Страница 219 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1. Найдите значение выражения:

1) $\frac{1}{2\sqrt{30} + 11} - \frac{1}{2\sqrt{30} - 11};$

2) $(\sqrt{15} + \sqrt{45})^2 - 30\sqrt{3};$

3) $\left(\left(\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}\right)^{-1} - \left(\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}\right)\right) \cdot \left((\sqrt{2})^{-1} - (2\sqrt{2})^{-1}\right)^2;$

4) $5^{\log_2 4 - \lg 20 - \lg 5};$

5) $9^{2 - \log_3 4.5 - \log_3 2} + \log_3 243;$

6) $\sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[8]{2} \cdot \ldots \cdot \sqrt[256]{2};$

7) $\log_9 3 + \frac{\log_3 6}{\log_{18} 3} - \frac{\log_3 2}{\log_{54} 3};$

8) $\log_6 5 \cdot \log_5 4 \cdot \log_4 3 \cdot \log_3 2 - \log_6 2.$

1)

Приведем дроби к общему знаменателю, который равен $(2\sqrt{30} + 11)(2\sqrt{30} - 11)$. Для этого используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

$\frac{1}{2\sqrt{30} + 11} - \frac{1}{2\sqrt{30} - 11} = \frac{(2\sqrt{30} - 11) - (2\sqrt{30} + 11)}{(2\sqrt{30} + 11)(2\sqrt{30} - 11)} = \frac{2\sqrt{30} - 11 - 2\sqrt{30} - 11}{(2\sqrt{30})^2 - 11^2}$

Упростим числитель и знаменатель:

Числитель: $2\sqrt{30} - 11 - 2\sqrt{30} - 11 = -22$.

Знаменатель: $(2\sqrt{30})^2 - 11^2 = 4 \cdot 30 - 121 = 120 - 121 = -1$.

Тогда значение выражения равно $\frac{-22}{-1} = 22$.

Ответ: 22.

2)

Сначала упростим $\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$. Затем раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

$(\sqrt{15} + \sqrt{45})^2 - 30\sqrt{3} = (\sqrt{15} + 3\sqrt{5})^2 - 30\sqrt{3}$

Раскрываем квадрат суммы:

$(\sqrt{15})^2 + 2 \cdot \sqrt{15} \cdot \sqrt{45} + (\sqrt{45})^2 - 30\sqrt{3} = 15 + 2\sqrt{15 \cdot 45} + 45 - 30\sqrt{3}$

Упростим выражение:

$60 + 2\sqrt{675} - 30\sqrt{3} = 60 + 2\sqrt{225 \cdot 3} - 30\sqrt{3} = 60 + 2 \cdot 15\sqrt{3} - 30\sqrt{3} = 60 + 30\sqrt{3} - 30\sqrt{3} = 60$.

Ответ: 60.

3)

Рассмотрим выражение по частям. Сначала упростим первую скобку. Используем свойство $a^{-1} = \frac{1}{a}$.

$\left(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\right)^{-1} = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$

Приведем дроби в первой скобке к общему знаменателю $(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 1$.

$\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} - \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} = \frac{(\sqrt{2}-1)^2 - (\sqrt{2}+1)^2}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{(2 - 2\sqrt{2} + 1) - (2 + 2\sqrt{2} + 1)}{1} = (3 - 2\sqrt{2}) - (3 + 2\sqrt{2}) = -4\sqrt{2}$.

Теперь упростим вторую скобку:

$((\sqrt{2})^{-1} - (2\sqrt{2})^{-1})^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{2\sqrt{2}}\right)^2 = \left(\frac{2-1}{2\sqrt{2}}\right)^2 = \left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{8}$.

Перемножим результаты:

$(-4\sqrt{2}) \cdot \frac{1}{8} = -\frac{4\sqrt{2}}{8} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

4)

Упростим показатель степени. Используем свойства логарифмов: $\log_a a^b = b$ и $\log_c a + \log_c b = \log_c (ab)$.

Показатель степени: $\log_2 4 - \lg 20 - \lg 5$.

$\log_2 4 = \log_2 2^2 = 2$.

$-\lg 20 - \lg 5 = -(\lg 20 + \lg 5) = -\lg(20 \cdot 5) = -\lg 100 = -\log_{10} 10^2 = -2$.

Таким образом, показатель степени равен $2 - 2 = 0$.

Исходное выражение равно $5^0 = 1$.

Ответ: 1.

5)

Вычислим значение выражения $9^{2 - \log_3 4.5} - \log_{3^2} 2 + \log_3 243$ по частям.

Первый член: $9^{2 - \log_3 4.5} = \frac{9^2}{9^{\log_3 4.5}} = \frac{81}{(3^2)^{\log_3 4.5}} = \frac{81}{3^{2\log_3 4.5}} = \frac{81}{3^{\log_3 (4.5^2)}} = \frac{81}{4.5^2} = \frac{81}{(9/2)^2} = \frac{81}{81/4} = 4$.

Второй член: $-\log_{3^2} 2 = -\log_9 2$.

Третий член: $\log_3 243 = \log_3 (3^5) = 5$.

Сложим полученные значения: $4 - \log_9 2 + 5 = 9 - \log_9 2$.

Ответ: $9 - \log_9 2$.

6)

Представим корни в виде степеней с рациональными показателями, используя формулу $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$.

$\sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[8]{2} \cdot \dots \cdot \sqrt[256]{2} = 2^{1/2} \cdot 2^{1/4} \cdot 2^{1/8} \cdot \dots \cdot 2^{1/256}$.

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

$2^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots + \frac{1}{256}}$.

Показатель степени является суммой членов геометрической прогрессии, где первый член $b_1 = 1/2$, знаменатель $q = 1/2$, а количество членов $n=8$ (так как $256=2^8$).

Сумма $S_n = b_1 \frac{1-q^n}{1-q} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - (1/2)^8}{1 - 1/2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1/256}{1/2} = 1 - \frac{1}{256} = \frac{255}{256}$.

Таким образом, значение выражения равно $2^{255/256}$.

Ответ: $2^{255/256}$.

7)

Используем формулу перехода к новому основанию для логарифмов $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$.

$\log_3 3 + \frac{\log_3 6}{\log_{18} 3} - \frac{\log_3 2}{\log_{54} 3} = 1 + \log_3 6 \cdot \log_3 18 - \log_3 2 \cdot \log_3 54$.

Разложим числа под логарифмами на множители и воспользуемся свойством $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$:

$\log_3 6 = \log_3(2 \cdot 3) = \log_3 2 + \log_3 3 = \log_3 2 + 1$.

$\log_3 18 = \log_3(2 \cdot 9) = \log_3 2 + \log_3 9 = \log_3 2 + 2$.

$\log_3 54 = \log_3(2 \cdot 27) = \log_3 2 + \log_3 27 = \log_3 2 + 3$.

Пусть $x = \log_3 2$. Подставим в выражение:

$1 + (x+1)(x+2) - x(x+3) = 1 + (x^2 + 3x + 2) - (x^2 + 3x) = 1 + x^2 + 3x + 2 - x^2 - 3x = 3$.

Ответ: 3.

8)

Воспользуемся формулой перехода к новому основанию $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$ для первого члена выражения.

$\log_6 5 \cdot \log_5 4 \cdot \log_4 3 \cdot \log_3 2 = \frac{\ln 5}{\ln 6} \cdot \frac{\ln 4}{\ln 5} \cdot \frac{\ln 3}{\ln 4} \cdot \frac{\ln 2}{\ln 3}$.

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{\ln 5}}{\ln 6} \cdot \frac{\cancel{\ln 4}}{\cancel{\ln 5}} \cdot \frac{\cancel{\ln 3}}{\cancel{\ln 4}} \cdot \frac{\ln 2}{\cancel{\ln 3}} = \frac{\ln 2}{\ln 6} = \log_6 2$.

Подставим полученное значение в исходное выражение:

$\log_6 2 - \log_6 2 = 0$.

Ответ: 0.

2. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = x^3 - 2\sqrt{x}$, $x_0 = 1$;

2) $f(x) = (2x - 1)^2 - 4\sqrt{x^5}$, $x_0 = 1$;

3) $f(x) = 3x^{\frac{7}{3}} - 5\sqrt[5]{x^2} + 2x$, $x_0 = 1$;

4) $f(x) = (3x + 4) \cdot e^{2x}$, $x_0 = -1$.

1) Дана функция $f(x) = x^3 - 2\sqrt{x}$ и точка $x_0 = 1$.

Сначала найдем производную функции $f'(x)$. Для этого представим $\sqrt{x}$ в виде степени $x^{1/2}$: $f(x) = x^3 - 2x^{1/2}$.

Используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило вычитания:

$f'(x) = (x^3)' - (2x^{1/2})' = 3x^{3-1} - 2 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} = 3x^2 - x^{-1/2} = 3x^2 - \frac{1}{\sqrt{x}}$.

Теперь подставим значение $x_0 = 1$ в выражение для производной:

$f'(1) = 3(1)^2 - \frac{1}{\sqrt{1}} = 3 \cdot 1 - 1 = 2$.

Ответ: 2

2) Дана функция $f(x) = (2x - 1)^2 - 4\sqrt[7]{x^5}$ и точка $x_0 = 1$.

Перепишем функцию, представив корень в виде степени: $f(x) = (2x - 1)^2 - 4x^{5/7}$.

Найдем производную. Для первого слагаемого $(2x - 1)^2$ используем правило дифференцирования сложной функции: $((g(x))^n)' = n \cdot (g(x))^{n-1} \cdot g'(x)$. Для второго слагаемого — правило для степенной функции.

$f'(x) = 2(2x - 1)^{2-1} \cdot (2x - 1)' - 4 \cdot \frac{5}{7}x^{5/7 - 1} = 2(2x - 1) \cdot 2 - \frac{20}{7}x^{-2/7} = 4(2x - 1) - \frac{20}{7}x^{-2/7} = 8x - 4 - \frac{20}{7\sqrt[7]{x^2}}$.

Подставим значение $x_0 = 1$ в производную:

$f'(1) = 8(1) - 4 - \frac{20}{7 \cdot \sqrt[7]{1^2}} = 8 - 4 - \frac{20}{7} = 4 - \frac{20}{7} = \frac{28}{7} - \frac{20}{7} = \frac{8}{7}$.

Ответ: $\frac{8}{7}$

3) Дана функция $f(x) = 3x^{7/3} - 5\sqrt[5]{x^2} + 2x$ и точка $x_0 = 1$.

Сначала перепишем корень в виде степени: $f(x) = 3x^{7/3} - 5x^{2/5} + 2x$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования степенной функции $(ax^n)' = a \cdot n \cdot x^{n-1}$ для каждого слагаемого:

$f'(x) = (3x^{7/3})' - (5x^{2/5})' + (2x)' = 3 \cdot \frac{7}{3}x^{7/3 - 1} - 5 \cdot \frac{2}{5}x^{2/5 - 1} + 2 = 7x^{4/3} - 2x^{-3/5} + 2$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:

$f'(1) = 7(1)^{4/3} - 2(1)^{-3/5} + 2 = 7 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + 2 = 7$.

Ответ: 7

4) Дана функция $f(x) = (3x + 4) \cdot e^{2x}$ и точка $x_0 = -1$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$, где $u(x) = 3x + 4$ и $v(x) = e^{2x}$.

Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$:

$u'(x) = (3x + 4)' = 3$.

$v'(x) = (e^{2x})' = e^{2x} \cdot (2x)' = 2e^{2x}$ (по правилу дифференцирования сложной функции).

Теперь применим правило произведения:

$f'(x) = u'v + uv' = 3 \cdot e^{2x} + (3x + 4) \cdot 2e^{2x}$.

Вынесем общий множитель $e^{2x}$ за скобки для упрощения: $f'(x) = e^{2x}(3 + 2(3x + 4)) = e^{2x}(3 + 6x + 8) = (6x + 11)e^{2x}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$:

$f'(-1) = (6(-1) + 11)e^{2(-1)} = (-6 + 11)e^{-2} = 5e^{-2} = \frac{5}{e^2}$.

Ответ: $\frac{5}{e^2}$

3. Найдите значение углового коэффициента касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$:

1) $y = e^{2x}, x_0 = 2;$

2) $y = \frac{x}{x+1} - \sqrt{6-x}, x_0 = -1;$

3) $y = \ln \frac{x}{x+1}, x_0 = 3;$

4) $y = e^{2x^2-x}, x_0 = 1.$

1) Угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$. Дана функция $y = e^{2x}$ и точка $x_0 = 2$. Найдем производную функции. Это сложная функция, поэтому используем правило дифференцирования сложной функции $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$.$y' = (e^{2x})' = e^{2x} \cdot (2x)' = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x}$.Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$:$k = y'(2) = 2e^{2 \cdot 2} = 2e^4$.

Ответ: $2e^4$.

2) Дана функция $y = \frac{x}{x+1} - \sqrt{6-x}$ и точка $x_0 = -3$. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования разности, правило частного и правило для сложной функции:$y' = (\frac{x}{x+1})' - (\sqrt{6-x})'$.Производная первого слагаемого по правилу частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:$(\frac{x}{x+1})' = \frac{(x)'(x+1) - x(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{x+1-x}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}$.Производная второго слагаемого по правилу для сложной функции $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$:$(\sqrt{6-x})' = \frac{(6-x)'}{2\sqrt{6-x}} = \frac{-1}{2\sqrt{6-x}}$.Тогда производная всей функции:$y' = \frac{1}{(x+1)^2} - (-\frac{1}{2\sqrt{6-x}}) = \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{1}{2\sqrt{6-x}}$.Вычислим значение производной в точке $x_0 = -3$:$k = y'(-3) = \frac{1}{(-3+1)^2} + \frac{1}{2\sqrt{6-(-3)}} = \frac{1}{(-2)^2} + \frac{1}{2\sqrt{9}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{6}$.Приведем дроби к общему знаменателю 12:$k = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}$.

Ответ: $\frac{5}{12}$.

3) Дана функция $y = \ln\frac{x}{x+1}$ и точка $x_0 = 3$. Сначала упростим функцию, используя свойство логарифма: $\ln(\frac{a}{b}) = \ln a - \ln b$.$y = \ln x - \ln(x+1)$.Теперь найдем производную функции:$y' = (\ln x)' - (\ln(x+1))' = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$.Вычислим значение производной в точке $x_0 = 3$:$k = y'(3) = \frac{1}{3} - \frac{1}{3+1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$.Приведем дроби к общему знаменателю 12:$k = \frac{4}{12} - \frac{3}{12} = \frac{1}{12}$.

Ответ: $\frac{1}{12}$.

4) Дана функция $y = e^{2x^2-x}$ и точка $x_0 = 1$. Найдем производную функции. Это сложная функция, поэтому используем правило дифференцирования сложной функции $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$.$y' = (e^{2x^2-x})' = e^{2x^2-x} \cdot (2x^2-x)' = e^{2x^2-x} \cdot (4x-1)$.Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:$k = y'(1) = e^{2 \cdot 1^2 - 1} \cdot (4 \cdot 1 - 1) = e^{2-1} \cdot (4-1) = e^1 \cdot 3 = 3e$.

Ответ: $3e$.

4. Найдите значение $f'''(x)$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = e^{2x-1}$, $x_0 = 1$;

2) $f(x) = \ln 4x$, $x_0 = 1$;

3) $f(x) = \sin^2 3x$, $x_0 = -\frac{\pi}{2}$.

1) Для функции $f(x) = e^{2x-1}$ в точке $x_0 = 1$.

Сначала найдем первую производную $f'(x)$. Используя правило дифференцирования сложной функции (цепное правило), получаем:

$f'(x) = (e^{2x-1})' = e^{2x-1} \cdot (2x-1)' = e^{2x-1} \cdot 2 = 2e^{2x-1}$.

Теперь найдем вторую производную $f''(x)$, дифференцируя $f'(x)$:

$f''(x) = (2e^{2x-1})' = 2 \cdot (e^{2x-1})' = 2 \cdot (2e^{2x-1}) = 4e^{2x-1}$.

Наконец, вычислим значение второй производной в точке $x_0 = 1$:

$f''(1) = 4e^{2 \cdot 1 - 1} = 4e^{2-1} = 4e^{1} = 4e$.

Ответ: $4e$.

2) Для функции $f(x) = \ln(4x)$ в точке $x_0 = 1$.

Найдем первую производную $f'(x)$. Можно использовать свойство логарифма $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$, тогда $f(x) = \ln(4) + \ln(x)$. Дифференцируя, получаем:

$f'(x) = (\ln(4) + \ln(x))' = 0 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x}$.

Альтернативно, используя цепное правило:

$f'(x) = (\ln(4x))' = \frac{1}{4x} \cdot (4x)' = \frac{1}{4x} \cdot 4 = \frac{1}{x}$.

Теперь найдем вторую производную $f''(x)$, представив $f'(x)$ как $x^{-1}$:

$f''(x) = (\frac{1}{x})' = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-1-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.

Вычислим значение второй производной в точке $x_0 = 1$:

$f''(1) = -\frac{1}{1^2} = -1$.

Ответ: $-1$.

3) Для функции $f(x) = \sin^2(3x)$ в точке $x_0 = -\frac{\pi}{2}$.

Найдем первую производную $f'(x)$, используя цепное правило. Заметим, что $f(x) = (\sin(3x))^2$.

$f'(x) = 2\sin(3x) \cdot (\sin(3x))' = 2\sin(3x) \cdot \cos(3x) \cdot (3x)' = 2\sin(3x)\cos(3x) \cdot 3 = 6\sin(3x)\cos(3x)$.

Для упрощения дальнейшего дифференцирования используем формулу синуса двойного угла $2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \sin(2\alpha)$:

$f'(x) = 3 \cdot (2\sin(3x)\cos(3x)) = 3\sin(2 \cdot 3x) = 3\sin(6x)$.

Теперь найдем вторую производную $f''(x)$:

$f''(x) = (3\sin(6x))' = 3\cos(6x) \cdot (6x)' = 3\cos(6x) \cdot 6 = 18\cos(6x)$.

Вычислим значение второй производной в точке $x_0 = -\frac{\pi}{2}$:

$f''(-\frac{\pi}{2}) = 18\cos(6 \cdot (-\frac{\pi}{2})) = 18\cos(-3\pi)$.

Так как косинус — четная функция, $\cos(-3\pi) = \cos(3\pi)$. Зная, что период косинуса $2\pi$, имеем $\cos(3\pi) = \cos(\pi + 2\pi) = \cos(\pi) = -1$.

Следовательно, $f''(-\frac{\pi}{2}) = 18 \cdot (-1) = -18$.

Ответ: $-18$.

5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = f(x)$:

1) $y = xe^x$, на промежутке $[0; 3];$

2) $y = x \ln x$, на промежутке $[2; 3];$

3) $y = \sqrt{x} - x$, на промежутке $[0; 4];$

4) $y = \frac{1}{x} + x$, на промежутке $[0,5; 4].$

1) y = xe^x, на промежутке [0; 3];

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке необходимо найти значения функции на концах этого отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем выбрать из них наибольшее и наименьшее.

1. Найдем производную функции $y = xe^x$, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$y' = (x)'e^x + x(e^x)' = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x(1 + x)$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$e^x(1 + x) = 0$.

Так как $e^x > 0$ для любого действительного $x$, то уравнение равносильно $1 + x = 0$, откуда $x = -1$.

3. Проверим, принадлежит ли критическая точка $x = -1$ промежутку $[0; 3]$.

Точка $x = -1$ не принадлежит данному промежутку. Следовательно, для нахождения наибольшего и наименьшего значений достаточно вычислить значения функции на концах отрезка.

4. Вычислим значения функции на концах промежутка $[0; 3]$:

При $x = 0$: $y(0) = 0 \cdot e^0 = 0 \cdot 1 = 0$.

При $x = 3$: $y(3) = 3 \cdot e^3 = 3e^3$.

5. Сравнивая значения $y(0)=0$ и $y(3)=3e^3$, получаем, что наименьшее значение функции равно $0$, а наибольшее равно $3e^3$.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = 0$, наибольшее значение $y_{наиб} = 3e^3$.

2) y = xlnx, на промежутке [2; 3];

1. Найдем производную функции $y = x \ln x$, используя правило дифференцирования произведения:

$y' = (x)' \ln x + x (\ln x)' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$.

2. Найдем критические точки из уравнения $y' = 0$:

$\ln x + 1 = 0$

$\ln x = -1$

$x = e^{-1} = \frac{1}{e}$.

3. Проверим, принадлежит ли критическая точка $x = 1/e$ промежутку $[2; 3]$.

Так как $e \approx 2,718$, то $1/e \approx 0,367$. Эта точка не принадлежит промежутку $[2; 3]$.

4. Так как на интервале $(2; 3)$ нет критических точек, наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах промежутка. Вычислим значения функции в точках $x=2$ и $x=3$:

При $x = 2$: $y(2) = 2 \ln 2 = \ln(2^2) = \ln 4$.

При $x = 3$: $y(3) = 3 \ln 3 = \ln(3^3) = \ln 27$.

5. Сравним полученные значения. Так как $27 > 4$ и функция $f(t)=\ln t$ является возрастающей, то $\ln 27 > \ln 4$.

Следовательно, наименьшее значение функции равно $2 \ln 2$, а наибольшее - $3 \ln 3$.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = 2 \ln 2$, наибольшее значение $y_{наиб} = 3 \ln 3$.

3) y = \sqrt{x} - x, на промежутке [0; 4];

1. Найдем производную функции $y = \sqrt{x} - x$:

$y' = (\sqrt{x} - x)' = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 1$.

Производная определена при $x > 0$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$\frac{1}{2\sqrt{x}} - 1 = 0$

$\frac{1}{2\sqrt{x}} = 1$

$\sqrt{x} = \frac{1}{2}$

$x = \frac{1}{4}$.

Точка $x=0$ также является критической, так как в ней производная не определена. Эта точка является концом заданного отрезка.

3. Критическая точка $x = 1/4$ принадлежит промежутку $[0; 4]$.

4. Вычислим значения функции в критической точке $x = 1/4$ и на концах промежутка $x = 0$ и $x = 4$:

При $x = 0$: $y(0) = \sqrt{0} - 0 = 0$.

При $x = 1/4$: $y(1/4) = \sqrt{1/4} - 1/4 = 1/2 - 1/4 = 1/4 = 0,25$.

При $x = 4$: $y(4) = \sqrt{4} - 4 = 2 - 4 = -2$.

5. Сравним полученные значения: $0$, $0,25$ и $-2$.

Наименьшее из этих значений равно $-2$, а наибольшее равно $1/4$.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = -2$, наибольшее значение $y_{наиб} = \frac{1}{4}$.

4) y = \frac{1}{x} + x, на промежутке [0,5; 4].

1. Найдем производную функции $y = \frac{1}{x} + x$:

$y' = (\frac{1}{x} + x)' = (x^{-1} + x)' = -x^{-2} + 1 = -\frac{1}{x^2} + 1$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:

$-\frac{1}{x^2} + 1 = 0$

$\frac{1}{x^2} = 1$

$x^2 = 1$

$x = 1$ или $x = -1$.

3. Проверим, какие из критических точек принадлежат промежутку $[0,5; 4]$.

Точка $x = 1$ принадлежит данному промежутку. Точка $x = -1$ не принадлежит.

4. Вычислим значения функции в критической точке $x=1$ и на концах промежутка $x=0,5$ и $x=4$:

При $x = 0,5$: $y(0,5) = \frac{1}{0,5} + 0,5 = 2 + 0,5 = 2,5$.

При $x = 1$: $y(1) = \frac{1}{1} + 1 = 1 + 1 = 2$.

При $x = 4$: $y(4) = \frac{1}{4} + 4 = 0,25 + 4 = 4,25$.

5. Сравним полученные значения: $2,5$, $2$ и $4,25$.

Наименьшее из этих значений равно $2$, а наибольшее равно $4,25$.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = 2$, наибольшее значение $y_{наиб} = 4,25$.

Упростите выражение (6—10):

6. 1) $ (\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 3} + \frac{\sqrt{a}}{3 + \sqrt{a}}) \cdot \frac{a + 6\sqrt{a} + 9}{a}; $

2) $ (\frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{x\sqrt{y} + y\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{x\sqrt{y} - y\sqrt{x}}) \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}\sqrt{y}}{x + y} - \frac{2y}{x - y}. $

1) $(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-3} + \frac{\sqrt{a}}{3+\sqrt{a}}) \cdot \frac{a+6\sqrt{a}+9}{a}$

Сначала упростим выражение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатели: $(\sqrt{a}-3)$ и $(3+\sqrt{a})$. Общий знаменатель: $(\sqrt{a}-3)(3+\sqrt{a}) = (\sqrt{a}-3)(\sqrt{a}+3) = (\sqrt{a})^2 - 3^2 = a-9$.

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-3} + \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+3} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+3) + \sqrt{a}(\sqrt{a}-3)}{(\sqrt{a}-3)(\sqrt{a}+3)} = \frac{a+3\sqrt{a}+a-3\sqrt{a}}{a-9} = \frac{2a}{a-9}$.

Теперь упростим вторую дробь $\frac{a+6\sqrt{a}+9}{a}$. Числитель $a+6\sqrt{a}+9$ является формулой квадрата суммы: $a+6\sqrt{a}+9 = (\sqrt{a})^2 + 2 \cdot \sqrt{a} \cdot 3 + 3^2 = (\sqrt{a}+3)^2$.

Таким образом, вторая дробь равна $\frac{(\sqrt{a}+3)^2}{a}$.

Теперь перемножим полученные выражения:

$\frac{2a}{a-9} \cdot \frac{(\sqrt{a}+3)^2}{a} = \frac{2a}{(\sqrt{a}-3)(\sqrt{a}+3)} \cdot \frac{(\sqrt{a}+3)^2}{a}$.

Сокращаем общие множители $a$ и $(\sqrt{a}+3)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{2\cancel{a}}{(\sqrt{a}-3)\cancel{(\sqrt{a}+3)}} \cdot \frac{(\sqrt{a}+3)^{\cancel{2}}}{\cancel{a}} = \frac{2(\sqrt{a}+3)}{\sqrt{a}-3}$.

Ответ: $\frac{2(\sqrt{a}+3)}{\sqrt{a}-3}$.

2) $(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}) \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}\sqrt{y}}{x+y} - \frac{2y}{x-y}$

Начнем с упрощения выражения в скобках. Преобразуем знаменатели дробей, вынеся общий множитель $\sqrt{x}\sqrt{y}$:

$x\sqrt{y}+y\sqrt{x} = \sqrt{x}\sqrt{x}\sqrt{y}+\sqrt{y}\sqrt{y}\sqrt{x} = \sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})$;

$x\sqrt{y}-y\sqrt{x} = \sqrt{x}\sqrt{x}\sqrt{y}-\sqrt{y}\sqrt{y}\sqrt{x} = \sqrt{xy}(\sqrt{x}-\sqrt{y})$.

Теперь приведем дроби в скобках к общему знаменателю $\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y}) = \sqrt{xy}(x-y)$:

$\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y}) + (\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{xy}(x-y)} = \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2 + (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}{\sqrt{xy}(x-y)}$.

Раскроем квадраты в числителе, используя формулы сокращенного умножения:

$\frac{(x-2\sqrt{xy}+y) + (x+2\sqrt{xy}+y)}{\sqrt{xy}(x-y)} = \frac{2x+2y}{\sqrt{xy}(x-y)} = \frac{2(x+y)}{\sqrt{xy}(x-y)}$.

Теперь умножим полученный результат на вторую часть выражения $\frac{x^{\frac{3}{2}}\sqrt{y}}{x+y}$. Заметим, что $x^{\frac{3}{2}}\sqrt{y} = x^{1+\frac{1}{2}}\sqrt{y} = x\sqrt{x}\sqrt{y} = x\sqrt{xy}$.

$\frac{2(x+y)}{\sqrt{xy}(x-y)} \cdot \frac{x\sqrt{xy}}{x+y}$.

Сокращаем общие множители $(x+y)$ и $\sqrt{xy}$:

$\frac{2\cancel{(x+y)}}{\cancel{\sqrt{xy}}(x-y)} \cdot \frac{x\cancel{\sqrt{xy}}}{\cancel{x+y}} = \frac{2x}{x-y}$.

Наконец, выполним вычитание, используя полученный результат:

$\frac{2x}{x-y} - \frac{2y}{x-y} = \frac{2x-2y}{x-y} = \frac{2(x-y)}{x-y} = 2$.

Ответ: $2$.