} > |x+5|^0$.

Область определения: основание степени не может быть равно нулю, т.е. $|x+5| \neq 0$, откуда $x \neq -5$.

Рассмотрим два случая в зависимости от основания $|x+5|$.

Случай 1: Основание больше 1, т.е. $|x+5| > 1$.

Это равносильно совокупности $x+5 > 1$ или $x+5 < -1$, что дает $x > -4$ или $x < -6$. Таким образом, $x \in (-\infty, -6) \cup (-4, \infty)$.

В этом случае знак неравенства для показателей сохраняется:

$x^2 - 4x + 3 > 0$

Корнями квадратного трехчлена являются $x=1$ и $x=3$. Так как парабола направлена ветвями вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$.

Находим пересечение множеств $(-\infty, -6) \cup (-4, \infty)$ и $(-\infty, 1) \cup (3, \infty)$: $(-\infty, -6) \cup (-4, 1) \cup (3, \infty)$.

Случай 2: Основание находится в интервале $(0, 1)$, т.е. $0 < |x+5| < 1$.

Это равносильно $-1 < x+5 < 1$ и $x \neq -5$, что дает $-6 < x < -4$.

В этом случае знак неравенства для показателей меняется на противоположный:

$x^2 - 4x + 3 < 0$

Это неравенство выполняется при $x \in (1, 3)$.

Пересечение множеств $(-6, -4)$ и $(1, 3)$ является пустым множеством. Решений в этом случае нет.

Случай 3: Основание $|x+5|$ равно 1.

Это происходит при $x=-4$ или $x=-6$. Неравенство принимает вид $1 > 1$, что ложно. Эти значения не являются решениями.

Объединяя результаты, получаем окончательное решение.

Ответ: $(-\infty, -6) \cup (-4, 1) \cup (3, \infty)$.

3) $\log_{2x-3} x > 1$

Это логарифмическое неравенство с переменным основанием. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

1. Аргумент логарифма должен быть положителен: $x > 0$.

2. Основание логарифма должно быть положительно: $2x-3 > 0 \implies x > 1.5$.

3. Основание логарифма не должно быть равно единице: $2x-3 \neq 1 \implies x \neq 2$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (1.5, 2) \cup (2, \infty)$.

Представим правую часть неравенства в виде логарифма с тем же основанием: $1 = \log_{2x-3}(2x-3)$.

Неравенство принимает вид: $\log_{2x-3} x > \log_{2x-3}(2x-3)$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Основание больше 1, т.е. $2x-3 > 1 \implies x > 2$.

В этом случае логарифмическая функция возрастающая, и знак неравенства для аргументов сохраняется:

$x > 2x-3 \implies 3 > x \implies x < 3$.

Находим пересечение условий $x > 2$ и $x < 3$: $x \in (2, 3)$. Этот интервал удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2: Основание находится в интервале $(0, 1)$, т.е. $0 < 2x-3 < 1 \implies 1.5 < x < 2$.

В этом случае логарифмическая функция убывающая, и знак неравенства для аргументов меняется на противоположный:

$x < 2x-3 \implies 3 < x \implies x > 3$.

Пересечение условий $1.5 < x < 2$ и $x > 3$ является пустым множеством.

Объединяя решения, получаем итоговый ответ.

Ответ: $(2, 3)$.

4) $\log_{x^2} (3x+4) > 1$

Логарифмическое неравенство с переменным основанием. Найдем ОДЗ:

1. Аргумент логарифма: $3x+4 > 0 \implies x > -4/3$.

2. Основание логарифма: $x^2 > 0 \implies x \neq 0$.

3. Основание логарифма: $x^2 \neq 1 \implies x \neq 1$ и $x \neq -1$.

ОДЗ: $x \in (-4/3, -1) \cup (-1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$.

Представим 1 как $\log_{x^2}(x^2)$. Неравенство: $\log_{x^2} (3x+4) > \log_{x^2}(x^2)$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Основание больше 1, т.е. $x^2 > 1 \implies x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

Знак неравенства для аргументов сохраняется:

$3x+4 > x^2 \implies x^2 - 3x - 4 < 0$.

Корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$ равны $x_1 = -1, x_2 = 4$. Решение неравенства: $x \in (-1, 4)$.

Находим пересечение $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$ и $x \in (-1, 4)$. Получаем $x \in (1, 4)$. Это решение удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2: Основание между 0 и 1, т.е. $0 < x^2 < 1 \implies x \in (-1, 0) \cup (0, 1)$.

Знак неравенства для аргументов меняется на противоположный:

$3x+4 < x^2 \implies x^2 - 3x - 4 > 0$.

Решение этого неравенства: $x \in (-\infty, -1) \cup (4, \infty)$.

Пересечение множеств $x \in (-1, 0) \cup (0, 1)$ и $x \in (-\infty, -1) \cup (4, \infty)$ пусто.

Объединяя результаты, получаем итоговый ответ.

Ответ: $(1, 4)$.

27. Решите неравенство:

1) $\sqrt{2x - 1} > x - 2;$

2) $\sqrt{x + 1} > x - 1;$

3) $\sqrt{9x - 20} > x;$

4) $\sqrt{14 - x} > 2 - x;$

5) $\sqrt{x^2 - 3x - 10} < 8 - x;$

6) $\sqrt{x^2 - 10x + 24} > x - 4.$

1) Исходное неравенство $\sqrt{2x-1} > x-2$ равносильно совокупности двух систем.

Первая система рассматривает случай, когда правая часть неравенства отрицательна. В этом случае неравенство выполняется для всех $x$ из области определения подкоренного выражения:

$\begin{cases} x-2 < 0 \\ 2x-1 \ge 0 \end{cases}$

$\begin{cases} x < 2 \\ 2x \ge 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 2 \\ x \ge 1/2 \end{cases}$

Решением этой системы является промежуток $x \in [1/2, 2)$.

Вторая система рассматривает случай, когда обе части неравенства неотрицательны, что позволяет возвести их в квадрат:

$\begin{cases} x-2 \ge 0 \\ (\sqrt{2x-1})^2 > (x-2)^2 \end{cases}$

$\begin{cases} x \ge 2 \\ 2x-1 > x^2 - 4x + 4 \end{cases}$

Решим второе неравенство системы:

$x^2 - 6x + 5 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1, x_2 = 5$.

Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство $x^2 - 6x + 5 < 0$ выполняется на интервале $(1, 5)$.

Найдем пересечение этого решения с условием $x \ge 2$:

$x \in (1, 5) \cap [2, \infty) \implies x \in [2, 5)$.

Общее решение исходного неравенства является объединением решений двух систем:

$[1/2, 2) \cup [2, 5) = [1/2, 5)$.

Ответ: $x \in [1/2, 5)$.

2) Неравенство $\sqrt{x+1} > x-1$ равносильно совокупности двух систем.

Система 1:

$\begin{cases} x-1 < 0 \\ x+1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 1 \\ x \ge -1 \end{cases}$

Решением этой системы является промежуток $x \in [-1, 1)$.

Система 2:

$\begin{cases} x-1 \ge 0 \\ x+1 > (x-1)^2 \end{cases}$

$\begin{cases} x \ge 1 \\ x+1 > x^2 - 2x + 1 \end{cases}$

Решим второе неравенство:

$0 > x^2 - 3x \implies x(x-3) < 0$

Корни $x=0, x=3$. Неравенство выполняется на интервале $(0, 3)$.

Найдем пересечение этого решения с условием $x \ge 1$:

$x \in (0, 3) \cap [1, \infty) \implies x \in [1, 3)$.

Объединим решения обеих систем:

$[-1, 1) \cup [1, 3) = [-1, 3)$.

Ответ: $x \in [-1, 3)$.

3) Неравенство $\sqrt{9x-20} > x$ равносильно совокупности двух систем.

Система 1:

$\begin{cases} x < 0 \\ 9x-20 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 0 \\ x \ge 20/9 \end{cases}$

Эта система не имеет решений, так как нет чисел, которые одновременно меньше 0 и больше или равны $20/9$.

Система 2:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ 9x-20 > x^2 \end{cases}$

Решим второе неравенство:

$x^2 - 9x + 20 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 9x + 20 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 4$, $x_2 = 5$.

Неравенство $x^2 - 9x + 20 < 0$ выполняется на интервале $(4, 5)$.

Это решение удовлетворяет условию $x \ge 0$ (а также области определения $x \ge 20/9$).

Так как первая система не имеет решений, решение исходного неравенства совпадает с решением второй системы.

Ответ: $x \in (4, 5)$.

4) Неравенство $\sqrt{14-x} > 2-x$ равносильно совокупности двух систем.

Система 1:

$\begin{cases} 2-x < 0 \\ 14-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x \le 14 \end{cases}$

Решением этой системы является промежуток $x \in (2, 14]$.

Система 2:

$\begin{cases} 2-x \ge 0 \\ 14-x > (2-x)^2 \end{cases}$

$\begin{cases} x \le 2 \\ 14-x > 4 - 4x + x^2 \end{cases}$

Решим второе неравенство:

$x^2 - 3x - 10 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 10 = 0$. Корни $x = \frac{3 \pm \sqrt{9-4(-10)}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2}$, то есть $x_1 = -2, x_2 = 5$.

Неравенство $x^2 - 3x - 10 < 0$ выполняется на интервале $(-2, 5)$.

Найдем пересечение этого решения с условием $x \le 2$:

$x \in (-2, 5) \cap (-\infty, 2] \implies x \in (-2, 2]$.

Объединим решения обеих систем:

$(-2, 2] \cup (2, 14] = (-2, 14]$.

Ответ: $x \in (-2, 14]$.

5) Неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе:

$\begin{cases} g(x) > 0 \\ f(x) \ge 0 \\ f(x) < (g(x))^2 \end{cases}$

Применительно к нашему случаю $\sqrt{x^2 - 3x - 10} < 8 - x$:

$\begin{cases} 8-x > 0 \\ x^2 - 3x - 10 \ge 0 \\ x^2 - 3x - 10 < (8-x)^2 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1) $8-x > 0 \implies x < 8$.

2) $x^2 - 3x - 10 \ge 0$. Корни уравнения $x^2 - 3x - 10 = 0$ это $x_1=-2, x_2=5$. Решение неравенства: $x \in (-\infty, -2] \cup [5, \infty)$.

3) $x^2 - 3x - 10 < 64 - 16x + x^2 \implies -3x - 10 < 64 - 16x \implies 13x < 74 \implies x < 74/13$.

Теперь найдем пересечение всех трех решений:

$\begin{cases} x < 8 \\ x \in (-\infty, -2] \cup [5, \infty) \\ x < 74/13 \end{cases}$

Так как $74/13 \approx 5.69$, то условие $x < 74/13$ является более строгим, чем $x < 8$.

Ищем пересечение $x \in (-\infty, 74/13)$ и $x \in (-\infty, -2] \cup [5, \infty)$.

Пересечение с $(-\infty, -2]$ дает $(-\infty, -2]$.

Пересечение с $[5, \infty)$ дает $[5, 74/13)$.

Объединяя эти два результата, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup [5, 74/13)$.

6) Неравенство $\sqrt{x^2-10x+24} > x-4$ равносильно совокупности двух систем.

Сначала найдем область определения: $x^2-10x+24 \ge 0$. Корни уравнения $x^2-10x+24 = 0$ это $x_1=4, x_2=6$. Значит, область определения $x \in (-\infty, 4] \cup [6, \infty)$.

Система 1:

$\begin{cases} x-4 < 0 \\ x^2-10x+24 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 4 \\ x \in (-\infty, 4] \cup [6, \infty) \end{cases}$

Пересечением этих условий является интервал $x \in (-\infty, 4)$.

Система 2:

$\begin{cases} x-4 \ge 0 \\ x^2-10x+24 > (x-4)^2 \end{cases}$

$\begin{cases} x \ge 4 \\ x^2-10x+24 > x^2-8x+16 \end{cases}$

Решим второе неравенство:

$-10x + 24 > -8x + 16 \implies 8 > 2x \implies x < 4$.

Найдем пересечение решений системы 2:

$\begin{cases} x \ge 4 \\ x < 4 \end{cases}$

Эта система не имеет решений ($\emptyset$).

Общее решение исходного неравенства является объединением решений двух систем: $(-\infty, 4) \cup \emptyset = (-\infty, 4)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 4)$.

28. 1) Найдите наименьшее целое решение неравенства $ \frac{x - 3}{2} > \frac{(\sqrt{x} - 5)^2}{x - 6} $.

2) Найдите наибольшее целое решение неравенства $ \frac{6 - x}{\sqrt{x^2 - 8x + 7}} > 0 $.

3) Решите неравенство $ (x^2 + 2x - 8) \cdot \sqrt{x^2 + x - 2} < 0 $.

4) Решите неравенство $ 5^{0.5\log_{\frac{2}{5}} x} > 5 \cdot x^{0.25\log_5 x} $.

1) Найдите наименьшее целое решение неравенства $\frac{x-3}{2} > \frac{(\sqrt{x}-5)^2}{x-6}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Из-за наличия квадратного корня $\sqrt{x}$, должно выполняться условие $x \ge 0$. Знаменатель дроби в правой части не должен быть равен нулю, поэтому $x-6 \ne 0$, то есть $x \ne 6$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [0; 6) \cup (6; +\infty)$.

Перенесем все члены неравенства в одну сторону:

$\frac{x-3}{2} - \frac{(\sqrt{x}-5)^2}{x-6} > 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{(x-3)(x-6) - 2(\sqrt{x}-5)^2}{2(x-6)} > 0$

Раскроем скобки в числителе:

$(x-3)(x-6) = x^2 - 6x - 3x + 18 = x^2 - 9x + 18$.

$2(\sqrt{x}-5)^2 = 2(x - 10\sqrt{x} + 25) = 2x - 20\sqrt{x} + 50$.

Числитель примет вид:

$(x^2 - 9x + 18) - (2x - 20\sqrt{x} + 50) = x^2 - 11x - 32 + 20\sqrt{x}$.

Неравенство стало таким:

$\frac{x^2 - 11x - 32 + 20\sqrt{x}}{2(x-6)} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Рассмотрим знаки числителя и знаменателя на интервалах ОДЗ.

Рассмотрим интервал $[0; 6)$. На этом интервале знаменатель $2(x-6)$ отрицателен. Чтобы вся дробь была положительной, числитель $N(x) = x^2 - 11x - 32 + 20\sqrt{x}$ также должен быть отрицательным.

Проверим знак числителя на этом интервале. Возьмем любую точку из интервала, например, $x=0$:

$N(0) = 0^2 - 11(0) - 32 + 20\sqrt{0} = -32 < 0$.

Так как на интервале $[0; 6)$ числитель и знаменатель отрицательны, их частное положительно. Следовательно, весь интервал $[0; 6)$ является решением неравенства.

Нас просят найти наименьшее целое решение. Целые числа, входящие в промежуток $[0; 6)$, это 0, 1, 2, 3, 4, 5. Наименьшее из них — 0.

Проверим подстановкой $x=0$ в исходное неравенство:

$\frac{0-3}{2} > \frac{(\sqrt{0}-5)^2}{0-6}$

$-\frac{3}{2} > \frac{(-5)^2}{-6}$

$-1.5 > \frac{25}{-6}$

$-1.5 > -4.166...$

Неравенство верное. Значит, 0 является решением.

Ответ: 0.

2) Найдите наибольшее целое решение неравенства $\frac{6-x}{\sqrt{x^2-8x+7}} > 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля:

$x^2-8x+7 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2-8x+7=0$. По теореме Виета, корни $x_1=1$ и $x_2=7$.

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty; 1) \cup (7; +\infty)$. Это и есть ОДЗ.

На всей области допустимых значений знаменатель $\sqrt{x^2-8x+7}$ всегда положителен. Следовательно, знак дроби зависит только от знака числителя. Неравенство равносильно следующему:

$6-x > 0$

$x < 6$

Теперь найдем пересечение полученного решения $x < 6$ с ОДЗ: $x \in (-\infty; 1) \cup (7; +\infty)$.

Пересечением является интервал $(-\infty; 1)$.

Нам нужно найти наибольшее целое решение. Целые числа на интервале $(-\infty; 1)$ — это $...-3, -2, -1, 0$. Наибольшее из них — 0.

Ответ: 0.

3) Решите неравенство $(x^2+2x-8) \cdot \sqrt{x^2+x-2} < 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным:

$x^2+x-2 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2+x-2=0$. По теореме Виета, корни $x_1=-2$ и $x_2=1$.

Это парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -2] \cup [1; +\infty)$.

Теперь решим само неравенство. Произведение двух множителей отрицательно. Множитель $\sqrt{x^2+x-2}$ всегда неотрицателен ($\ge 0$). Чтобы произведение было строго меньше нуля, необходимо одновременное выполнение двух условий:

1. Первый множитель должен быть отрицательным: $x^2+2x-8 < 0$.

2. Второй множитель не должен быть равен нулю: $\sqrt{x^2+x-2} \ne 0$, что равносильно $x^2+x-2 \ne 0$.

Решим первое неравенство: $x^2+2x-8 < 0$.

Корни уравнения $x^2+2x-8=0$: $x_1=-4$ и $x_2=2$.

Это парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $x \in (-4; 2)$.

Второе условие $x^2+x-2 \ne 0$ означает, что $x \ne -2$ и $x \ne 1$.

Теперь объединим все условия: ОДЗ, решение первого неравенства и второе условие.

Нужно найти пересечение множеств $x \in (-\infty; -2] \cup [1; +\infty)$ и $x \in (-4; 2)$, исключив точки -2 и 1.

Пересечение $(-\infty; -2] \cup [1; +\infty)$ с $(-4; 2)$ дает $(-4; -2] \cup [1; 2)$.

Так как точки -2 и 1 должны быть исключены, итоговое решение: $x \in (-4; -2) \cup (1; 2)$.

Ответ: $x \in (-4; -2) \cup (1; 2)$.

4) Решите неравенство $5^{0.5\log_5^2 x} > 5 \cdot x^{0.25\log_5 x}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть положителен: $x > 0$.

Прологарифмируем обе части неравенства по основанию 5. Так как основание $5 > 1$, знак неравенства не изменится:

$\log_5(5^{0.5\log_5^2 x}) > \log_5(5 \cdot x^{0.25\log_5 x})$

Используем свойства логарифмов $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b$ и $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$:

Левая часть: $0.5\log_5^2 x \cdot \log_5 5 = 0.5\log_5^2 x$.

Правая часть: $\log_5 5 + \log_5(x^{0.25\log_5 x}) = 1 + (0.25\log_5 x) \cdot (\log_5 x) = 1 + 0.25\log_5^2 x$.

Получаем неравенство:

$0.5\log_5^2 x > 1 + 0.25\log_5^2 x$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_5 x$.

$0.5t^2 > 1 + 0.25t^2$

$0.5t^2 - 0.25t^2 > 1$

$0.25t^2 > 1$

$t^2 > 4$

Решением этого неравенства является $t < -2$ или $t > 2$.

Вернемся к исходной переменной:

1) $\log_5 x < -2 \implies x < 5^{-2} \implies x < \frac{1}{25}$.

2) $\log_5 x > 2 \implies x > 5^2 \implies x > 25$.

Учтем ОДЗ ($x>0$). Объединяя решения с ОДЗ, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x \in (0; \frac{1}{25}) \cup (25; +\infty)$.

29. Решите неравенство $f'(x) > 0$:

1) $f(x) = \frac{1}{3}\cos3x + \sin x;$

2) $f(x) = 2\sin\frac{1}{2}x - \sqrt{3}x;$

3) $f(x) = 3\cos^2x + 2\sin^2x - x;$

4) $f(x) = \sin^23x - \frac{1}{12}\cos6x + x;$

5) $f(x) = \arccos3x + 2x + 3;$

6) $f(x) = \operatorname{arctg}2x + 2x - 1.$

1) Дана функция $f(x) = \frac{1}{3}\cos(3x) + \sin(x)$.

Сначала найдем ее производную:

$f'(x) = \left(\frac{1}{3}\cos(3x) + \sin(x)\right)' = \frac{1}{3}(-\sin(3x)) \cdot (3x)' + \cos(x) = -\sin(3x) + \cos(x)$.

Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$:

$\cos(x) - \sin(3x) > 0$

$\cos(x) > \sin(3x)$.

Используем тождество $\cos(x) = \sin(\frac{\pi}{2}-x)$:

$\sin(\frac{\pi}{2}-x) > \sin(3x)$.

Для решения этого неравенства найдем корни уравнения $\sin(\frac{\pi}{2}-x) = \sin(3x)$, которые являются граничными точками интервалов. Решениями являются $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$ и $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Проанализировав знак выражения $\cos(x) - \sin(3x)$ на интервалах между этими корнями (методом интервалов), получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left( \left(-\frac{3\pi}{8} + 2\pi k, \frac{\pi}{8} + 2\pi k\right) \cup \left(\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{5\pi}{8} + 2\pi k\right) \cup \left(\frac{9\pi}{8} + 2\pi k, \frac{5\pi}{4} + 2\pi k\right) \right)$.

2) Дана функция $f(x) = 2\sin\frac{1}{2}x - \sqrt{3}x$.

Найдем ее производную:

$f'(x) = \left(2\sin\frac{1}{2}x - \sqrt{3}x\right)' = 2\cos\frac{1}{2}x \cdot \left(\frac{1}{2}x\right)' - \sqrt{3} = 2\cos\frac{1}{2}x \cdot \frac{1}{2} - \sqrt{3} = \cos\frac{1}{2}x - \sqrt{3}$.

Решим неравенство $f'(x) > 0$:

$\cos\frac{1}{2}x - \sqrt{3} > 0$

$\cos\frac{1}{2}x > \sqrt{3}$.

Поскольку область значений функции косинус $[-1, 1]$, а $\sqrt{3} \approx 1.732 > 1$, неравенство не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$ (решений нет).

3) Дана функция $f(x) = 3\cos^2x + 2\sin^2x - x$.

Упростим функцию перед дифференцированием:

$f(x) = \cos^2x + 2\cos^2x + 2\sin^2x - x = \cos^2x + 2(\cos^2x + \sin^2x) - x = \cos^2x + 2 - x$.

Используем формулу понижения степени $\cos^2x = \frac{1+\cos(2x)}{2}$:

$f(x) = \frac{1+\cos(2x)}{2} + 2 - x = \frac{1}{2}\cos(2x) - x + \frac{5}{2}$.

Найдем производную:

$f'(x) = \left(\frac{1}{2}\cos(2x) - x + \frac{5}{2}\right)' = \frac{1}{2}(-\sin(2x)) \cdot 2 - 1 = -\sin(2x) - 1$.

Решим неравенство $f'(x) > 0$:

$-\sin(2x) - 1 > 0$

$-\sin(2x) > 1$

$\sin(2x) < -1$.

Поскольку область значений функции синус $[-1, 1]$, неравенство не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$ (решений нет).

4) Дана функция $f(x) = \sin^2(3x) - \frac{1}{12}\cos(6x) + x$.

Упростим функцию, используя формулу понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1-\cos(2\alpha)}{2}$. При $\alpha=3x$ получаем $2\alpha=6x$:

$f(x) = \frac{1-\cos(6x)}{2} - \frac{1}{12}\cos(6x) + x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(6x) - \frac{1}{12}\cos(6x) + x = \frac{1}{2} - \frac{7}{12}\cos(6x) + x$.

Найдем производную:

$f'(x) = \left(\frac{1}{2} - \frac{7}{12}\cos(6x) + x\right)' = -\frac{7}{12}(-\sin(6x)) \cdot 6 + 1 = \frac{7}{2}\sin(6x) + 1$.

Решим неравенство $f'(x) > 0$:

$\frac{7}{2}\sin(6x) + 1 > 0$

$\sin(6x) > -\frac{2}{7}$.

Общее решение этого тригонометрического неравенства:

$2\pi k + \arcsin(-\frac{2}{7}) < 6x < \pi - \arcsin(-\frac{2}{7}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$2\pi k - \arcsin(\frac{2}{7}) < 6x < \pi + \arcsin(\frac{2}{7}) + 2\pi k$.

Разделив на 6, получаем:

$\frac{\pi k}{3} - \frac{1}{6}\arcsin(\frac{2}{7}) < x < \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3} + \frac{1}{6}\arcsin(\frac{2}{7})$.

Ответ: $x \in \left(\frac{\pi k}{3} - \frac{1}{6}\arcsin\frac{2}{7}, \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3} + \frac{1}{6}\arcsin\frac{2}{7}\right)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

5) Дана функция $f(x) = \arccos(3x) + 2x + 3$.

Область определения функции арккосинус $[-1, 1]$, поэтому $-1 \le 3x \le 1$, что дает $x \in [-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$. Производная определена на интервале $(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$.

Найдем производную:

$f'(x) = (\arccos(3x) + 2x + 3)' = -\frac{1}{\sqrt{1-(3x)^2}} \cdot (3x)' + 2 = -\frac{3}{\sqrt{1-9x^2}} + 2$.

Решим неравенство $f'(x) > 0$ в области определения:

$2 - \frac{3}{\sqrt{1-9x^2}} > 0$

$2 > \frac{3}{\sqrt{1-9x^2}}$.

Так как $\sqrt{1-9x^2} > 0$ в области определения, можно умножить обе части на этот корень:

$2\sqrt{1-9x^2} > 3$.

Возведем в квадрат обе части (они обе положительны):

$4(1-9x^2) > 9$

$4 - 36x^2 > 9$

$-36x^2 > 5$

$x^2 < -\frac{5}{36}$.

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, неравенство не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$ (решений нет).

6) Дана функция $f(x) = \operatorname{arcctg}(2x) + 2x - 1$.

Область определения функции арккотангенс - все действительные числа, поэтому $x \in \mathbb{R}$.

Найдем производную:

$f'(x) = (\operatorname{arcctg}(2x) + 2x - 1)' = -\frac{1}{1+(2x)^2} \cdot (2x)' + 2 = -\frac{2}{1+4x^2} + 2$.

Решим неравенство $f'(x) > 0$:

$2 - \frac{2}{1+4x^2} > 0$

$2 > \frac{2}{1+4x^2}$.

Разделим на 2:

$1 > \frac{1}{1+4x^2}$.

Так как $1+4x^2 > 0$ для всех $x$, умножим обе части на это выражение:

$1+4x^2 > 1$

$4x^2 > 0$

$x^2 > 0$.

Это неравенство верно для всех действительных чисел $x$, кроме $x=0$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, \infty)$.

30. Решите уравнение $f'(x) = a$, если:

1) $f(x) = 3e^{2x+4}$, $a = -\frac{3}{e}$

2) $f(x) = 4 + \frac{1}{3}e^{6x+13}$, $a = -2$

3) $f(x) = 2e^{-7x+9}$, $a = -14$

4) $f(x) = 7 - e^{0.1x+3}$, $a = 0.1$

1) Дана функция $f(x) = 3e^{x-4}$ и значение $a = -\frac{3}{e}$.

Для решения уравнения $f'(x) = a$ сначала необходимо найти производную функции $f(x)$.

Используем правило дифференцирования сложной функции, в частности, для экспоненты: $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$.

$f'(x) = (3e^{x-4})' = 3 \cdot e^{x-4} \cdot (x-4)' = 3e^{x-4} \cdot 1 = 3e^{x-4}$.

Теперь подставим найденную производную в уравнение $f'(x) = a$:

$3e^{x-4} = -\frac{3}{e}$.

Разделим обе части уравнения на 3:

$e^{x-4} = -\frac{1}{e}$.

Показательная функция $y = e^z$ принимает только положительные значения ($e^z > 0$) для любого действительного числа $z$. Правая часть уравнения, $-\frac{1}{e}$, является отрицательным числом. Следовательно, данное уравнение не имеет решений в действительных числах.

Ответ: решений нет.

2) Дана функция $f(x) = 4 + \frac{1}{3}e^{6x+13}$ и значение $a = -2$.

Найдем производную функции $f(x)$. Производная константы (4) равна нулю.

$f'(x) = (4 + \frac{1}{3}e^{6x+13})' = 0 + \frac{1}{3} \cdot e^{6x+13} \cdot (6x+13)' = \frac{1}{3}e^{6x+13} \cdot 6 = 2e^{6x+13}$.

Теперь решим уравнение $f'(x) = a$:

$2e^{6x+13} = -2$.

Разделим обе части уравнения на 2:

$e^{6x+13} = -1$.

Поскольку показательная функция $y = e^z$ всегда положительна для любого действительного $z$, а правая часть уравнения равна -1, уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: решений нет.

3) Дана функция $f(x) = 2e^{-7x+9}$ и значение $a = -14$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (2e^{-7x+9})' = 2 \cdot e^{-7x+9} \cdot (-7x+9)' = 2e^{-7x+9} \cdot (-7) = -14e^{-7x+9}$.

Подставим производную в уравнение $f'(x) = a$:

$-14e^{-7x+9} = -14$.

Разделим обе части уравнения на -14:

$e^{-7x+9} = 1$.

Так как $e^0 = 1$, мы можем приравнять показатели степени:

$-7x+9 = 0$.

Перенесем 9 в правую часть:

$-7x = -9$.

Разделим на -7:

$x = \frac{-9}{-7} = \frac{9}{7}$.

Ответ: $x = \frac{9}{7}$.

4) Дана функция $f(x) = 7 - e^{0.1x-3}$ и значение $a = 0.1$.

Найдем производную функции $f(x)$. Производная константы (7) равна нулю.

$f'(x) = (7 - e^{0.1x-3})' = 0 - e^{0.1x-3} \cdot (0.1x-3)' = -e^{0.1x-3} \cdot (0.1) = -0.1e^{0.1x-3}$.

Теперь решим уравнение $f'(x) = a$:

$-0.1e^{0.1x-3} = 0.1$.

Разделим обе части уравнения на -0.1:

$e^{0.1x-3} = \frac{0.1}{-0.1} = -1$.

Как и в случаях 1 и 2, показательная функция $y=e^z$ не может принимать отрицательные значения. Следовательно, данное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: решений нет.