Номер 4, страница 219 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

4. Найдите значение $f'''(x)$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = e^{2x-1}$, $x_0 = 1$;

2) $f(x) = \ln 4x$, $x_0 = 1$;

3) $f(x) = \sin^2 3x$, $x_0 = -\frac{\pi}{2}$.

1) Для функции $f(x) = e^{2x-1}$ в точке $x_0 = 1$.

Сначала найдем первую производную $f'(x)$. Используя правило дифференцирования сложной функции (цепное правило), получаем:

$f'(x) = (e^{2x-1})' = e^{2x-1} \cdot (2x-1)' = e^{2x-1} \cdot 2 = 2e^{2x-1}$.

Теперь найдем вторую производную $f''(x)$, дифференцируя $f'(x)$:

$f''(x) = (2e^{2x-1})' = 2 \cdot (e^{2x-1})' = 2 \cdot (2e^{2x-1}) = 4e^{2x-1}$.

Наконец, вычислим значение второй производной в точке $x_0 = 1$:

$f''(1) = 4e^{2 \cdot 1 - 1} = 4e^{2-1} = 4e^{1} = 4e$.

Ответ: $4e$.

2) Для функции $f(x) = \ln(4x)$ в точке $x_0 = 1$.

Найдем первую производную $f'(x)$. Можно использовать свойство логарифма $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$, тогда $f(x) = \ln(4) + \ln(x)$. Дифференцируя, получаем:

$f'(x) = (\ln(4) + \ln(x))' = 0 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x}$.

Альтернативно, используя цепное правило:

$f'(x) = (\ln(4x))' = \frac{1}{4x} \cdot (4x)' = \frac{1}{4x} \cdot 4 = \frac{1}{x}$.

Теперь найдем вторую производную $f''(x)$, представив $f'(x)$ как $x^{-1}$:

$f''(x) = (\frac{1}{x})' = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-1-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.

Вычислим значение второй производной в точке $x_0 = 1$:

$f''(1) = -\frac{1}{1^2} = -1$.

Ответ: $-1$.

3) Для функции $f(x) = \sin^2(3x)$ в точке $x_0 = -\frac{\pi}{2}$.

Найдем первую производную $f'(x)$, используя цепное правило. Заметим, что $f(x) = (\sin(3x))^2$.

$f'(x) = 2\sin(3x) \cdot (\sin(3x))' = 2\sin(3x) \cdot \cos(3x) \cdot (3x)' = 2\sin(3x)\cos(3x) \cdot 3 = 6\sin(3x)\cos(3x)$.

Для упрощения дальнейшего дифференцирования используем формулу синуса двойного угла $2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \sin(2\alpha)$:

$f'(x) = 3 \cdot (2\sin(3x)\cos(3x)) = 3\sin(2 \cdot 3x) = 3\sin(6x)$.

Теперь найдем вторую производную $f''(x)$:

$f''(x) = (3\sin(6x))' = 3\cos(6x) \cdot (6x)' = 3\cos(6x) \cdot 6 = 18\cos(6x)$.

Вычислим значение второй производной в точке $x_0 = -\frac{\pi}{2}$:

$f''(-\frac{\pi}{2}) = 18\cos(6 \cdot (-\frac{\pi}{2})) = 18\cos(-3\pi)$.

Так как косинус — четная функция, $\cos(-3\pi) = \cos(3\pi)$. Зная, что период косинуса $2\pi$, имеем $\cos(3\pi) = \cos(\pi + 2\pi) = \cos(\pi) = -1$.

Следовательно, $f''(-\frac{\pi}{2}) = 18 \cdot (-1) = -18$.

Ответ: $-18$.